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高考数学椭圆与双曲线的经典性质






1.点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角. 2.PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以 长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4.以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5.若 在椭圆 上,则过 的椭圆的切线方程是 .

6.若

在椭圆

外 , 则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、 P2,

则切点弦 P1P2 的直线方程是

.

7.椭圆 一点

(a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为椭圆上任意 ,则椭圆的焦点角形的面积为

.

8.椭圆 ,

(a>b>0)的焦半径公式: ( , ).

9.设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点, 连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 10.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶 点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF 11.AB 是椭圆 的不平行于对称轴的弦,M 为 AB 的中点,则

,即



12.若

在椭圆

内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是

.

13.若

在椭圆

内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是

. 双曲线 1.点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角. 2.PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以 长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4.以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支; 外切:P 在左支) 5.若 在双曲线 (a>0,b>0)上,则过 的双曲线的切线方

程是

.

6.若

在双曲线

(a>0,b>0)外 ,则过 Po 作双曲线的两条

切线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方 程是 .

8.双曲线 当 当

(a>0,b>o)的焦半径公式:( 在右支上时, 在左支上时, , , .

,

9.设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶 点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 10.过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上 的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11.AB 是双曲线 (a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M 为 AB

的中点,则

,即



12.若

在双曲线

(a>0,b>0)内,则被 Po 所平分的中点弦

的方程是

.

13.若

在双曲线

(a>0,b>0)内,则过 Po 的弦中点的轨迹

方程是 椭圆 1.椭圆

.

(a>b>o)的两个顶点为

,

,与 y 轴平行的直

线交椭圆于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹 方程是 .

2.过椭圆

(a>0, b>0)上任一点

任意作两条倾斜角互补的

直线交椭圆于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且

(常数)

3.若 P 为椭圆

(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点,

,

,则

.

4.设椭圆

(a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为

椭圆上任意一点,在△PF1F2 中,记 , , ,则有 .

5.若椭圆

(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则

当 0<e≤

时,可在椭圆上求一点 P,使

得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6.P 为椭圆 则 且仅当 (a>b>0) 上任一点,F1,F2 为二焦点, 为椭圆内一定点, A ,当 三点共线时,等号成立.

7.椭圆

与直线 .

有公共点的充要条件是

8.已知椭圆

(a>b>0),O 为坐标原点,P、Q 为椭圆上两动点,且

.(1)

;

(2)|OP|2+|OQ|2 的最大值为

;(3)

的最小值是

.

9.过椭圆

(a>b>0)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,

弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则

.

10.已知椭圆

( a>b>0) , 则

,A、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂

直平分线与 x 轴相交于点

.

11.设 P 点是椭圆

( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2 为其

焦点记

,则(1)

.(2)

.

12.设 A、B 是椭圆 , ,

( a>b>0)的长轴两端点,P 是椭圆上的一点, ,c、e 分

别是椭圆的半焦距离心率,则有(1)

.(2

.(3)

.

13.已知椭圆 焦点

( a>b>0)的右准线 与 x 轴相交于点 在右准线 上,且

,过椭圆右 轴,则直线

的直线与椭圆相交于 A、B 两点,点

AC 经过线段 EF 的中点. 14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点 与相应焦点的连线必与切线垂直. 15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线 必与焦半径互相垂直. 16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常 数 e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交 点分别称为内、外点.) 17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 双曲线 1.双曲线 (a>0,b>0)的两个顶点为 , ,与 y 轴平行

的直线交双曲线于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是

.

2.过双曲线

(a>0,b>o) 上任一点

任意作两条倾斜角互补的

直线交双曲线于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且

(常数).

3.若 P 为双曲线 F 2 是焦点, ,

(a>0,b>0) (或左) 右 支上除顶点外的任一点,F1,

,则

(或

).

4.设双曲线

(a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)

为双曲线上任意一点,在△PF1F2 中, 记 , , ,则有 .

5.若双曲线 则当 1<e≤

(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L, 时,可在双曲线上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d

与 PF2 的比例中项. 6.P 为双曲线 一定点,则 轴同侧时,等号成立. 7.双曲线 是 (a>0,b>0)与直线 . 有公共点的充要条件 (a>0,b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为双曲线内 ,当且仅当 三点共线且 和 在y

8.已知双曲线 且 .

(b>a >0),O 为坐标原点,P、Q 为双曲线上两动点,

(1)

;(2)|OP|2+|OQ|2 的最小值为

;(3)

的最小值是

.

9.过双曲线

(a>0,b>0)的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N

两点,弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则 .

10.已知双曲线

(a>0,b>0),A、B 是双曲线上的两点,线段 AB

的垂直平分线与 x 轴相交于点

, 则



.

11.设 P 点是双曲线

(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2

为其焦点记

,则(1)

.(2)

.

12.设 A、B 是双曲线 点, ,

(a>0,b>0)的长轴两端点,P 是双曲线上的一

,c、e 分别是双曲线的半焦距离心率,则有(1)

.

(2)

.(3)

.

13.已知双曲线 线右焦点

(a>0,b>0)的右准线 与 x 轴相交于点 在右准线 上,且

,过双曲 轴,

的直线与双曲线相交于 A、B 两点,点

则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应 交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的 连线必与焦半径互相垂直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比 为常数 e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、 外点). 17.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.


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