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2015数列的概念和表示课件


2.1数列的概念与简 单表示法

8 7 6 5 4 你想得到 64个格子 3
8 7 6 5 4 3

什么样的 2 赏赐?
1
1

8 7 6 OK 5
4 3 2

8

陛下,赏小 请在第一个格 请在第三个格 人一些麦粒 请在第二

个格 请在第四个格 子放 1 颗麦粒 4 颗麦粒 依次类推 … 子放 2 颗麦粒 7 子放 子放 8 颗麦粒 就可以 6 。 5 4

2

3

2

1 1

?
64个格子

8

7

6

5

4

3

2

8 7 6 5 4 3 2 1 1

你认为国王 有能力满足 上述要求吗

每个格子里的麦粒数都是 前 一个格子里麦粒数的 2倍 且共有 64 格子

1 2

0

2

1

2

2

2

3

63 ?? ? 2

1844,6744,0737,0955,1615

观察下列图形:
三角形数 1, 3, 6, 10, .…..

正方形数 1, 4, 9, 16, ……

提问:这些数有什么规律吗?

一.定义:
按照一定顺序排列着的一列数叫数列。
(1)三角形数:1, 3, 6, 10, .….. (2)正方形数:1, 4, 9, 16, …… (3)4,5,6,7,8,9,10; (4)10,9,8,7,6,5,4; 数列中的每一个数叫做这个数列的项。

(1)三角形数:1, 3, 6, 10, .….. (2)正方形数:1, 4, 9, 16, ……

按照一定顺序排列着的一列数叫数列。
数列中的每一项都和它的序号有关,排第一位 的数称为这个数列的第1项(首项),
排第二位的数称为这个数列的第2项,· · · · · · , 排第n位的数称为这个数列的第n项. 数列的一般形式可以写成:a1 , a2 , a3 ,?an ,?, 其中 an是数列的第n项,上面的数列又可简记为

?an ?

一.定义:
按照一定顺序排列的一列数叫数列。
思考1:数列 4,5,6,7,8,9,10;

数列 10,9,8,7,6,5,4;是否相同?
思考2:数列中的数是否可以重复? 如:数列-1,1,-1,1,· · · 。

二.数列的分类:

1)根据数列项数的多少分:

P28观察

有穷数列:项数有限的数列. 例如数列1,2,3,4,5,6。是有穷数列 无穷数列:项数无限的数列. 例如数列1,2,3,4,5,6,…是无穷数列 2)根据数列项的大小分:
递增数列:从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列。 递减数列:从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列。 常数数列:各项相等的数列。 摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,
有些项小于它的前一项的数列

三.数列的表示: 观察下列数列的每一项与这一项的序号是 否有一定的对应关系? 1 1 1 1 1 1 , ,, ,, ? 项 2 3 4 5 n 序号 项 序号
1 2 3 4 5
….

n 2n

2, 4, 6, 8, 10,…
1 2 3 4 5

……

n

数列中的每一个数都对应着一个序号, 反过来,每个序号也都对应着一个数。

数列与函数的关系 :

数列可以看作特殊的函数,序号是 其自变量,项是序号所对应的函数值, * N 数列的定义域是正整数集 ,或是 * 正整数集 的有限子集 . N
于是我们研究数列就可借用函数的研究 方法,用函数的观点看待数列.

数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集 {1,2,3,4,…,n})为定义域的函数an=f(n),当自 变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一 列函数值。
思考
函数y ? 2 x ? 1与y ? 3x ,当x依次取1, 2, 3...时, 其函数值构成怎样的数列?

如果数列{an }的第n项与序号n之间的关系可以用一个式 子来表示,那么这个公式叫做数列的通项公式。
正方形数:1, 4, 9, 16, ……

an ? n 2
通项公式可以看成是数列的函数解析式。

如果只知道数列的通项公式,那能写出这个 数列吗?

根据下面数列 ?an ? 的通项公式,写出 它的前5项:
( 1)
n an ? n ?1

(2) an ? ?? 1? ? n
n

例1、 写出下面数列的一个通项公式,使它的 前4项分别是下列各数:

( 1 ) 1,3,5,7; (2) 4, 9, 16 , 25 ;

an ? 2n ? 1

an ? (n ? 1)

2

1 1 1 a ? (?1) n ?1 1 (3)1 , ? ,, ? ;n n 2 3 4 n?1 an ? 1 ? (?1) (4) 2, 0, 2, 0。
练习:P31 1,3,4

例2、图中的三角形称为谢宾斯基(Sierpinski)三 角形,在下图4个三角形中,着色三角形的个数依次 构成一个数列的前4项,请写出这个数列的一个通项 公式,并在直角坐标系中画出它的图象。

an ? 3

n ?1

an 30 27 24 21 18 15

an ? 3

n ?1

12
9 6 3

o

1

2

3

4

5

n

问题:如果一个数列{an}的首项a1=1,从第二项 起每一项等于它的前一项的2倍再加1, 即 an = 2 an-1 + 1(n∈N,n>1),(※)
你能写出这个数列的前三项吗? 递推公式 例3 设数列 {an } 满足
? a1 ? 1 ? ?a ? 1 ? 1 ? n an?1 ?

(n ? 1)

写出这个数列的前五项。 练习:P31 2

递推公式是数列所特有的表 示法,它包含两个部分,一是 递推关系,一是初始条件,二 者缺一不可.

( 1 ) 1,2,4,8.

写出下面数列的一个通项公式,使它 的前4项分别是下列各数:

( 2)1 0 , 100 , 1000 , 10000 。 (3 ) 9, 99 , 999 , 9999 。 (4) 5, 55 , 555 , 5555 。 (5 ) 0.9,0.9 9,0.9 9 9 ,0.9 9 9 9 ( 6) 2, 5 ,2 2, 1 1.

小结
? ? ? ? ? ? ? ? 1、数列的定义 2、数列的实质—特殊的函数(离散函数) 3、数列的通项公式 4、数列的表示方法: 列表法 通项公式法 图象法 递推公式法


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