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2.3 函数的单调性


3 函数的单调性

09:59

1

观察下列函数图像回答问题
y

x

从上面的观察分析可以看出:不同的函数, 1.自左向右,这些函数图像是怎么变化的? 其图象的变化趋势不同,同一函数在不同区间上 2.当x增大时,其函数值y怎么变化? 变化趋势也不同,函数图象的这种变化规律就是 函数性质的反映,这就是我们所要研究的函数的 一个重要性质——函数的单调性.
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对于(1),在区间[a,b]上自左向右函数图像是________, 上升的 增加的 随着x的增大,函数值f(x)是________ 下降的 对于(2),在区间[a,b]上自左向右函数图像是________, 随着x的增大,函数值f(x)是________ 减少的

区间[a,b]称 为单调区间

在[a,b] (1) 上增加的
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在[a,b] (上减少的 2)
3

例1 观察函数图像,说出函数的单调性,写出其单调区间

单调区间不能 例2 观察函数图像,写出其单调区间 用∪连接
y

x
.

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若函数在定义域内有相同的单调性,称为单调函数

4

在函数f(x)的定义域内某个区间A上,如果对于 任意两数x1,x2∈A,

当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),就说函数f(x) 在区间A上是增加的 当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),就说函数f(x) 在区间 A上是减少的 09:59 5

对函数单调性的理解 1.函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的,是 局部概念,单调性讨论必须在一个区间上; 2.学习函数的单调性,要注意定义中条件和结论是双 向使用的; 3. 写单调区间时包括端点也可以不包括也可以,但 对于某些点无意义时单调区间就不包括这些点; 4.并不是所有函数都具有单调性,比如常函数;

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6

①②③④ 例3 判断下列说法错误的是__________ ①函数y=x2在R上具有单调性,且在(-∞,0)上是 减函数
②函数y=
1 x

的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),在

其上是减函数 ③函数y=kx+b(k∈R)在R上一定具有单调性 ④若定义在R上的函数f(x),有f(-1)<f(3),则 函数f(x)在R上为增函数
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1 例4 利用定义判断f(x)= 在(0,+∞)上的单调性. x
解:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2

1 1 x 2 ? x1 f(x1 ) ? f(x 2 ) = ? = x1 x 2 x1 x 2

取值 作差变形 定号 下结论
8

因为x1>0,x2>0,且x1<x2 所以x1x2>0,x2-x1>0,即

x 2 ? x1 f(x1 ) ? f(x 2 ) = >0 x1 x 2

所以f(x1)>f(x2),函数在(0,+∞)上 是减少的
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做差法证明函数单调性的一般步骤:
⑴取值:设任意x1,x2∈区间D,且x1<x2; ⑵作差变形:作差 f(x1) - f(x2) ,并将此差 式变形(变形为若干个因式的积或商); ⑶定号:判断 f(x1) - f(x2) 的正负(要注意 说理的充分性),必要时要讨论; ⑷下结论:根据定义得出其单调性.
变形的手段:因式分解,通分,配方,分母(分子) 有理化
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1 1、利用定义判断f(x)= 在(-∞,0)上的单调性 x

2、利用定义判断f(x)=x2在(-∞,0)上的单调性.
1 3、利用定义判断f(x)= 在(1,+∞)上的单调性. x ?1

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本节课主要学习了以下内容: 1.函数的单调性及单调区间的概念; 2.判断函数的单调性的方法 图像法 定义法

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1、利用定义证明f(x)=-3x+4在R上是减函数. 2、证明:函数f(x)=x4在[0,+∞)上是增加的.

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