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集合1


清艳金榜一对一

清艳金榜一对一学科教师辅导讲义
学生姓名: 上课日期: 2014-7年 级: 高 一 老 课 师: 次: 陈 双 双 1 次 上课时间::00-:00

集合的含义及表示

【课前准备】 : 课前检查:
作业完成情况: 复习预习情况: 优 ( ) 优 ( ) 良 ( ) 良 ( ) 中 中 ( ) ( ) 差 ( ) 差 ( )

【学习目标】 : 知识点、考点:
1、 初步理解集合的概念,知道常用数集的概念及其记法 2、 理解集合的性质 3、初步了解“属于”关系的意义 4、初步了解有限集、无限集、空集的意义 5、会简单的集合的三种表示方法

重点、难点:

集合的性质 描述法表示集合 常用数集的表示

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【学习内容】 : 知识网络详解:
一、集合的概念 在小学和初中,我们已经接触过一些集合,例如:自然数的集合,有理数的集合,不等式 x-7 ? 3 的解的 集合,到一个定点的距离等于定长的点的集合(即圆) ,到一条线段的两个端点距离相等的点的集合(即 这条线段的垂直平分线)等等。 那么集合的含义是什么呢?我们在来看下面的一些例子: (1)1 至 20 以内的所有素数; (2)我国从 1991 至 2003 年的 13 年内所发射的所有人造卫星; (3)金星汽车厂 2003 年生产的所有汽车; (4)2004 年 1 月 1 日之前与中华人民共和国建立外交关系的所有国家; (5)所有的正方形; (6)到直线 l 的距离等于定长 d 的所有的点;

(7)方程

的所有实数根;

(8)平顶山一中学校 2012 年 8 月入学的所有的高一学生. 例(1)中,我们把 1 至 20 以内的每一个素数作为元素,这些元素的全体就是一个集合;同样地,例(2) 中,把我国从 1991 至 2003 年的 13 年内发射的每一颗人造卫星作为元素,这些元素的全体就是一个集合。

思考:上面的例(7)也能组成集合吗?它的元素是什么?

集合的定义:一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。 (简称为集)

给定的集合,它的元素必须是确定的。也就是说,给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中 就确定了。例如: “中国的直辖市”构成一个集合,北京、上海、天津、重庆在这个集合中,杭州、南京、 广州等等不在这个集合中。 “身材较高的人”不能构成集合,因为组成它的元素是不确定的。
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一个给定集合中的元素是互不相同的,也就是说,集合中的元素是不重复出现的。 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的。

二、集合的特性

必须是确定的 ?确定性:集合中的元素 ? 集合中元素的特性: ?互异性:集合中任两个 元素是互不相同的 ?无序性:集合与组成它 的元素顺序无关 ?
(l)确定性: 和 ,二者必居其一.

集合中的元素必须是确定的.这就是说,给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定 了.例如,给出集合{地球上的四大洋},它的元素是:太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋.其他对象都不 用于这个集合.如果说“由接近 糊的概念,它不能构成集合. 的数组成的集合”,这里“接近 的数”是没有严格标准、比较模

(2)互异性:若



,则

集合中的元素是互异的.这就是说,集合中的元素是不能重复的,集合中相同的元素只能算是一个.例如 方程 有两个重根 ,其解集只能记为{1},而不能记为{1,1}.

(3)无序性:{a,b}和{b,a}表示同一个集合. 集合中的元素是不分顺序的.集合和点的坐标是不同的概念,在平面直角坐标系中,点(l,0)和点(0, l)表示不同的两个点,而集合{1,0}和{0,1}表示同一个集合.

三、集合的表示 集合的表示:我们通常用大写拉丁字母A,B,C,?表示集合,用小写拉丁字母 a , b , c ,?表 示集合中的元素。 ①如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于 A ,记作: a ? A ②如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于 A ,记作: a ? A 例如:我们用 A 表示“1 至 20 以内的所有素数”组成的集合,则有 3 ? A, 4 ? A,等等。

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数学中一些常用的数集及其记法: 全体非负整数组成的集合称为自然数集(或非负整数集) ,记作 N ; 所有正整数组成的集合称为正整数集,记作 N * ?N ? ? ; 全体整数组成的集合称为整数集,记作 Z ; 全体有理数组成的集合称为有理数集,记作 Q ; (这些特定集合外面不用加 ? ?) 全体实数组成的集合称为实数集,记作 R 。

从上面的例子看到,我们可以用自然语言描述一个集合。除此之外,还可以用什么方法表示集合呢? ①集合的表示方法: 列举法:把集合中的元素一一列举出来,并用花括号“ ? ?”括起来的表示方法。例: A ? ? 1,2? 我们可以把“地球上的四大洋”组成的集合表示为 太平洋,大西洋,印度 洋,北冰洋 ,

?

?

1,?2? 把“方程(x-1) (x+2)=0 的所有实数根”组成的集合表示为 ?
描述法:用集合所含元素的共同特征表示的集合的方法称为描述法。 方法:在花括号内先写上表示这个集合一般元素的符号及取值范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个 集合中元素所具有的共同特征。例: B ? x x ? 4 (如果元素的取值范围是全体实数,范围可省略不写) 。

?

?

图示法: (即维恩图法) :用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合。 如 : 集合 {1,2,3,4,5} 用图示法表示为 :

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经典例题解析:
例 1.判断一下元素的全体是否组成集合,并说明理由: (1)大于 3 小于 11 的偶数 (2)我国的小河流

例 2.用列举法表示下列集合: (1)小于 10 的所有自然数组成的集合; (2)方程 x(x-1)=0 的所有实数根组成的集合; (3)由 1 至 20 以内的所有素数组成的集合;

例 3.分别用 2 种不同的方法表示下列集合: (1)方程 x ? 2 ? 0 的所有实数根组成的集合;
2

(2)由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合。

例 4.(1)集合:把一些能够 (2)元素:集合中每个

的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合. 叫做这个集合的元素,元素通常用 表示

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例 5、元素与集合的关系 (1)属于:记作: a ___ A ; (2)不属于:记作: a ___ A ;

例 6.(1)方程 x ? 1 的解的全体构成的集合; 其中元素为
2

(2)不等式 x ? 1 ? 2 x ? 2 的解的全体构成的集合. 其中元素为

例 7、 “著名的数学家”、 ”年轻人”、 “较小的有理数”能否分别构成一个集合,为什么? 集合中元素的性质(1) ; (2) ; (3)_____________.

例 8、用符号“ ? ”或“ ? ”填空 (1) 0 ______ N , (2) ? ____ Q, ? _____ Q

5 ______ N ,

16 ______ N

1 2

例 9、用列举法表示下列集合 (1) A ? x ? N 0 ? x ? 5

?

?

(2) B ? x x ? 5 x ? 6 ? 0
2

?

?

例 10.用描述法表示下列集合 (1) ??1,1? ; (2)大于 3 的全体偶数构成的集合; ; ;

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例 11.问题:以下集合 ① {( x, y) | y ? x 2 ? 1} ;② {x | y ? x 2 ? 1} ;③ { y | y ? x 2 ? 1} ;④ { y ? x2 ? 1} 是同一个集合吗?

例 12、方程组 A. {(1,1)}

? y ?2 {x x ? y ?0 的解构成的集合是

( C. (1,1) D. {1}



B. {1,1}

例 13、下列选项中元素的全体可以组成集合的是 A.学校篮球水平较高的学生 C.2007 年所有的欧盟国家 B.校园中长的高大的树木 D.中国经济发达的城市





例 14.用描述法表示被 3 除余 1 的集合



例 15.用适当的符号填空: (1) ? (3){1}
{x x 2 ? 1 ? 0} ; { x x 2 ? x} ;

(2){1,2,3} (4)0
{x x 2 ? 2 x}

N;

例 16.若 A={(1,2), (2,3)},则集合 A 中元素的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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例 17.对于 (1)3 2 ? x x ? 17 , (2) 3 ? Q, (3)0 ? N , (4)0 ??, 其中正确的个数是( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

?

?

课堂检测: 听课及知识掌握反馈
测度题: 道;成绩 保持 ( ) 巩固复习 ; 放慢 ( ) 增加内容 ( ) 。 教学需求:加快 ( )



【课后巩固】:作业 自检自测:

题;

题;预习布置:

1.已知 M ? {x | x ? 3 }, a ? 3 ,则下列关系正确的是( (A)a M ; (B) a ? M ;

) (D) {a} ? M

(C) {a} ? M ;

2.不等式 2 ? 5 x ? o 的解集是( (1) { x | x ?

) (2) {x ? R | x ? } ; (4) { x | x ?

2 }; 5

2 5

(3) {x ? R | 2 ? 5 x ? 0} ; 其中正确的是( A.(2) (3) (4) ) B. (2) (4)

2 }. 5

C. (1) (2) (3) D. (1) (2) (3) (4)

3.已知集合 A ? { ?2,3, 4 } , B ?{ x x ? t ,t ? A } ,用列举法表示集合 B=
2

4.设 A={a},则下列各式中正确的是( A.0∈A B.a∈A

). C.a∈A D.a=A

5.判断下列语句是否正确 1)大于 5 的自然数集可以构成一个集合。 2)由 1,2,3,2,1 构成一个集合,这个集合共有 5 个元素。 3)所有的偶数构成的集合是无限集。 4)集合 A ? ?a, b, c?, B ? ?c, a, b?则集合 A 和集合 B 是两个不同的集合。

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6、用符号 ? 或 ? 填空。 1) 0 __ N 2) 3.14 _____Z 3) ? ______ Q

2 4)若 A ? x x ? 2 x ,则 ? 2 _____A

?

?

2 5)若 B ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 ,则 3 _____B

?

?

7、用适当的方法表示下列集合 1)一次函数 y ? 2 x ? 1 与 y ? ?

?? 6 17 ?? ? 6 17 ? 1 x ? 4 的交点组成的集合。 ?? , ?? ? , ? 区别是什么? 2 ?? 5 5 ?? ? 5 5 ?

2)绝对值等于 3 的全体实数构成的集合。

3)大于 0 的偶数。

?x x ? 2n, n ? N *?

8. 集合 A ?

??x, y ? x ? 2 y ? 7, x, y ? N?,用列举法表示集合 A 。

9. 集合 A ?

?x ax

2

? 2 x ? 1 ? 0?中只有一个元素,求 a 的值。

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10.用描述法可将集合 ? 1,?3,5,?7,9,?11,?? 表示成________________________。

【签字】 :

教学组长: 家长:

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