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【锁定高考】2015高考数学(文)一轮总复习训练手册:2.10 变化率、导数与导数的运算]


A组

基础达标 满分:50 分)

(时间:30 分钟

若时间有限,建议选讲 3,8,9 一、 选择题(每小题 5 分,共 25 分) ? 1? 1 ? ? 2 (2013·肇庆模拟)曲线 f(x)= x 在点?1, ?处的切线方程为(C) 2? 2 ?

A. 2x+2y+1=0 B. 2x+2

y-1=0 C. 2x-2y-1=0 D. 2x-2y-3=0 1 ∵f(x)= x2,∴f′(x)=x,∴k=f′(1)=1, 2 1 ∴切线方程为 y- =x-1,即 2x-2y-1=0. 2 (2014·威海质检)设曲线 y=ax2 在点(1,a)处的切线与直线 2x-y-6 =0 平行,则 a 等于(A) A. 1 B. 1 2 1 2 D. -1

C. -

由 y′=2ax,点(1,a)在曲线 y=ax2 上, ∴k=y′|x=1=2a=2,解得 a=1. (2013·汕头模拟) 若直线 y=x 是曲线 y=x3-3x2+px 的切线, 则实数 p 的值为(D)

A. 1

B. 2

C.

13 4

D. 1 或

13 4

∵y′=3x2-6x+p,设切点 P(x0,x0) , 3 ? x= , ? ? ? 2 ?3x -6x +p=1, ?x =0, ∴? 解得? 或? ? ? x - 3x + px = x , p = 1 13 ? ? p = ? ? 4.
2 0 0 0 0 3 0 2 0 0 0

(2013·东莞模拟)曲线 y=2x-x3 在横坐标为-1 的点处的切线为 l,则 点 P(3,2)到直线 l 的距离为(A) 7 A. 2 2 B. 9 2 2 C. 11 2 2 D. 9 10 10

∵y′=2-3x2,∴k=y′|x=-1=2-3×(-1)2 = -1. ∴切线 l 的方程为 y+1=-(x+1) ,即 x+y+2=0. ∴点 P(3,2)到直线 l 的距离为 |3+2+2| 7 2 = . 2 2 f(x0+h)-f(x0-h) h 等于(B)

(2013·淄博模拟)若 f′(x0)=3,则 A. 3 B. 6 C. 9 D. 12

f(x0+h)-f(x0-h) h = f(x0+h)-f(x0)-[f(x0-h)-f(x0)] h f(x0+h)-f(x0) f(x0+h)-f(x0) + h h



=f′(x0)+f′(x0)=6,选 B. 二、 填空题(每小题 5 分,共 15 分) (2014·皖南联考)曲线 f(x)=sin x 的切线的倾斜角 α 的取值范围是

? ? ? π? ? ? ? 3π ? ?0, 4 ?∪? 4 ,π? W. ? ? ? ? f′(x)=cos x,而 cos x∈[-1,1],即 -1≤tan α ≤1,又 α ∈[0, ? ? ? π? ? ? ? 3π ? π) ,由正切函数图像得 α ∈?0, ?∪? ,π?. 4? ? 4 ? ? 如图,直线 l 是曲线 y=f(x)在 x=4 处的切线,则 f′(4)= 1 2 W.

由图像知 l 过点(0,3) , (4,5) ,因此可以求出切 线 l 在点(4,5)处 5-3 1 的斜率, f′(4)= = . 4-0 2 1 1 (2012·哈尔滨模拟)已知函数 f(x)= x- sin 2 4 在点 A(x0,y0)处的切线斜率为 1,则 tan x0= 1 1 由 f(x)= x- sin 2 4 x- 3 4 cos x, - x- 3 3 4 cos x 的图像

W.

1 1 3 得 f′(x)= - cos x+ sin 2 4 4 1 1 则 k=f′(x0)= - cos 2 4 即 3 2 sin x0+ 3 4

x,

sin

x0=1,

? π? 1 ? ? x0- cos x0=1,即 sin?x0- ?=1. 6? 2 ?

π π 2π ∴x0- =2kπ+ ,k∈Z,解得 x0=2kπ+ ,k∈Z. 6 2 3 ? 2π? 2π ? ? 故 tan x0=tan?2kπ+ ?=tan =- 3? 3 ? 三、 解答题(共 10 分) (2014·江门模拟)已知函数 f(x)=x3-3x 及 y=f(x)上一点 P(1, 3.

-2) ,过点 P 作直线 l. (1)求使直线 l 和 y=f(x)相切且以 P 为切点的直线方程; (2)求使直线 l 和 y=f(x)相切且切点异于 P 的直线方程. (1)由 f(x)=x3-3x,得 f′(x)=3x2-3, 过点 P 且以 P(1,-2)为切点的直线的斜率 f′(1)=0, ∴所求直线方程为 y=-2.(4 分) (2)设过 P(1,-2)的直线 l 与 y=f(x)切于另一点(x0,y0) , 则 f′(x0)=3x2 0-3, 又直线 l 过(x0,y0) ,P(1,-2) , 故其斜率可表示为 y0-(-2) x0-1 x3 0-3x0+2 = , (6 分) x0-1

x3 0-3x0+2 ∴ =3x2 0-3, x0-1
2 即 x3 , (8 分) 0-3x0+2=3(x0-1)·(x0-1)

1 解得 x0=1(舍去)或 x0=- , 2 ?1 ? 9 ? ? 故所求直线的斜率为 k=3×? -1?=- , 4 ?4 ? 9 ∴直线方程为 y-(-2)=- (x-1) , 4 即 9x+4y-1=0.(10 分) B组 提优演练 满分:50 分)

(时间:30 分钟

若时间有限,建议选讲 4,7,9 一、 选择题(每小题 5 分,共 20 分)

?π ? 1+cos x ? ? (2014·天水模拟)设曲线 y= 在点? ,1?处的切线与直线 x-ay sin x ?2 ? +1=0 平行,则实数 a 等于(A)

A. -1

B.

1 2

C. -2

D. 2 -1-cos x sin2x π ,∴y′|x= =-1.由条件 2

∵y′=

-sin2x-(1+cos x)cos x sin2x



1 知 =-1,∴a=-1. a (2014·巨野模拟)若点 P 是曲线 y=x2-ln x 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的最小距离为(B) A. 1 B. 2 C. 2 2 D. 3

1 设 P(x0,y0)到直线 y=x-2 的距离最小,则 y′|x=x0=2x0- =1.得 x0 1 x0=1 或 x0=- (舍去).∴点 P 坐标为(1,1).∴P 到直线 y=x-2 距离为 d 2 |1-1-2| = = 1+1 2.

(2014·恩施模拟)f(x)与 g(x)是定义在 R 上的两个可导函数,若 f (x) ,g(x)满足 f′(x)=g′(x) ,则 f(x)与 g(x)满足(C) A. f(x)=g(x) B. f(x)=g(x)=0 C. f(x)-g(x)为常数函数

D. f(x)+g(x)为常数函数 由 f′(x)=g′(x) ,得 f′(x)-g′(x)=0,即[f(x)-g(x)]′=0, ∴f(x)-g(x)=C(C 为常数). (2014·商丘二模)等比数列{an}中,a1=2,a8=4, f(x)=x(x-a1) (x-a2)…(x-a8) , f′(x)为函数 f(x)的导函数,则 f′(0)等于(D) A. 0 B. 26

C. 29 D. 212 ∵f(x)=x(x-a1) (x-a2)…(x-a8) , ∴f′(x)=x′(x-a1)…(x-a8)+x[(x-a1)…(x-a8)]′ =(x-a1)…(x-a8)+x[(x-a1)…(x-a8)]′,
4= ∴f′ (0) = (-a1) · (-a2) ·…· (-a8) +0=a1·a2·…·a8= (a1·a8) (2×4) 4=(23)4=212.

二、 填空题(每小题 5 分,共 15 分) (2013·郑州模拟)已知函数 f(x)=ln x+2x2+3x-4,则 f′(1)= W. 1 ∵f′(x)= +4x+3,∴f′(1)=1+4+3=8. x (2012·辽宁高考)已知 P,Q 为抛物线 x2=2y 上两点,点 P,Q 的横坐 标分别为 4,-2,过 P,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的 纵坐标为 -4 W. 8

1 易知抛物线 y= x2 上的点 P(4,8) ,Q(-2,2) ,且 y′=x,则过点 P 2 的切线方程为 y=4x-8,过点 Q 的切线方程为 y=-2x-2,联立两个切线方

程解得交点 A(1,-4) ,∴点 A 的纵坐标是-4. 已知 f1(x)=sin x+cos x,记 f2(x)=f′1(x) , f3(x)=f′2(x) ,…, ? fn(x)=f′n-1(x) (n∈N*,n≥2) ,则 f1? f2(x)=f1′(x)=cos x-sin f3(x)=(cos x-sin f4(x)=-cos x+sin ?π? ?π? ?π? ? ? ? ? ? +f2? ?+…+f2 012? ?= ? ? 2? ? 2? ?2? 0 W.

x, x-cos x,

x)′=-sin

x, f5(x)=sin x+cos x,

以此类推,可得出 fn(x)=fn+4(x) , 又 f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0, ?π? ?π? ?π? ?π? ?π? ?π? ?π? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴f1? ?+f2? ?+…+f2 012? ?=503[f1? ?+f2? ?+f3? ?+f4? ?]=0. 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? 三、 解答题(共 15 分) (6 分) (2014·潍坊一中模拟)求下列函数的导数. (1)y=x·tan x; (2)y=(x+1) (x+2) (x+3). (1)y′=(x·tan x)′=x′tan x+x(tan x)′ ? sin x ? cos2x+sin2x ? ? =tan x+x·? ?′=tan x+x· cos2x ?cos x? x =tan x+ .(3 分) cos2x (2)y′=(x+1)′(x+2) (x+3)+(x+1)[(x+2) (x+3)]′=(x +2) (x+3)+(x+1) (x+2)+(x+1) (x+3)=3x2+12x+11.(6 分) b (9 分)设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2, f(2) )处的 x 切线方程为 7x-4y-12=0.

(1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所 围成的三角形面积为定值,并求此定值. 7 1 (1)方程 7x-4y-12=0 可化为 y= x-3,当 x=2 时,y= .又 f′(x) 4 2 b 1 ? 2a- = , ? 2 2 ? b 3 ?a=1, =a+ ,则? 解得? 故 f(x)=x- .(4 分) x x ? b 7 ?b=3. a + = , ? ? 4 4
2

3 (2)设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 y′=1+ 2知曲线在点 P(x0,y0) x ? ? ? 3? 3? 3? ? ? ? ? ? ? 处的切线方程为 y-y0=?1+ 2?· (x-x0) ,即 y-?x0- ?=?1+ 2?(x-x0). x0? x0? ? x0? ? ? (5 分) ? 6? ? ? 0 ,- 令 x=0 得 y=- ,从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为? . x0? x0 ? ? 6 令 y=x 得 y=x=2x0,从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0). ? 1 ? ?6? ∴点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形面积为 ×? ? 2 ?x0? ×|2x0|=6. 故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的 面积为定值,此定值为 6.(9 分)


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