当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2011年江苏省高中数学夏令营测试卷


2011 年江苏省高中数学夏令营测试卷
1. 设整数 x, y, z 不全相等,且

xy yz zx ? ? ? 3 ,求 x ? y ? z z x y

2. 不等式 2 x ? 3 x ? 1 ? 12 的解集为

.
2 2

3. 函 数 y ? f ( x) 定 义

域 为 R , 且 对任 x, y ? R , 都 有 f ( x ? y ) ? f ( x) ? 2 f ( y ) , 求

f (2011)
4. 函数 y ?

1 与 y ? 2 sin ?x(?2 ? x ? 4) 的图象所有交点的横坐标之和为 1? x
2

.

5. 设 a, b 为整数,方程 ax ? bx ? 2 ? 0 在区间 (0,1) 内有两个不同的实根,求 a ? b 的最小 值为 .
*

6. 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, 且对每个 n ? N , an an ?1 ? n ? 1 . 求证:

?a
k ?1

n

1
k

? 2( n ? 1 ? 1)

7. 双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a, b ? 0) 的离心率为 2,左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F2 的直线交双曲 a 2 b2

线右支于 A, B ,设 ?AF1 F2 和 ?BF1 F2 的内心分别为 C , D .若当 CD ? 斜角余弦值为 , 求该双曲线方程。

9 时,直线 AB 的倾 2

8 9

8. 如图, ?ABC 的内切圆切三边于 D, E , F , AN 为 BC 边上的高, M 为 AN 的中点,直线

DM 交圆 I 于点 P ,求证:

BF CE ? . BP CP

9. 证明:对于任意正整数 n, n ? 7 不是完全平方数。
2

高中数学奥林匹克模拟真题(一)
第一试
一、填空题 1.设 f ( x) ? ? x ? 2
10 2011

? 22010 ? ? 22 ? 2 , 则 f (2011) =

.

2 . x, y 为 实 数 , 若 对 于 满 足 cos? ? cos ? ? 0 的 任 何 实 数 ? , ? , 都 成 立 等 式 :

sin(? ?

?

6 cos? ? cos ?

) ? sin(? ?

?

) 6 ? x cot ? ? ? ? y ,则 ( x, y ) = 2
2

.

3. 二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图像经过点 A(3,6) 和 B(? ,6) , 若其与 X 轴的两个交 点 C , D 的距离满足 CD ?

1 2

1 ,则函数的具体表达式为 y = 2

.

4.在用 1,2?,8 这八个数码所组成的全部无重复数字的八位数中,能被 11 整除的数共 有 个. 5.设数集 M ? ?a, b, c, d ? ,而 a, b, c, d 两两之和构成集合 S ? ?5,8,9,11,12,15? ,则集 合M = . 6.将正五角星的五个“角” (等腰的小三角形)分别沿其底边折起,使其与原所在平面 成直二面角,则所形成的空间图形中,共有异面直线段 对. 7.对于给定的正整数 n ,则由直线 y ? n 与抛物线 y ? x 所围成的封闭区域内(包括
2 2

边界)的整点个数是 . 8.若四面体的六条棱长分别为 2,3,4,5,6,7,则不同的形状有 两个四面体经适当放置后可完全重合,则认为是相同的形状).

种.(若

二、解答题 9.试确定,是否存在 2011 个实数 a1 , a2 ,?, a2011, 满足: (1) ai ? 1, i ? 1,2,?,2011 ;

(2) a1 ? a2 ? ? ? a2011 ? a1 ? a2 ? ? ? a2011 ? 2010 .

10 . 设 数 列 ?an ?, ?bn ? 满 足 : a0 ? b0 ? 1, an ?1 ? 5an ? 7bn , bn ?1 ? 7an ? 10bn . 证 明 :

?m, n ? N , am ? n ? bm ? n ? am an ? bmbn .

11.设 x, y, z ? R , xy ? yz ? xz ? 1 ,证明不等式:

?

( xy) 2 ( xz) 2 ( yz) 2 ? ? ? 6 xyz ? x ? y ? z. z y x

第二试(加试题)
一、以任意方式,把空间染成五种颜色(每点属于一色,每色的点都有) ; (1)证明:存在一个平面,至少含有四种不同颜色的点;

(2)是否一定存在五色平面?

二、如图, ?PAB 中, E , F 分别是边 PA, PB 上的点,在 AP, BP 的延长线上分别取点

C , D ,使 PC ? AE, PD ? BF , M , N 分别是 ?PCD, ?PEF 的垂心.
证明: MN ? AB .

三、数列 ?an ? 为: 1,1,2,1,1,2,3,1,1,2,1,1,2,3,4,? ,其构作方法是:首先给出 a1 ? 1 ,接 着复制该项 1 后, 再添加其后继数 2, 于是得 a2 ? 1, a3 ? 2 ; 接下来再复制前面所有的项 1,1,2, 再添加 2 的后继数 3,于是得 a4 ? 1, a5 ? 1, a6 ? 2, a7 ? 3 ;接下来再复制前面所有的项,

1,1,2,1,1,2,3, 再添加 3 的后继数 4,于是得前 15 项为 1,1,2,1,1,2,3,1,1,2,1,1,2,3,4 ,如此继续.
试求 a2011 以及数列前 2011 项的和 S 2011 .

四、边长为 n 的菱形 ABCD ,其项角 A 为 60? ,今用分别与 AB, AD 及 BD 平行的三 组等距平行线,将菱形划分成 2n 个边长为 1 的正三角形(如图所示). 试求以图中的线段为边的梯形个数 s ( n) .
2

高中数学奥林匹克模拟真题(二)
第一试
一、填空题 1.若 (20 x ? 11 y) ? ax ? bx y ? cxy ? dy ,则 a ? 2b ? 4c ? 8d ?
3 3 2 2 3

.

2.若一个椭圆的焦点和顶点分别是双曲线 为: .
2 2

y 2 x2 ? ? 1 的顶点和焦点,则椭圆的方程 9 16

3.实数 x, y 满足 2 x ? 3 y ? 6 y ,则 x ? y 的最大值是

.

4 .四面体 ABCD中, CD ? BC, AB ? BC, CD ? AC, AB ? BC ? 1 平面 BCD 与平 面 ABC 成 45? 的二面角,则点 B 到平面 ACD 的距离为 .

5. 二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图像经过点 A(3,6) 和 B(? ,6) , 若其与 X 轴的两个交
2

1 2

点 C , D 的距离满足 CD ? 6.函数 f ( x) ? 7. cos

1 ,则函数的具体表达式为 y ? 2
.

.

x ? x3 的值域是 (1 ? x 2 ) 2

?
15

? cos

2? 4? 7? ? cos ? cos ? 15 15 15

.

8.九个连续正整数自小到大排成一个数列 a1 , a2 ,?, a9 , 若 a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? a9 为一平 方数, a2 ? a4 ? a6 ? a8 为一立方数,则这九个正整数之和的最小值是 二、解答题 .

x2 ? 1 上的动点 M ( x, y ) ,试求 9 .给定 Y 轴上的一点 A(0, a)( a ? 1), 对于曲线 y ? 2

A, M 两点之间距离 AM 的最小值(用 a 表示).

10 . 各 项 均 为 正 数 的 数 列 ?an ?, a1 ? a, a2 ? b , 且 对 满 足 m ? n ? p ? q 的 正 整 数

m, n, p, q 都有

a p ? aq am ? an ? . (1 ? am )(1 ? an ) (1 ? a p )(1 ? aq )

(1)当 a ?

1 4 , b ? 时,求通项 an ; 2 5

(2) 证明: 对任意 a , 存在与 a 有关的常数 ? , 使得对于每个正整数对于每个正整数 n , 都有

1

?

? an ? ? .

11 .用 p ( n) 表示正整数 n 的各位数字之和,求所有这样的三位数 n ,使得满足:

p(n ? 3) ?

1 p ( n) . 3

第二试(加试)
一、 ?ABC 中, D 是角 A 平分线上的任一点, E , F 分别是 AB, AC 延长线上的点,且

CE // BD, BF // CD ;若 M , N 分别是 CE, BF 的中点;
证明: AD ? MN .

二、在锐角三角形 ABC 中, 证明:

sin(A ? B) sin(A ? C ) sin(B ? A) sin(B ? C ) sin(C ? A) sin(C ? B) ? ? ? 0. sin 2 A sin 2 B sin 2C

三、如果既约分数

n n 满足: mn ? 2011, m, n 为正整数,则称 为“兔分数” ;现将所 m m
n1 n2 n3 , , ? ,称为“兔数列” ; m1 m2 m3 nk nk ?1 , , 都满足: mk nk ?1 ? mk ?1nk ? 1. mk mk ?1

有“兔分数”按递增顺序排成一个数列

证明:对于兔数列中的任两个相邻项

四、从圆周的九等分点中,任取五点染为红色;证明:存在以红点为顶点的不同的六 个三角形 ?1 , ? 2 ,?, ? 6 , 满足: ?1 ? ? 2 ; ?3 ? ? 4 ; ?5 ? ?6 .


相关文章:
2011年江苏省高中数学夏令营测试卷
2​0​1​1​年​江​苏​省​高​中​数​学​夏​...2011 年江苏省高中数学夏令营测试卷 1. 设整数 x, y, z 不全相等,且 xy ...
【试卷训练】2011-2012学年江苏省苏州市张家港市梁丰高中高一(上)数学单元测试(集合)
试卷训练】2011-2012学年江苏省苏州市张家港市梁丰高中高一(上)数学单元测试(...为完成一项实地测量任务,夏令营的同学们成立了一支测绘队,需要 24 人参加测量,...
2012年江苏省夏令营高中数学竞赛(练习题)
2012年江苏省夏令营高中数学竞赛(练习题)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2012年江苏...(2002 年伊朗国家队选拔考试题) 分析:本题一般思路为 Ceva 定理计算,计算量较...
2011年湖南省高中数学夏令营试题及答案
关键词:模拟试卷 同系列文档 2009年湖南省高中数学夏令...2012年江苏省数学夏令营测... 6页 2财富值 2005年...2011年湖南省高中数学夏令营试题及答案2011年湖南省...
二零一零年江苏省高中数学夏令营测试
2​0​1​0​年​江​苏​省​高​中​数​学​夏​令​营​测​试2010 年江苏省高中数学夏令营测试 (学生卷) 学生卷)一、填空...
2014年高一数学夏令营检测试卷
2014年高一数学夏令营检测试卷_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2014年高一数学夏令营检测试卷_数学_高中教育_教育专区。---密---封--...
二○○六年江苏省数学夏令营(高中)测试卷
二○○六年江苏省数学夏令营(高中)测试卷 ○○六年江苏省数学夏令营(高中) 六年江苏省数学夏令营一.选择题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.答案...
2011年数学文科测试卷
2011年数学文科测试卷_数学_高中教育_教育专区。2011 年数学文科测试卷参考公式: 球的表面积公式 S = 4? R 2 柱体的体积公式 V = Sh 其中 S 表示柱体的...
【联赛试题集】2003年江苏省数学夏令营数学竞赛题
2006新客贡献于2011-01-19 0.0分 (0人评价)暂无...2012年江苏省夏令营高中数... 10页 10财富值 【联赛...2003年江苏省数学夏令营数学竞赛题2003年江苏省数学...
更多相关标签:
江苏省统计年鉴2011 | 江苏省2011年财政支出 | 2011年江苏省统计公报 | 2011江苏省 扬子杯 | 2011年5月江苏省书法 | 2011江苏省统计公报 | 2011年江苏省基本药物 | 2011江苏省平安校园 |