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指数函数的图像及其性质


指数函数的图象及其性质教学设计
一、 教学内容分析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学(1) 》 (人教 A 版)第二章 第一节第二课(2.1.2) 《指数函数及其性质》 。根据我所任教的学生的实际情况, 我将《指数函数及其性质》划分为两节课(探究图象及其性质,指数函数及其性 质的应用) ,这是第一节课“探究图象及其性质” 。 指数函数是重要的基本初等

函 数之一,作为常见函数,它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础,同时在生 活及生产实际中有着广泛的应用,所以指数函数应重点研究。

二、 学生学习况情分析
指数函数是在学生系统学习了函数概念,基本掌握了函数的性质的基础上进 行研究的,是学生对函数概念及性质的第一次应用。教材在之前的学习中给出了 两个实际例子(GDP 的增长问题和炭 14 的衰减问题) ,已经让学生感受到指数函数 的实际背景,但这两个例子背景对于学生来说有些陌生。本节课先设计一个看似 简单的问题,通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。

三、设计思想
1.函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置。如何突破这个即重要又抽 象的内容,其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来,通 过具有一定思考价值的问题,激发学生的求知欲望――持久的好奇心。我们知道, 函数的表示法有三种:列表法、图象法、解析法,以往的函数的学习大多只关注 到图象的作用,这其实只是借助了图象的直观性,只是从一个角度看函数,是片 面的。本节课,力图让学生从不同的角度去研究函数,对函数进行一个全方位的 研究,并通过对比总结得到研究的方法,让学生去体会这种的研究方法,以便能将 其迁移到其他函数的研究中去。 2.结合参加我校组织的两个课题《对话——反思——选择》和《新课程实施 中同伴合作和师生互动研究》的研究,在本课的教学中我努力实践以下两点: ⑴.在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学 习方式。 ⑵.在教学过程中努力做到生生对话、师生对话,并且在对话之后重视体会、 总结、反思,力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究 数学的方法。 3.通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。

四、教学目标

根据任教班级学生的实际情况,本节课我确定的教学目标是:理解指数函数 的概念,能画出具体指数函数的图象;在理解指数函数概念、性质的基础上,能 应用所学知识解决简单的数学问题;在教学过程中通过类比,回顾归纳从图象和 解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法,加深对指数函数的认识,让学 生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要;同时通过本 节课的学习,使学生获得研究函数的规律和方法;培养学生主动学习、合作交流 的意识。

五、教学重点与难点
教学重点:指数函数的概念、图象和性质。 教学难点:对底数的分类,如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。

六、教学过程:
(一)创设情景、提出问题(约 3 分钟) 师:如果让 1 号同学准备 2 粒米,2 号同学准备 4 粒米,3 号同学准备 6 粒米, 4 号同学准备 8 粒米,5 号同学准备 10 粒米,??按这样的规律,51 号同学该准 备多少米? 学生回答后教师公布事先估算的数据:51 号同学该准备 102 粒米,大约 5 克 重。 师:如果改成让 1 号同学准备 2 粒米,2 号同学准备 4 粒米,3 号同学准备 8 粒米,4 号同学准备 16 粒米,5 号同学准备 32 粒米,??按这样的规律,51 号同 学该准备多少米? 【学情预设:学生可能说很多或能算出具体数目】 师:大家能否估计一下,51 号同学该准备的米有多重? 教师公布事先估算的数据:51 号同学所需准备的大米约重 1.2 亿吨。 师: 1.2 亿吨是一个什么概念?根据 2007 年 9 月 13 日美国农业部发布的最新 数据显示,2007~2008 年度我国大米产量预计为 1.27 亿吨。这就是说 51 号同学 所需准备的大米相当于 2007~2008 年度我国全年的大米产量! 【设计意图:用一个看似简单的实例,为引出指数函数的概念做准备;同时 通过与一次函数的对比让学生感受指数函数的爆炸增长,激发学生学习新知的兴 趣和欲望。 】 在以上两个问题中, 每位同学所需准备的米粒数用 y 表示, 每位同学的座号数 用 x 表示, y 与 x 之间的关系分别是什么? 学生很容易得出 y=2x( x ? N ? )和 y ? 2 x ( x ? N ? ) 【学情预设:学生可能会漏掉 x 的取值范围,教师要引导学生思考具体问题 中 x 的范围。 】

(二)师生互动、探究新知 1.指数函数的定义 师: 其实, 在本章开头的问题 2 中, 也有一个与 y ? 2 x 类似的关系式 y ? 1.073x ( x ? N ? , x ? 20 ) ⑴让学生思考讨论以下问题(问题逐个给出) : (约 3 分钟) ① y ? 2 x ( x ? N ? )和 y ? 1.073x ( x ? N ? , x ? 20 )这两个解析式有什么共同 特征? ②它们能否构成函数? ③是我们学过的哪个函数?如果不是,你能否根据该函数的特征给它起个恰 当的名字? 【设计意图:引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型。学生对比 已经学过一次函数、反比例函数、二次函数,发现 y ? 2 x , y ? 1.073x 是一个新的 函数模型,再让学生给这个新的函数命名,由此激发学生的学习兴趣。 】 引导学生观察,两个函数中,底数是常数,指数是自变量。 师:如果可以用字母 a 代替其中的底数,那么上述两式就可以表示成 y ? a x 的 形式。自变量在指数位置,所以我们把它称作指数函数。 ⑵让学生讨论并给出指数函数的定义。 (约 6 分钟) 对于底数的分类,可将问题分解为: ①若 a ? 0 会有什么问题? (如 a ? ?2 ,x ? 存在) ②若 ③若 会有什么问题?(对于 x ? 0 , a x 都无意义) 又会怎么样?( 无论 取何值,它总是 1,对它没有研究的必要.) 且 .
1 则在实数范围内相应的函数值不 2

师:为了避免上述各种情况的发生,所以规定 在这里要注意生生之间、师生之间的对话。

【学情预设: ①若学生从教科书中已经看到指数函数的定义,教师可以问, 为什么要求 a ? 0,且a ? 1 ; a ? 1 为什么不行? ②若学生只给出 y ? a x ,教师可以引导学生通过类比一次函数 k ( y ? kx ? b, k ? 0 ) 、 反比例函数 ( y ? ,k ? 0 ) 、 二次函数 ( y ? ax2 ? bx ? c, a ? 0 ) x 中的限制条件, 思考指数函数中底数的限制条件。 】 【设计意图 : ①对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研究一个函 数应注意它的实际意义和研究价值; ②讨论出 a ? 0,且a ? 1 ,也为下面研究性质时对底数的分类做准备。 】 接下来教师可以问学生是否明确了指数函数的定义,能否写出一两个指数函 数?教师也在黑板上写出一些解析式让学生判断, 如 y ? 2 ? 3 x , y ? 32 x ,y ? ?2 x 。

【学情预设:学生可能只是关注指数是否是变量,而不考虑其它的。 】 【设计意图 :加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解。 】 2.指数函数性质 ⑴提出两个问题(约 3 分钟) ①目前研究函数一般可以包括哪些方面; 【设计意图:让学生在研究指数函数时有明确的目标:函数三个要素(对应 法则、定义域、值域、 )和函数的基本性质(单调性、奇偶性) 。 】 ②研究函数(比如今天的指数函数)可以怎么研究?用什么方法、从什么角 度研究? 可以从图象和解析式这两个不同的角度进行研究; 可以从具体的函数入手 (即 底数取一些数值) ;当然也可以用列表法研究函数,只是今天我们所学的函数用列 表法不易得出此函数的性质,可见具体问题要选择适当的方法来研究才能事半功 倍!还可以借助一些数学思想方法来思考。 【设计意图:①让学生知道图象法不是研究函数的唯一方法,由此引导学生 可以从图象和解析式(包括列表)不同的角度对函数进行研究; ②对学生进行数学思想方法(从一般到特殊再到一般、数形结合、分类讨论) 的有机渗透。 】 ⑵分组活动,合作学习(约 8 分钟) 师:好,下面我们就从图象和解析式这两个不同的角度对指数函数进行研究。 ①让学生分为两大组,一组从解析式的角度入手(不画图)研究指数函数, 一组借助电脑通过几何画板的操作从图象的角度入手研究指数函数; ②每一大组再分为若干合作小组(建议 4 人一小组) ; ③每组都将研究所得到的结论或成果写出来以便交流。 【学情预设:考虑到各组的水平可能有所不同,教师应巡视,对个别组可做 适当的指导。 】 【设计意图:通过自主探索、合作学习不仅让学生充当学习的主人更可加深 对所得到结论的理解。 】 ⑶交流、总结(约 10~12 分钟) 师:下面我们开一个成果展示会! 教师在巡视过程中应关注各组的研究情况,此时可选一些有代表性的小组上 台展示研究成果,并对比从两个角度入手研究的结果。 教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求 学生分析。这里除了研究定义域、值域、单调性、奇偶性外,再引导学生注意是 否还有其它性质? 师:各组在研究过程中除了定义域、值域、单调性、奇偶性外是否还得到一

1 些有价值的副产品呢?(如过定点(0,1) , y ? a x 与 y ? ( ) x 的图象关于 y 轴对 a 称)

【学情预设: ①首先选一从解析式的角度研究的小组上台汇报; ②对于从图象的角度研究的,可先选没对底数进行分类的小组上台汇报; ③问其它小组有没不同的看法,上台补充,让学生对底数进行分类,引导学 生思考哪个量决定着指数函数的单调性,以什么为分界,教师可以马上通过电脑 操作看函数图象的变化。 】 【设计意图: ①函数的表示法有三种:列表法、图象法、解析法,通过这个 活动,让学生知道研究一个具体的函数可以也应该从多个角度入手,从图象角度 研究只是能直观的看出函数的一些性质,而具体的性质还是要通过对解析式的论 证;特别是定义域、值域更是可以直接从解析式中得到的。 ②让学生上台汇报研究成果,让学生有种成就感,同时还可训练其对数学问 题的分析和表达能力,培养其数学素养; ③对指数函数的底数进行分类是本课的一个难点,让学生在讨论中自己解决 分类问题使该难点的突破显得自然。 】 师:从图象入手我们很容易看出函数的单调性、奇偶性、以及过定点(0,1) , 但定义域、值域却不可确定;从解析式(结合列表)可以很容易得出函数的定义 域、值域,但对底数的分类却很难想到。 教师通过几何画板中改变参数 a 的值,追踪 y ? a x 的图象,在变化过程中,让 全体学生进一步观察指数函数的变化规律。 师生共同总结指数函数的图象和性质,教师可以边总结边板书。




0<a<1 a>1

定义域 值 域 性 质 过定点(0,1) 非奇非偶 在 R 上是减函数

R

在 R 上是增函数

(三)巩固训练、提升总结(约 8 分钟) 1 .例:已知指数函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 的图象经过点 (3, ? ) ,求
f (0), f (1), f (?3) 的值。

解:因为 f ( x) ? a x 的图象经过点 (3, ? ) ,所以 f (3) ? ? 即 a ? ? ,解得 a ? ? ,于是 f (3) ? ? 。
3

1 3

x 3

所以 f (0) ? 1, f (1) ? 3 ? , f (?3) ?

1

?



【设计意图:通过本题加深学生对指数函数的理解。 】 师:根据本题,你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗? 师:从方程思想来看,求指数函数就是确定底数,因此只要一个条件, 即布列一个方程就可以了。 【设计意图:让学生明确底数是确定指数函数的要素,同时向学生渗透 方程的思想。 】
1 2.练习:⑴在同一平面直角坐标系中画出 y ? 3 x 和 y ? ( ) x 的大致图象, 3 并说出这两个函数的性质;

⑵求下列函数的定义域:① y ? 2

x ?2

1 ,② y ? ( ) x 。 2

1

3.师:通过本节课的学习,你对指数函数有什么认识?你有什么收获? 【学情预设:学生可能只是把指数函数的性质总结一下,教师要引导学 生谈谈对函数研究的学习,即怎么研究一个函数。 】 【设计意图:①让学生再一次复习对函数的研究方法(可以从也应该从 多个角度进行) ,让学生体会本课的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的 研究中去。 ②总结本节课中所用到的数学思想方法。 ③强调各种研究数学的方法之间有区别又有联系,相互作用,才能融会 贯通。】 4.作业:课本 59 页习题 2.1A 组第 5 题。

七、教学反思
1. 本节课改变了以往常见的函数研究方法, 让学生从不同的角度去研究函数, 对函数进行一个全方位的研究,不仅仅是通过对比总结得到指数函数的性质,更 重要的是让学生体会到对函数的研究方法 ,以便能将其迁移到其他函数的研究中 去,教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”。

2.教学中借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的 不足,可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率,本课使用几 何画板可以动态地演示出指数函数的底数的动态过程,让学生直观观察底数对指 数函数单调性的影响。 3.在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法,让学生在活动中感受数学思 想方法之美、体会数学思想方法之重要,部分学生还能自觉得运用这些数学思想 方法去分析、思考问题。


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