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高中数学二项式定理题型总结


二项式定理 知识点归纳 1.二项式定理及其特例: 0 1 (1) (a ? b)n ? Cn an ? Cnanb ??? Cnr an?rbr ??? Cnnbn (n ? N ? ) , 1 (2) (1 ? x)n ? 1 ? Cn x ??? Cnr xr ? ?? xn 2.二项展开式的通项公式: Tr ?1 ? Cnr a n?r b r (r ? 0,2?,n) 1

, 3.常数项、有理项和系数最大的项: 求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对 r 的限制;求有 理项时要注意到指数及项数的整数性 4 二项式系数表(杨辉三角) (a ? b)n 展开式的二项式系数,当 n 依次取 1, 2, 3 ?时,二项式系数 表,表中每行两端都是1 ,除1 以外的每一个数都等于它肩上两个数的 和 5.二项式系数的性质: 0 1 2 n r (a ? b)n 展开式的二项式系数是 Cn , Cn , Cn ,?, Cn . Cn 可以看成以 r 为自变量 的函数 f (r ) ,定义域是 {0,1, 2,?, n} ,例当 n ? 6 时,其图象是 7 个孤立的点(如图) (1)对称性.
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与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等( Cnm ? Cnn?m ) 的对称轴
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直线 r ? 是图象

n 2

(2)增减性与最大值:当 n 是偶数时,中间一项 C 取得最大值;当 n 是奇数时, 中间两项 Cn 2 , Cn 2 取得最大值 1 (3)各二项式系数和:∵ (1 ? x)n ? 1 ? Cn x ? ?? Cnr xr ? ?? xn , 0 1 令 x ? 1 ,则 2n ? Cn ? Cn ? Cn2 ??? Cnr ??? Cnn 题型讲解
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n 2 n

n ?1

n ?1

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例 1 如果在( 的有理项
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x+

1 2 x
4

)n 的展开式中,前三项系数成等差数列,求展开式中

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解:展开式中前三项的系数分别为 1, n , n(n ? 1) ,由题意得 2× n =1+ n(n ? 1) ,
2
r 得 n=8 设第 r+1 项为有理项,T r ?1 =C 8 ·
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1 2r

·x

16 ?3 r 4

8

2

8

,则 r 是 4 的倍数,所以 r=0,4,

8 ,有理项为 T1=x4,T5= 35 x,T9=
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8

1 256 x 2

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点评:求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式,用待定系数法确定 r 例 2 求式子(|x|+
1 -2)3 的展开式中的常数项 |x|
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解法一: (|x|+

1 1 1 1 -2)3=(|x|+ -2) (|x|+ -2) (|x|+ - |x| |x| |x| |x|

3 2) 得到常数项的情况有: ①三个括号中全取-2, (-2) ; 得 ②一个括号取|x|,

1 ,一个括号取-2,得 C 13 C 12 (-2)=-12,∴常数项为(-2)3+ |x| 1 (-12)=-20 解法二: (|x|+ -2)3=( | x | - 1 )6 设第 r+1 项为常数项,则 |x| |x|

一个括号取

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r T r ?1 =C 6 · (-1)r· (

1 r )r·|x| 6?r =(-1)6·C 6 ·|x| 6? 2 r ,得 |x|

6-2r=0,r=3 ∴T3+1=
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(-1)3·C 3 =-20 6

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例 3 ⑴求(1+x+x2+x3) (1-x)7 的展开式中 x4 的系数;⑵求(x+ 4 -4)4
x

的展开式中的常数项; ⑶求(1+x)3+(1+x)4+?+(1+x)50 的展开式中 x3 的系数 解:⑴原式=
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1? x (1-x)7=(1-x4) (1-x)6,展开式中 x4 的系数为(-1) 1? x 2 4 (2 ? x) 8 4 4 4 ( x ? 4 x ? 4) 4 C 6 -1=14 ⑵ (x+ 4 -4) = = 4 , 展开式中的常数项为 C 8 2 4 · (-1) 4 x x x 3 48 (1 ? x) 51 ? (1 ? x) 3 4 4 =1120 ⑶方法一:原式= (1 ? x) [(1 ? x) ? 1] = 展开式中 x3 的系数为 C 51 x (1 ? x) ? 1
4
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方法二:原展开式中 x3 的系数为 4 4 C 3 +C 3 +C 3 +?+C 3 =C 4 +C 3 +?+C 3 =C 5 +C 3 +?+C 3 =?=C 51 50 50 50 4 4 4 3 5 5 点评:把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键
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例 4 求 ? x2 ? ?
?

1 ? 9 ? 展开式中 x 的系数 2x ?
r Tr ?1 ? C9 x 2
3

9





? ?

9? r

1 ? ?r 1 ? 18?3r ? 1 ? r 18? 2 r ? r? ? ? ? ? C9 x ? ? ? x ? C9 ? ? ? x ? 2x ? ? 2? ? 2?

r

r

r



21 ? 1? 18 ? 3r ? 9, 则r ? 3, 故x 9的系数为: C3 ? ? ? =- 9 2 ? 2?

点评:① Cr a n?r b r 是 ?a ? b?n 展开式中的第 r ? 1 项,r ? 0,1,2,?n ②注意二项式系数与 n
3
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1 某项系数的区别 在本题中, 4 项的二项式系数是 C93 , 4 项 x 9 的系数为 C93 ? ? ? , 第 第 ? ?
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? 2?

二者并不相同 100 例 5 求 ? 3 x ? 3 2 ? 展开所得 x 的多项式中,系数为有理数的项数
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100 ? r r , ? Z ,? r 为 3 和 2 3 2 的倍数,即为 6 的倍数,又? 0 ? r ? 100 , r ? N ,?r ? 0,6,?,96 ,构成首项为 0,
100 ?r

r 解: Tr ?1 ? C100 ? 3x?

?

? 2?
3

r

r ? C100 x100?r ? 3

100 ?r 2

r

? 2 3 依题意:

公差为 6,末项为 96 的等差数列,由 96 ? 0 ? (n ? 1) ? 6 得 n ? 17 ,故系数为有理数的 项共有 17 项 点评:有理项的求法:解不定方程,注意整除性的解法特征
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例 6 求 ?x 2 ? 3x ? 2? 展开式中 x 的系数 5 5 5 解法一: ? x 2 ? 3x ? 2 ? ? ? x ? 1? ? ? x ? 2 ?
5
1 5 0 1 5 ? ? C50 x5 ? C5 x 4 ? ? ? C54 x ? C5 ? ? ? C5 x 5 ? C5 x 4 2 ? ? ? C54 x ? 24 ? C5 25 ?

故展开式中含 x 的项为
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? ?? ? ? T ? C ?x ? 2 ? ? ?3x ? ?0 ? r ? 5, r ? N ? ,要使 x 指数为 1,只有 r ? 1 才有可能,即 T ? C ?x ? 2 ? ? 3 x ? 15 x?x ? 4 ? 2 x ? 6 ? 4 x ? 4 ? 8 x ? 2 ?,故 x 的系数为15? 2 ? 240 ,解法 三: ? x ? 3x ? 2 ? ? ? x ? 3x ? 2 ?? x ? 3x ? 2 ?? x ? 3x ? 2 ?? x ? 3x ? 2 ?? x ? 3x ? 2 ? ,由多项式的 ?x
2

4 5 5 4 C5 x ? C5 ? 25 ? C5 ? C5 x ? 24 ? 2 4 x0 , 故 展 开 式 中 x 的 系 数 为 240 , 解 法 二 :
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? 3 x ? 2 ? x 2 ? 2 ? 3x
r ?1 1 5 r 5 2 5? r 2 4

5

5

r

8

6

4

2

4

4

2

2

5

2

2

2

2

2

乘法法则,从以上 5 个括号中,一个括号内出现 x ,其它四个括号出现常数项,则 1 积为 x 的一次项,此时系数为 C5 3 ? C44 ? 24 ? 240 点评:此类问题通常有两个解法:化三项为二项,乘法法则及排列、组合知 识的综合应用 例 7 设 an=1+q+q2+?+q n?1 (n∈N*,q≠±1) n=C 1n a1+C 2 a2+?+C n an ,A n n
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(1)用 q 和 n 表示 An; (理)当-3<q<1 时,求 lim ? (2) n?
n
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An 2
n

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解: (1)因为 q≠1,所以 an=1+q+q2+?+q n?1 = 1 ? q 于是 An= 1 ? q C 1n + 1 ? q
1? q
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2

1? q

1? q

C 2 +?+ 1 ? q C n n n
n

1? q

1 [ 1n +C 2 +?+C n ) (C 1n q+C 2 q2+?+C n qn) = 1 { n-1) [ (C - ] (2 - (1+q) n n n n 1? q 1? q A n -1]}= 1 [2n-(1+q)n] (2) nn = 1 [1-( 1 ? q )n] 因为-3<q<1,且 1? q 1? q 2 2 A q≠-1,所以 0<| 1 ? q |<1 所以 lim ? nn = 1 n? 1? q 2 2

=

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1 1 例 8 已知 Cn0 ? 2Cn ? 22 Cn2 ? ? ? 2n Cnn ? 729,求 Cn ? Cn2 ? ?? Cnn 分析:在已知等式的左边隐含一个二项式,设法先求出 n 0 1 2 n 解: ?a ? b?n ? Cn a n ? Cn a n?1b ? Cn a n?2b 2 ? ?? Cn b n 中, a ? 1, b ? 2 得 ?1 ? 2?n ? 729 在 令
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1 2 ? 3n ? 7 2 9 ? n ? 6 ?Cn ? Cn ? ?

n

?n C

6

1 ? C

6

2 ? ? C

1 ? C ? ? 6? C60? ? C6 ? C62 ? 6

C ??

6 6

26 ?0 C

1? 6 6 ? 3

?


0 n


2 n


4 n


1 n


3 n


5 n




n?1







0 1 2 n Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? 2n



C ? C ? C ?? ? C ? C ? C ?? ? 2
4

例 9 已知 ?2 x ? 3 ? ? a0 ? a1 x ? a 2 x 2 ? a3 x 3 ? a 4 x 4 ,求 ?a0 ? a2 ? a4 ?2 ? ?a1 ? a3 ?2 解 :
4

②注意所求式中缺少一项,不能直接等于 2 6

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?? 2 ? 3 ?

令 x ? 1 时 , 有 ?2 ? 3 ? ? a0 ? a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 , 令 x ? ?1 时 , 有
2 2

4

? a0 ? a1 ? a 2 ? a3 ? a 4

∵ ? a0 ? a2 ? a4 ? ? ? a1 ? a3 ? ? ? a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ?? a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ?



?a0 ? a2 ? a4 ?2 ? ?a1 ? a3 ?2 ? ?2 ?
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3 ? ?2? 3

? ?
4

?

4

? ?? 1? ? 1
4

点评:赋值法是由一般到特殊的一种处理方法,在高考题中屡见不鲜,特别 在二项式定理中的应用尤为明显 赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的 某些字母赋予一定的特殊值,从而达到便于解决问题的目的 望同学们在学习中举 一反三 例 10 求 ?x ? 2y ?7 展开式中系数最大的项
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?C 7r 2 r ? C 7r ?1 2 r ?1 ?Tr ?1项系数 ? Tr 项系数 解:设第 r ? 1 项系数最大,则有 ? ,即 ? r r ? ?C 7 2 ? C 7r ?1 2 r ?1 ?Tr ?1项系数 ? Tr ? 2 项系数 ? 7! 7! ? 1 ?2 ? 16 2r ? 2r ?1 ? ? r !?7 ? r ? ! ? ?r ? 3 ? r ? 1? ! ? 7 ? r ? 1? ! ? ? ?r 8? r ?? ?? 又? 0 ? r ? 7, r ? N , ? r ? 5 ? 7! 7! 13 1 2 r r ?1 ? ?r ? ? 2 ? 2 ? ? ?7 ? r r ?1 ? r !?7 ? r ? ! 3 ? ? ? r ? 1? ! ? 7 ? r ? 1? ! ?
5 故系数最大项为 T6 ? C7 x 2 ? 25 y 5 ? 672x 2 y 5 点评: 二项式系数最大的项与系数最大的项不同 二项式系数最大的项也即中间项: 当 n 为偶数时中间项 Tn 的二项式系数最大;当 n 为奇数时,中间两项 T n ?1 ,T n ?1
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?1

2
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?1

2

?1

的二项式系数相等且为最大 小结: 1 在使用通项公式 T r ?1 =C rn a n?r br 时,要注意:①通项公式是表示第 r+1 项, 而不是第 r 项 ②展开式中第 r+1 项的二项式系数 C rn 与第 r+1 项的系数不同 ③通项 公式中含有 a,b,n,r,T r ?1 五个元素,只要知道其中的四个元素,就可以求出第 五个元素 在有关二项式定理的问题中,常常遇到已知这五个元素中的若干个,求 另外几个元素的问题,这类问题一般是利用通项公式,把问题归纳为解方程(或 方程组) 这里必须注意 n 是正整数,r 是非负整数且 r≤n 2 证明组合恒等式常用赋值法 课堂练习 1 已知(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+?+a9x9,则|a0|+|a1|+|a2|+?+|a9| 等于 A 29 B 49 C 39 D1 解析:x 的奇数次方的系数都是负值,∴|a0|+|a1|+|a2|+?+|a9|=a0- a1+a2-a3+?-a9 ∴已知条件中只需赋值 x=-1 即可 答案:B 2 2x+ x )4 的展开式中 x3 的系数是 A6 B 12 C 24 D 48 4 2 4 4 解析: (2x+ x ) =x (1+2 x ) ,在(1+2 x ) 中,x 的系数为 C 2 ·22=24 答 4 案:C
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3 (2x3-
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1 x

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)7 的展开式中常数项是 B -14
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A 14
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C 42
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D -42
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解析:设(2x3-
r

1 x

r )7 的展开式中的第 r+1 项是 T r ?1 =C 7 (2x3) 7 ?r (-

1 x



=C 2

r 7

7?r

· (-1) ·x
2

r

r ? ? 3( 7 ? x ) 2


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当- r +3(7-r)=0,即 r=6 时,它为常数项,∴C 6 (-1)6·21=14 答案: 7
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A 4 一串装饰彩灯由灯泡串联而成,每串有 20 个灯泡,只要有一只灯泡坏了, 整串灯泡就不亮,则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为 A 20 B 219 C 220 D 220-1 解析:C 120 +C 2 +?+C 20 =220-1 答案:D 20 20
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5 已知(x- a )8 展开式中常数项为 1120,其中实数 a 是常数,则展开式中各
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x

项系数的和是 A 28 B 38 C 1 或 38 D 1 或 28 r r 解析:T r ?1 =C 8 ·x8-r· (-ax-1)r=(-a)rC 8 ·x8-2r ,令 8-2r=0,∴r=4 , 4 ∴(-a)4C 8 =1120 ∴a=±2 当 a=2 时,令 x=1,则(1-2)8=1 ,当 a=-2 时,令 x=-1,则(-1-2) 8 =38 答案:C
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6 已知(x +x )n 的展开式中各项系数的和是 128,则展开式中 x5 的系数是 _____________ (以数字作答)
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3 2

?

1 3

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解析:∵(x +x )n 的展开式中各项系数和为 128,∴令 x=1,即得所有项 系数和为 2 =128 ,∴n=7 设该二项展开式中的 r+1 项为 T r ?1 =C (x )
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3 2

?

1 3

n

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r 7

3 2

7?r

· (x )

?

1 3

r

r =C 7 ·x
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63 ?11r 6

,令 63 ? 11r =5 即 r=3 时,x5 项的系数为 C 3 =35 答案:35 7
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6

7 若(x+1)n=xn+?+ax3+bx2+cx+1(n∈N*) ,且 a∶b=3∶1,那么 n=________ 3 2 解析:a∶b=C n ∶C n =3∶1,n=11 答案:11
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8 (x-
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1 x

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)8 展开式中 x5 的系数为_____________
r 8

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解析:设展开式的第 r+1 项为 T r ?1 =C x
3r 2

8 -r

· (-
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1 x

) =(-1) C x
r 8

r

r

8?

3r 2

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令 8-

2 =5 得 r=2 时,x5 的系数为(-1)2·C 8 =28 答案:28
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9 若(x3+
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1 x x

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)n 的展开式中的常数项为 84,则 n=_____________
r n

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解析:T r ?1 =C (x )
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3

n-r

· (x ) =C ·x
r n

?

3 2

r

9 3n ? r 2
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,令 3n- 9 r=0,∴2n=3r ∴n 必
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2

6 为 3 的倍数,r 为偶数 试验可知 n=9,r=6 时,C rn =C 9 =84 答案:9 10 已知(x lg x +1)n 展开式中,末三项的二项式系数和等于 22,二项式系数最 大项为 20000,求 x 的值
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解:由题意 C n?2 +C n?1 +C n =22,即 C 2 +C 1n +C 0 =22,∴n=6 ∴第 4 项的二项 n n n n n
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式系数最大 ∴C 3 (x lg x )3=20000,即 x3lgx=1000 ∴x=10 或 x= 6
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1 10

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11 若(1+x)6(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+?+a11x11 求: (1)a1+a2+a3+?+a11; (2)a0+a2+a4+?+a10 解: (1+x)6(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+?+a11x11 令 x=1,得 (1) a0+a1+a2+?+a11=-26, ① 又 a0=1, 所以 a1+a2+?+a11=-26-1=-65 (2)再令 x=-1,得 a0-a1+a2-a3+?-a11=0 ②
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①+②得 a0+a2+?+a10= 1 (-26+0)=-32
2
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点评:在解决此类奇数项系数的和、偶数项系数的和的问题中常用赋值法, 令其中的字母等于 1 或-1 12 在二项式(axm+bxn)12(a>0,b>0,m、n≠0)中有 2m+n=0,如果它的 展开式里最大系数项恰是常数项
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(1)求它是第几项; (2)求 a 的范围
b

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r r 解: (1)设 T r ?1 =C 12 (axm)12-r· n)r=C 12 a12-rbrxm(12-r)+nr 为常数项,则有 (bx m(12-r)+nr=0,即 m(12-r)-2mr=0,∴r=4,它是第 5 项 (2)∵第 5 项又是系数最大的项, 4 3 4 5 ∴有 C 12 a8b4≥C 12 a9b3 ① C 12 a8b4≥C 12 a7b5 ②
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由①得 12 ? 11? 10 ? 9 a8b4≥ 12 ? 11 ? 10 a9b3,
4 ? 3? 2 3? 2

∵a>0,b>0,∴ 9 b≥a,即 a ≤ 9
4

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b

4

由②得 a ≥ 8 ,∴ 8 ≤ a ≤ 9
b
5 5

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b

4

13 在二项式(
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x+

1 2 x
4

)n 的展开式中,前三项的系数成等差数列,求展开式中

的有理项 分析:根据题意列出前三项系数关系式,先确定 n,再分别求出相应的有理项
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解:前三项系数为 C 0 , 1 C 1n , 1 C 2 ,由已知 C 1n =C 0 + 1 C 2 ,即 n2-9n+8=0, n n n n
2
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4

4

解得 n=8 或 n=1(舍去) T r ?1 =C (
r 8

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x)

8-r

(2

4

x)

-r

=C

r 8

1 · r 2

·x

4?

3r 4

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∵4- 3r ∈Z 且 0≤r≤8,r∈Z,
4

∴r=0,r=4,r=8 ∴展开式中 x 的有理项为 T1=x4,T5= 35 x,T9=
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8 点评:展开式中有理项的特点是字母 x 的指数 4- 3r ∈Z 即可,而不需要指数 4 4
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1 256

x-2

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- 3r ∈N
4
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14 求证:2<(1+ 1 )n<3(n≥2,n∈N*)
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n

n n n 1 1 1 =1+1+C 2 × 2 +C 3 × 3 +?+C n × n n n n n n n n ? (n ? 1) ? ? ? 2 ? 1 n(n ? 1) n( n ? 1)( n ? 2) =2+ 1 × 2 + 1 × +?+ 1 × 3 n n 2! 3! n! nn 1 1 1 <2+ 1 + 1 + 1 +?+ 1 <2+ 1 + 2 + 3 +?+ n ?1 2 2 2 2 2! 3! 4! n! 1 1 n ?1 [1 ? ( ) ] 2 =2+ 2 =3-( 1 ) n?1 <3 1 2 1? 2 1 1 1 显然(1+ 1 )n=1+1+C 2 × 2 +C 3 × 3 +?+C n × n >2 n n n n n n n 所以 2<(1+ 1 )n<3 n
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证明: (1+ 1 )n=C 0 +C 1n × 1 +C 2 ( 1 )2+?+C n ( 1 )n n n n
n

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