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福建省武平县第一中学2016届高三上学期数学周考测试试题


武平一中高三数学周考试题(1)9.7
一、选择题 1.下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是( A.f(x)= 12
x



B.f(x)=x2+1 D.f(x)=2-x ( )

C.f(x)=x3

2.过原点作曲线 y ? ln x 的切线,则切线斜率为 A. e2 3.函数 y ? B.
1 e2

C. e )

D.

1 e

cos x 的图象是( ln x

4.函数 f (x ) ? x ? 3 ? log 2 (6 ? x ) 的定义域是( A. {x | x ? 6} B. {x | ?3 ? x ? 6} C. {x | x ? ?3}

) . D. {x | ?3 ? x ? 6}

? x 2 ? 4, ( ?1 ? x ? 0) 5. 已知函数 f ( x ) ? ? , 且 f ( x ) ? ax ? ?1 对定于域内的任意的 x 恒成 ? sin?x, ( x ? 0)

立,则 a 的取值范围是( ) A. (-6,0] B.[-6,0]

C. (-1,0]

D.[-1,0]

7 .设函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且对任意 x ? R 都有 f ( x) ? f ( x ? 4) ,当
x ? (0,2) 时, f ( x) ? 2 x ,则 f (2015) ? f (2012) 的值为(


2

A. ?2

B. ?1

C. 1

2

D. 3

8.函数 f ( x) ? 2ln x ? x2 ? bx ? a (b ? 0, a ? R) 在点 ? b, f (b) ? 处的切线斜率的最小值是 ( A. 2 )
2

B. 2

C. 3

D. 1

8.已知函数 等式

f ( x ) ? a ln( x ? 1) ? x 2 在区间(0,1)内任取两个实数

p,q,且 p≠q,不
[来源:学科网 ZXXK]

f ( p ? 1) ? f (q ? 1) ? 1 恒成立,则实数 a 的取值范围为( p?q



A. ?15, ??)
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

B. (??,15?

C. (12,30?

D. (?12,15?

二、填空题

f (a ) ? f (b) 9.已知函数 f ( x) 满足 f (? x) ? f ( x), 当 a, b ? (??, 0] 时总 有 ? 0( a ? b ) , a?b

若 f (m ? 1) ? f (2m) ,则实数 m 的取值范围是_____ ___. 10.已知奇函数 y ? f ( x) 在定义域 R 上是单调减 函数,且 f (a ? 1) ? f (2a) ? 0 ,则 a 的取值范围是 三、解答题 11.已知 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | , g ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a | ? a(a ? R) . (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? 5 ; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求 a 的取值范围. .

[来源:Zxxk.Com]

12.已知圆的极坐标方程为: ? 2 ? 4

?? ? 2 ? cos ? ? ? ? ? 6 ? 0 . 4? ?

(Ⅰ)将极坐标方程化为普通方程;并选择恰当的参数写出它的参数方程; (Ⅱ)若点 P( x, y ) 在该圆上,求 x ? y 的最大值和最小值.

13.某电视台组织部分记者,用“10 分制”随机调查某社区居民的幸福指数.现从 调查人群中随机抽取 16 名,如图所示的茎 叶图记录了他们的幸福指数的得分(以 小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶):
[来源:Z&xx&k.Com]

(1)指出这组数据的众数和中位数; (2)若幸福指数不低于 9.5 分,则称该人的幸福指数为“极幸福”.求从这 16 人 中随机选取 3 人,至多有 1 人是“极幸福”的概率; (3)以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多) 任选 3 人,记 ? 表示抽到“极幸福”的人数,求 ? 的分布列及数学期望.

14.已知函数 f ? x ? ? ln x ? 函数 f ? x ? 有极大值 1 .
2

x2 .当 x ? e 时, ? a (其中 a ? R ,无理数 e ? 2.71828 ??? ) 2e 2

(1)求实数 a 的值;

(2)求函数 f ? x ? 的单调区间;

2 (3)任取 x1 , x2 ? ? ?e, e ? ? ,证明: f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 3 .

15.已知函数 f ( x) ?

1 2 1 x ? a ln x ? (a ? R ) 2 12

(Ⅰ)求函数 f ( x) 单调区间; (Ⅱ)若 a ? ?1,求证:当 x ? 1 时, f ( x) ?
2 3 x . 3

[来源:Zxxk.Com]

武平一中高三数学周考试题(1)参考答案
1.A 2.D 3.B 4.D 5.B 6.A 7.A 1 1 1 9. 10.(-?,- ) 或 (a ? ? ) (-?, - )( ? 1, +? ) 3 3 3 8.A

11. (1) a ? 0 ; (2)函数 f ( x) 单调增区间为 (0, e) ,单调减区间为 (e, ??) ; (3)见 解析 【解析】试题分析: (1)将 (2)先求出 x ? e 代入函数的表达式求出 a 的值即可;
?3

函数的导数,从而求出函数的单调区间; (3)问题转化为证明 f ( x) max ? f ( x) min 即可.
2 试题解析:解: (1)由题知 f (e) ? ln e ? e 2 ? a ? 1 ,解得 a ? 0

2e

2

2分

(2)由题可知函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,
2 x 2 (e ? x)(e ? x) 又 f ' ( x) ? 1 ? x2 ? e ? ? 2 2

3分

x e e x e x e ? x) (e ? x)(e ? x) 由 (e ? x)( ? 0得0 ? x ? e ; ? 0得 x ? e; 2 e x e2 x

5分

7分 8分

故函数 f ( x) 单调增区间为 (0, e) ,单调减区间为 (e, ??)
2e

2 (3)因为 f ( x) ? ln x ? x 2 ,由(1)知函数 f ( x) 的单调减区间为 (e, ??) ,故 f ( x) 在

[e, e 2 ] 上单调递减,
? f ( x) max ? f (e) ? ln e ?

9分

e2 1 1 ? 1? ? ; 2 2e 2 2 4 e e2 f ( x) min ? f (e 2 ) ? ln e 2 ? 2 ? 2 ? ; 2e 2 2 1 e e2 ? 3 ? f ( x) max ? f ( x) min ? ? (2 ? ) ? 2 2 2 2 e ?3 ? f ( x) max ? f ( x) min ? ?3 ① 2

10 分

11 分

依 题 意 任 取 x1 , x2 ? [e, e 2 ] , 欲 证 明 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 3 , 只 需 要 证 明
f ( x)max ? f ( x) min
? 3,

13 分

由①可知此式成立,所以原命题得证. 14 分 考点:1.利用导数研究函数的单调性;2.利用导数求最值;3.利用导数证明不 等式. 12. (Ⅰ)若 a ? 0 时, f ( x) 的单调增区间为 (0, ??) ;若 a ? 0 时, f ( x) 的单调增区 间为 ( a , ??) ,减区间为 (0, a ) ; (Ⅱ)详见解析.

【解析】 试题分析: (Ⅰ)首先明确函数的定义域,然后求出函数的导函数
f ?( x) ? x ? a x ? a2 ? ( x ? 0) ,最后按 a ? 0 与 a ? 0 分别讨论 f ?( x) 取值符号可得函数 x x

的单调区间; (Ⅱ)构造函数 F ( x) ?
2 3 1 1 x ? ( x 2 ? ln x ? ) ,然后利用函数的导数确定函数在 3 2 12 1 ? 0 ,从而所证不等式成立. (1, ?? ) 上是增函数,再注意到 F (1) ? 12

试题解析: (1) f ( x) 的定义域为 x ? 0
f ?( x) ? x ? a x ? a2 a x2 ? a ? ( x ? 0) ? f '( x) ? x ? ? x x x x

若 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立,即 f ( x) 的单调区间为 (0, ??) 若 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? a 即 f ( x) 的单调区间为 ( a , ??) ,减区间为 (0, a ) (2)证明: 设 F ( x) ? 则 F ?( x) ? 2 x 2 ? x ?
2 3 1 1 x ? ( x 2 ? ln x ? ) 3 2 12

1 ( x ? 1)(2 x 2 ? x ? 1) ? x x

∴ F ( x) 在 (1, ??) 上为增函数,且 F (1) ? 即 F ( x) ? 0 在 (1, ??) 上恒成立

1 ?0 12

1 1 2 ∴当 x ? 1 , x 2 ? ln x ? ? x3 2 12 3 考点:1.函数导数与单调性的关系;2.利用导数证明不等式. 13. (Ⅰ)[-2,3];(Ⅱ)(-∞,1].

试题解析: (Ⅰ) f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | 表示数轴上的 x 对应点到-1 和 2 对应点的距 离之和, 而-2 对应点到-1 和 2 对应点的距离之和正好等于 5,3 对应点到-1 和 2 对 应点的距离之和正好等于 5,故不等式 f ( x) ? 5 的解集为[-2,3]. (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,即 | x ? 2 | ? | x ? a |? a 恒成立. 而 | x ? 2 | ? | x ? a | 的最小值为 | 2 ? a |?| a ? 2 | ,∴ | a ? 2 |? a , 解得 a≤1,故 a 的范围(-∞,1] 10 分 考点:1.不等式恒成立;2. 绝对值不等式. 5分

14. (Ⅰ) x

2

? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 6 ? 0 ;圆的参数方程为 ?

? ? x ? 2 ? 2 cos ? , ? ? y ? 2 ? 2 sin ? ,

; (Ⅱ)x+y 最大值

为 6,最小值为 2. 【解析】试题分析: (Ⅰ)依据 ? 2 ? x2 ? y2 , x ? ? cos? , y ? ? sin ? ,代入到极坐标方 程中得普通方程为 x
2

? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 6 ? 0 ,对此方程配方得 ( x ? 2)

2

? ( y ? 2)2 ? 2 ,根据

圆的参数方程知识得 ? ?
sin(? ?

? x ? 2 ? 2 cos ? , ? ? y ? 2 ? 2 sin ? ,

. (Ⅱ)由(Ⅰ)
?
4

?? ? x ? y ? 4 ? 2sin ? ? ? ? 4? ?

,当

?
4

) ? 1时,x+y 最大值为 6,当 sin(? ?

) ? ?1 时,x+y 最小值为 2.
? x ? 2 ? 2 cos ? , ? ? ? y ? 2 ? 2 sin ? ,

试题解析: (Ⅰ) x

2

? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 6 ? 0 ;圆的参数方程为 ?

5分 10 分

?? (Ⅱ) x ? y ? 4 ? 2sin ? ? ? ? ? ,那么 x+y 最大值为 6,最小值为 2.
? 4?

考点:1.极坐标方程,普通方程与参数方程之间的转化;2.三角函数的最值. 15. (1)8.6,8.75; (2) 121 ; (3)参考解析
140

试题解析: (1)众数 :8.6;中位数:8.75 ; (2)设 Ai 表示所取 3 人中有 i 个人是“ 极幸福” ,至多有 1 人是“极幸福”记为事 件 A , 则 P( A) ? P( A0 ) ? P( A1 ) ? C12
C
3 16 3

?

1 2 C4 C12 121 ? 3 140 C16



(3) ξ 的可能取值为 0,1,2,3.
27 3 27 ; 1 1 3 2 P (? ? 1) ? C 3 ( ) ? P (? ? 0) ? ( ) 3 ? 4 4 64 4 64



1 1 . 9 ; 2 1 2 3 P(? ? 3) ? ( ) 3 ? P(? ? 2) ? C3 ( ) ? 4 64 4 4 64

ξ 的分布列为:
ξ
P

0

1

2

3

27 64

27 64

9 64

1 64

E? ? 0 ?

27 27 9 1 ? 1? ? 2? ? 3? ? 0.75 . 64 64 64 64

另解: ξ 的可能取值为 0,1,2,3,则 ? ~ B(3, 1 ) ,因此 P(? ? k ) ? C3k ( 1 ) k ( 3 )3?k .
4

4

4

有 P(? ? 0) ? ( 3 ) 3 ? 27 ; P(?
4 64

1 ? 1) ? C 3

1 3 2 27 ; ( ) ? 4 4 64

1 1 . 9 ; 2 1 2 3 P(? ? 3) ? ( ) 3 ? P(? ? 2) ? C3 ( ) ? 4 64 4 4 64

ξ 的分布列为:
ξ
P

0

1

2

3

27 64

27 64

9 64

1 64

所以 E? = 3 ? 1 ? 0.75 .
4

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