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2016-2017学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1.2 共面向量定理课时作业


3.1.2
课时目标

共面向量定理

1.理解共面向量的定义.2.掌握共面向量定理,并能熟练应用.

1.共面向量的定义: 一般地,能________________的向量叫做共面向量. 2.共面向量定理: 如果两个向量 a、b 不共线,那么向量 p 与向量 a、b 共面的充要条件是存在有序实数组 (x,y),使得 p=__________. 3.共面向量定理的应用: (1)空间中任意两个向量 a,b 总是共面向量,空间中三个向量 a,b,c 则不一定共面. (2)空间中四点共面的条件 → → → 空间点 P 位于平面 MAB 内,则存在有序实数对 x、y 使得MP=xMA+yMB,① → → 此为空间共面向量定理,其实质就是平面向量基本定理,MA,MB实质就是面 MAB 内平面 向量的一组基底. → → → → 另外有OP=OM+xMA+yMB,② → → → → 或OP=xOM+yOA+zOB (x+y+z=1).③ ①、②、③均可作为证明四点共面的条件,但是①更为常用.

一、填空题 1.下列说法中正确的是________.(写出所有正确的序号) ①平面内的任意两个向量都共线; ②空间的任意三个向量都不共面; ③空间的任意两个向量都共面; ④空间的任意三个向量都共面. 2.满足下列条件,能说明空间不重合的 A、B、C 三点共线的有________.(写出所有正 确的序号) → → → → → → ①AB+BC=AC;②AB-BC=AC; → → → → ③AB=BC; ④|AB|=|BC|. 3.在下列等式中,使点 M 与点 A,B,C 一定共面的是________.(写出所有符合要求的 序号) → → → → ①OM=2OA-OB-OC; → 1→ 1→ 1→ ②OM= OA+ OB+ OC; 5 3 2 → → → ③MA+MB+MC=0; → → → → ④OM+OA+OB+OC=0. 4.已知向量 a 与 b 不共线,则“a,b,c 共面”是“存在两个非零常数 λ ,μ 使 c= λ a+μ b”的____________条件. → → → → 5. 已知 P 和不共线三点 A, B, C 四点共面且对于空间任一点 O, 都有OP=2OA+OB+λ OC, 则 λ =________. 6. 三个向量 xa-yb, yb-zc, zc-xa 的关系是________. (填“共面”“不共面”“无 法确定是否共面”).
1

→ → → → → 7.在 ABCD 中,AB=a,AD=b,AN=2NC,M 为 BC 的中点,则MN=____________(用 a、 b 表示). → → → → 8.在四面体 O-ABC 中,OA=a,OB=b,OC=c,D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点,则OE= ________(用 a,b,c 表示). 二、解答题 9.设 A,B,C 及 A1,B1,C1 分别是异面直线 l1,l2 上的三点,而 M,N,P,Q 分别是线 段 AA1,BA1,BB1,CC1 的中点.求证:M、N、P、Q 四点共面.

1 → → 10.如图所示,平行六面体 A1B1C1D1-ABCD,M 分A1C成的比为 ,N 分A1D 2

→ → → → 成的比为 2,设AB=a,AD=b,AA1=c,试用 a、b、c 表示MN.

能力提升 → → 11.如图所示,平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点,若A1B1=a,A1D1=b, → → A1A=c,则B1M=__________(用 a,b,c 表示). 12.已知 A、B、M 三点不共线,对于平面 ABM 外的任一点 O,确定下列各条件下,点 P 是否与 A、B、M 一定共面.

2

→ → → → (1)OB+OM=3OP-OA; → → → → (2)OP=4OA-OB-OM.

向量共面的充要条件的理解 → → → 1.空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在实数对(x,y) ,使MP=xMA+yMB. 满足这个关系式的点 P 都在平面 MAB 内; 反之, 平面 MAB 内的任一点 P 都满足这个关系 式.这个充要条件常用以证明四点共面. 2.共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式,即任意一个空间平面可以由空 间一点及两个不共线的向量表示出来, 它既是判断三个向量是否共面的依据, 又可以把 已知共面条件转化为向量式,以便于应用向量这一工具.另外,在许多情况下,可以用 → → → → “若存在有序实数组(x,y,z)使得对于空间任意一点 O,有OP=xOA+yOB+zOC,且 x +y+z=1 成立,则 P、A、B、C 四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据. 3.1.2 知识梳理 1.平移到同一平面内 2.xa+yb 作业设计 1.③ 2.③ 共面向量定理

3

→ → → → 解析 由AB=BC知AB与BC共线,又因有一共同的点 B,故 A、B、C 三点共线. 3.③ → → → → → → → 解析 若有MA=xMB+yMC,则 M 与点 A、B、C 共面,或者OM=xOA+yOB+zOC且 x+y+

z=1,则 M 与点 A、B、C 共面,①、②、④不满足 x+y+z=1,③满足MA=xMB+yMC,
故③正确. 4.必要不充分 解析 验证充分性时,当 a,b,c 共面且 a∥c(或 b∥c)时不能成立,不能使 λ ,μ 都 非零. 5.-2 → → → → 解析 P 与不共线三点 A,B,C 共面,且OP=xOA+yOB+zOC(x,y,z∈R), 则 x+y+z=1 是四点共面的充要条件. 6.共面 解析 因 xa-yb,yb-zc,zc-xa 也是三个向量,且有 zc-xa=-(yb-zc)-(xa- yb),所以三向量共面. 1 1 7.- a+ b 3 6 1→ → → → 1 解析 MN=MC+CN= b+ CA 2 3 1 1 → → = b+ (CB+BA) 2 3 1 1 = b+ (-b-a) 2 3 1 1 =- a+ b. 3 6 1 1 1 8. a+ b+ c 2 4 4 → → → → 9.证明 依题意有BA=2NM,A1B1=2NP. → → → → 又∵PQ=PB1+B1C1+C1Q 1→ → 1→ = BB1+B1C1+ C1C 2 2 1 → → → → 1→ = (BC+CC1+C1B1)+B1C1+ C1C 2 2 1 → → = (BC+B1C1),(*) 2







A,B,C 及 A1,B1,C1 分别共线,
→ → → → → → ∴BC=λ BA=2λ NM,B1C1=ω A1B1=2ω NP.

4

→ 1 → → → → → → → 代入(*)式得PQ= (2λ NM+2ω NP)=λ NM+ω NP,∴PQ,NM,NP共面. 2 ∴M、N、P、Q 四点共面. → → → → 10.解 MN=MA+AA1+A1N 1→ → 2 → = CA+AA1+ A1D 3 3 1→ → 2 → → =- AC+AA1+ A 3 3 1A+AD

(

)

1 2 1 1 1 =- (a+b)+c+ (-c+b)=- a+ b+ c. 3 3 3 3 3 1 1 11.- a+ b+c 2 2 → → → → 1→ 解析 B1M=B1B+BM=A1A+ BD 2 1 → → 1→ 1→ =c+ (BA+BC)=- A1B1+ A1D1+c 2 2 2 1 1 =- a+ b+c. 2 2 12.解 (1)原式可变形为 →

OP=OM+(OA-OP)+(OB-OP)
→ → → =OM+PA+PB, → → → → ∴OP-OM=PA+PB, → → → ∴PM=-PA-PB, ∴P 与 M、A、B 共面. (2)原式可变形为



→ →

→ →



OP=2OA+OA-OB+OA-OM
→ → → =2OA+BA+MA,

→ → →

→ →

→ → → → → ∴AP=-AO-AB-AM,表达式中还含有AO, ∴P 与 A、B、M 不共面.

5


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