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高中物理奥林匹克竞赛解题方法讲座:(12)类比法(含答案)


高中物理奥赛经典 十二、类比法 方法简介 类比法是根据两个研究对象或两个系统在某些属性上类似而推出其他属性也类似的 思维方法,是一种由个别到个别的推理形式。 其结论必须由实验来检验,类比对象间共 有的属性越多,则类比结论的可靠性越大。 在研究物理问题时,经常会发现某些不同问题在一定范围内具有形式上的相似性,其 中包括数学表达式上的相似性和物理图像上的相似性。 类比法就是在于发现和探索这一 相似性,从而利用已知系统的物理规律去寻找未知系统的物理规律。 赛题精讲 例 1:图 12—1 中 AOB 是一内表面光滑的楔形槽,固定在水平桌面(图中纸面)上, 夹角 α = 1°(为了能看清楚,图中画的是夸大了的) 。现将一质点在 BOA 面内从 A 处以 速度 v = 5m/s 射出, 其方向与 AO 间的夹角 θ = 60°, OA = 10m 。设质点与桌面间的摩擦可忽略不计,质点与 OB 面及 OA 面的碰撞都是弹性碰撞,且每次碰撞时间极短, 可忽略不计,试求: (1) 经过几次碰撞质点又回到 A 处与 OA 相碰? (计 算次数时包括在 A 处的碰撞) (2)共用多少时间? (3)在这过程中,质点离 O 点的最短距离是多少? 解析:由于此质点弹性碰撞时的运动轨迹所满足的规律和光的反射定律相同,所以可 用类比法通过几何光学的规律进行求解。 即可用光在平面镜上反射时,物像关于镜面对 称的规律和光路是可逆的规律求解。 (1)第一次,第二次碰撞如图 12—1—甲所示,由三 角形的外角等于不相邻的一两个内角和可知∠ MBA = 60°+ 1°= 61°, 故第一次碰撞的入射角为 90°-61°= 29°。 第二次碰撞,∠ BCA = 61°+ 1°= 62°,故第二次 碰撞的入射角为 90°-62° = 28°。 因此,每碰一次,入射角要减少 1°,即入射角为 29°、28°、?、0°,当入射角 为 0°时,质点碰后沿原路返回。 包括最后在 A 处的碰撞在内,往返总共 60 次碰撞。 (2) 如图 12—1—乙所示,从 O 依次作出与 OB 边 成 1°、2°、3°、??的射线,从对称规律可推知, 在 AB 的延长线上,BC′、C′D′、D′E′、??分 别和 BC、CD、DE、??相等,它们和各射线的交角即 为各次碰撞的入射角与直角之和。 碰撞入射角为 0° 时,即交角为 90°时开始返回。 故质点运动的总路程 图 12—1—乙 类比法第 1 页(共 9 页) 高中物理奥赛经典 为一锐角为 60°的 Rt△ AMO 的较小直角边 AM 的二倍。 即:s = 2AM = 2AO ? cos60°= 10m 所用总时间:t = s 10 = = 2s v 5 (3)碰撞过程中离 O 的最近距离为另一直角边长:OM = AO ? sin60°= 5 3 m (此题也可以用递推法求解,读者可自己试解。 ) 例 2:有一个很大的湖,岸边(可视湖岸为直线)停放着一艘小船,缆绳突然断开, 小船被风刮跑,其方向与湖岸成 15°角,速度为 2.5km/h 。 同时岸上一人从停放点起追 赶小船,已知他在岸上跑的速度为 4.0km/h ,在水中游的速度为 2.0km/h ,问此人能否追 及小船? 解析:费马原理指出:光总是沿着光程为极小值的路径传播。据此可以证明,光在平 面分界面上的折射是以时间为极小值的路程传播。本题求最短时间问题,可类比类在平面 分界面上的折射情况,这样就把一个运动问题通过类比可转化为光的折射问题求解。 如图 12—2 所示,船沿 OP 方向被刮跑

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