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3.4-3-1函数最值


3.4函数的基本性质(3)
——函数的最大值、最小值

问题引入:
? 动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的长方形熊猫居室

(如图)。如果可供建造围墙的材料长是30米,那么宽x为 多少米时才能使所建造的熊猫居室面积最大?熊猫居室的最 大面积是多少平方米?
解: 设每间熊猫居室的宽为x米, (0<x<10)
2间总长为(30-3x)米 熊猫居室的总面积为y平方米 由题意得 y=x(30-3x) x取什么值时面积y才能达到最大值? 30-3x

x

配方得

即当x取(0,10)内任何实数时, ≥0,所以y≤75 面积y的值不大于75平方米 又因为5∈(0,10),而当x=5时,y取得75, 因为(x-5)2 所以当熊猫居室的宽为5米时,它的面积最大, 最大值为75平方米。

y=-3(x-5)2+75

函数最大值与最小值的概念:
一般地,设函数 y ? f ( x ) 在 x0 处的函数值是 f ( x0 ) 。 如果对于定义域内的任意x, 不等式 f(x) ? f(x0 ) 都成立,那么 f ( x0 ) 叫做函数 y ? f ( x ) 的最小值,记作ymin ? f ( x0 ) 如果对于定义域内的任意x, 不等式 f ( x) ? f ( x0 ) 都成立,那么
f ( x0 ) 叫做函数 y ? f ( x ) 的最大值,记作 ymax ? f ( x0 )
最高点
f(x0) f(x0)

最低点
x0 x0

讨论函数
区间

y ? x2 ? 2 x ? 3 2 ? ? x ? 1? ? 4

在下列各区间的最值:
y 5

y

max

ymin
f(1)=- 4

X=1

x?R
x ? ?? ?, 0?

x ? ?2 ,4?

无 无 f(4)= 5 f(-2)=5

x ? ?? 2 ,2?

f(0)=- 3 f(2)=- 3 f(1)=- 4

-2 -1

0 1 2

3 4

x

-3 -4

归纳小结:
顶点横坐标(对称轴)不在给定区间内:最值在两端点处取得 顶点横坐标(对称轴)在给定区间内 :最值除端点外,在顶点

处亦可取得
二次函数的最值

试一试:
求下列二次函数的最大值或者最小值:

?1? f ? x ? ? 2x

2

? 3x ? 1

? 2? f ? x ? ? ? x2 ? 2 x ? 3
变式1:定义区间为[-2,1/2] 变式2:定义区间为(-2,3]

-2 - 1 0

1

3

2、二次函数在闭区间上 一定有最大值和最小值 3、对于闭区间上的单调 函数,一定在区间端点 处取得最大值或最小值

1、定义在R上的二次函数在 顶点处取得最大值或最小值

二次函数的最值






2









例:已知函数 y ? x ? 2ax ? a

x ? ?? 1, 1?
y

a是常数,

求函数的最小值
解: 函数 y ? x ? 2ax ? a 2 ? ? y ? x ? a ? a ? a2 配方得: 自变量x的取值范围为?? 1, 1? 1. a ? ?1 ? ymin ? f ( ?1 )
2

-1 0

1 x

? 1 ? 3a
2. ? 1 ? a ? 1 ? ymin ? f ( a ) ? a ? a 3. a ? 1 ? ymin ? f ( 1 ) ? 1 ? a
y -1 0 1
2

x=a

x=a x=a

y -1
0 1 x -1

y

x

1 0 x

x=a

x=a

x=a

课堂小结:
? ?

1、函数最大值、最小值的概念: 2、二次函数的最值:

——函数图像在定义域内最高点和最低点的函数值

⑴定义域为R——顶点处取得最值 ⑵定义域为闭区间
顶点(对称轴)在区间外——区间端点处取得最值(单调性) 顶点(对称轴)在区间内——顶点和一端点处取得最值

?

3、数学思想方法:
数形结合、分类讨论


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