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妙思的妙思——巧解一道竞赛填空题


妙思 的妙 思  巧 解 一 道 竞 赛 填 空题  江 苏 省 东 台市 实 验 中学 七 ( 7) 班 贺妙 思  题 目: 若 a+b=4, a 2 + 6   =1 2, 则0 5 +6   :   这是我去年4 月参加第 二十五届 “ 希望  杯” 全 国数 学邀 请 赛 第2 试 试 卷 上 的第 2 0   题, 也 是填 空 题 的最 后 一题 , 有 一 定 的难  度. 事后 , 我 和 同学 一 起 探 究 , 发 现 了一 种  =  + 6   - 4 - ( a b)   ( 叶 6 )   贝 U   1 2  ̄ 4 0 = a s + 6   + 2   × 4 ,   故a 5 + 6   = 4 6 4 .   此 解法依 托乘 法 公式 , 巧 妙 地 从 两 个  已知条件a + b = 4, a 2 + 6 。 = 1 2 出发 , 利用 ( a + b )   ? 巧解 , 现整理如下 , 与大家分享.   解 : ’ . 。 a + b = 4 ,   ? . . ( a 2 + b   ) =  + 6   +   ( a + b ) , 得 ̄ J t a 3 + b   = 4 0 , 再  ( a + b)   =1 6 , 即( z 2 + 2  + 6 2 - 1 6 .   利用 ( a 2 + 6   ) (  + 6   ) = a s + 6 s + ( n 6 )   ( 0 + 6 ) , 最  又  . ’  + 6   =1 2   . a b = 2 .   终 得 到 + 6   = 4 6 4 , 从0 、 b 的和 、 平 方 和 求 出  层 递进 , 步步为 营 , 其 构思 之精妙 , 令 人 拍  案 叫绝 !   ( 指 导教 师 : 李长春 )   、 b 的立 方 和 , 进 而得到o 、 b 的五 次方 和 , 层  而 ( a + b ) (  + 6   ) =  + c 击   + a Z b + b   = a 3 + 6   4 -   0 a b( n + 6) ,   ? . . 4x   1   2= a 3 +b   +2x4,   则 + 6   = 4 0 .   又? . ? ( a 2 + b z ) (  + 6   ) =  +   。 +  6 2 + 6 s   老 师肯 定 了我 的发 现 , 并 告诉 我们 : “ 其   目的 就 是 想 让 同学 们 发 现 勾 股 定 理 , 所 以  实 这 是 直 角 三 角 形 一 个 十 分 重 要 的性 质 ,   我们 组织 了一次演 算与发 现 , 只是 没 有 想  也 称勾 股定 理 , 人 类 在 很 早 的 文 明 时 期 就  到 有 学 生 并 没 有 从 图 1 出发 发 现 定 理 , 而 出  发现 了这个 性质 , 下 学 期 将 有 一 章 的 内 容  现 一 次 课 堂 插 曲 ,将 图 1 补成一个正方形 ,   来 专 门 学 习这 个 定 理 . 你 们 现 在 就 已 发 现  而 这 个 图 形 也 是 勾 股 定 理 的 重 要 证 明 方  这个 性 质 , 应 该 记 录 下来 , 感 兴 趣 的 同 学  法 . 这个“ 插 曲” 的出 现 , 对 我 们 是 有 启 示  还 可 以 深 入 思 考 这 个 性 质 的 其 他 证 明 方  的 , 那 就 是 数 学 上 的发 现

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