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不等式恒成立问题中的参数求解策略


不等式恒成立问题中的参数求解策略
在不等式中,有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立。恒成立条件下不等式参 数的取值范围问题,涉及的知识面广,综合性强,同时数学语言抽象,如何从题目中提取可 借用的知识模块往往捉摸不定,难以寻觅,是同学们学习的一个难点,同时也是高考命题中 的一个热点。下面结合例题浅谈不等式恒成立问题的解题策略

题型一、可化为二次函数类型
有关含有参数的一元二次不等式问题,若能把不等式转化成二次函数或二次方程,通过 根的判别式或数形结合思想,可使问题得到顺利解决。常常有以下两类情况:

㈠可化为二次函数在 R 上恒成立问题
设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) , (1) f ( x) ? 0在x ? R 上恒成立 ? a ? 0且? ? 0 ; (2)(2) f ( x) ? 0在x ? R 上恒成立 ? a ? 0且? ? 0 。
2 例 1 对于 x∈R,不等式 x ? 2x ? 3 ? m ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围。

2 解 : 不 妨 设 f (x) ? x ? 2x ? 3 ? m , 其 函 数 图 象 是 开 口 向 上 的 抛 物 线 , 为 了 使

f ( x ) ? 0( x ? R ) ,只需 ? ? 0 ,即 (?2) 2 ? 4(3 ? m) ? 0 ,解得 m ? 2 ? m ? (??, 2] 。
2 变形:若对于 x∈R,不等式 mx ? 2mx ? 3 ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围。

此题需要对 m 的取值进行讨论,设 f (x) ? mx ? 2mx ? 3 。①当 m=0 时,3>0,显然成 立。②当 m>0 时,则△<0 ? 0 ? m ? 3 。③当 m<0 时,显然不等式不恒成立。由①②③知
2

m ? [0, 3) 。
2 关 键 点 拨 : 对 于 有 关 二 次 不 等 式 ax ? bx ? c ? 0 ( 或 <0 ) 的 问 题 , 可 设 函 数

f (x) ? ax 2 ? bx ? c ,由 a 的符号确定其抛物线的开口方向,再根据图象与 x 轴的交点问题,
由判别式进行解决。

㈡可化为二次函数在闭区间上恒成立问题
设 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0)
2



1





a?0





f ( x) ? 0在x ? [? , ? ]









b ? b ? ? b ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? , ? ? 2a 或? 或? 2a 2a ? ? ? f (? ) ? 0 ? ?? ? 0 ? f (? ) ? 0

? f (? ) ? 0 f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立 ? ? ? f (? ) ? 0

-1-

(2)当 a ? 0 时, f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立 ? ?

? f (? ) ? 0 ? f (? ) ? 0

b ? b ? ? b ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立 ? ? 2a 或? 或? 2a 2a ? ? ? f (? ) ? 0 ? ?? ? 0 ? f (? ) ? 0
2 例 2 已知函数 f (x) ? x ? 2kx ? 2 ,在 x ? ?1 时恒有 f ( x ) ? k ,求实数 k 的取值范围。 2 解: 令 F(x) ? f (x) ? k ? x ? 2kx ? 2 ? k , 则 F( x ) ? 0 对一切 x ? ?1 恒成立, 而 F( x ) 是 开口向上的抛物线。 2 ①当图象与 x 轴无交点满足△<0,即 ? ? 4k ? 4(2 ? k) ? 0 ,解得-2<k<1。

? ?) 时 F( x ) ? 0 ,只需 ②当图象与 x 轴有交点,且在 x ? [?1,

? ?? ? 0 ?k ? ?2或k ? 1 ? ? ? ?3 ? k ? ?2 ?F(?1) ? 0 ? ?1 ? 2k ? 2 ? k ? 0, ? ? 2k ?k ? ?1 ?? ? ?1 ? ? 2 由①②知 ? 3 ? k ? 1 ? ?) 恒成立,构造一个新函数 F(x) ? f (x) ? k 是 关键点拨:为了使 f ( x ) ? k 在 x ? [?1,
解题的关键,再利用二次函数的图象性质进行分类讨论,使问题得到圆满解决。

二、利用函数最值法(分离参数法)
如果能够将参数分离出来, 建立起明确的参数和变量 x 的关系, 则可以利用函数的单调性 求解。

a ? f ( x ) 恒成立 ? a ? f ( x ) max ,即大于时大于函数 f ( x ) 值域的上界。
a ? f ( x ) 恒成立 ? a ? f ( x ) min ,即小于时小于函数 f ( x ) 值域的下界。
例 3 (1)求使不等式 a ? sin x ? cos x, x ? [0, ? ] 恒成立的实数 a 的范围。 解析:由于函 a ? sin x ? cos x ? 显然函数有最大值 2 ,? a ?

2 sin( x ?

?
4

), ( x ?

?
4

) ? [?

? 3?
4 , 4

],

2。

2 ⑵已知二次函数 f (x) ? ax ? x ,如果 x∈[0,1]时 | f ( x ) |? 1,求实数 a 的取值范围。
2 解:x∈[0,1]时, | f ( x ) |? 1 ? ?1 ? f ( x ) ? 1,即 ? 1 ? ax ? x ? 1 ①当 x=0 时,a∈R

2 ? ?ax ? ? x ? 1 1 1 1 1 ? 2 a ? ? ? ? ? 2 2 ? ax ? ? x ? 1 恒成, 1] 时, x 恒成立, x x ②当 x∈ (0, 问题转化为 ? 由 即求 x

1 1 1 ? 1 1? 1 u(x) ? ? 2 ? ? ?? ? ? ? x ? (0, 1], ? [1, ? ? ),u ( x ) x 4 。因 x ? x 2? x 的最大值。设 为减函数, u ( x ) ? ? 2 max 所以当 x=1 时, ,可得 a ? ?2 。

2

-2-

1 1 ? 1 1? 1 1 1 1 1 v(x) ? 2 ? ? ? ? ? ? a? 2 ? ? 2 x ? x 2? 4 。因 x x 的最小值。设 x 恒成立,即求 x x 由 1 x ? (0, 1], ? [1, ? ? ),v( x ) x 为增函数,所以当 x=1 时, v(x) min ? 0 ,可得 a≤0。 由①②知 ? 2 ? a ? 0 。

2

1 ? ?) | f ( x ) | ? 1 关键点拨: 在闭区间 [0, 1] 上使 分离出 a, 然后讨论关于 x 的二次函数在 [1,
上的单调性。

三、变换主元法,适用于一次函数型
在解含参不等式时,有时若能换一个角度,变参数为主元,可以得到意想不到的效果, 使问题能更迅速地得到解决。
2 例 6 若不等式 2x ? 1 ? m(x ? 1) ,对满足 ? 2 ? m ? 2 所有的 x 都成立,求 x 的取值范围。 2 解:原不等式可化为 m(x ? 1) ? (2x ? 1) ? 0 2 令 f (m) ? (x ? 1)m ? (2x ? 1)( ?2 ? m ? 2) 是关于 m 的一次函数。
2 ? ?f (?2) ? ?2( x ? 1) ? (2x ? 1) ? 0 ?1? 7 1? 3 ? 2 ?x? ? f ( 2 ) ? 2 ( x ? 1 ) ? ( 2 x ? 1 ) ? 0 2 2 由题意知 ? 解得

? ?1 ? 7 1 ? 3 ? ? ? , ? ? 2 2 ? ∴x 的取值范围是 ?
关键点拨:利用函数思想,变换主元,通过直线方程的性质求解。

四、数形结合法
对一些不能把数放在一侧的,可以利用对应函数的图象法求解。 2 例 7、当 x ? (1,2)时,不等式(x-1) <logax 恒成立,求 a 的取值范围。 分析:若将不等号两边分别设成两个函数,则左边为二次函数,右边为对数函数,故可 以采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解 a 的取值范围。
2 解:设 T1: f ( x) = ( x ? 1) ,T2: g ( x) ? loga x ,则 T1

y

y1=(x-1)2 y2=logax

的图象为右图所示的抛物线,要使对一切 x ? (1,2),

f ( x) < g ( x) 恒成立即 T1 的图象一定要在 T2 的图象所的
下方,显然 a>1,并且必须也只需 g (2) ? f (2) 故 loga2>1,a>1,? 1<a ? 2.

1 o 2 x

对应练习:
-3-

1、设 f ( x) ? lg 值范围。

1 ? 2x ? a4x , 其中 a ? R ,如果 x ? (??.1) 时, f ( x) 恒有意义,求 a 的取 3

分析:如果 x ? (??.1) 时, f ( x) 恒有意义,则可转化为 1 ? 2 ? a4 ? 0 恒成立,即参数
x x

分离后 a ? ? 最值求解。

1 ? 2x ? ?(2? x ? 2?2 x ) , x ? (??.1) 恒成立,接下来可转化为二次函数区间 x 4

解:如果 x ? (??.1) 时, f ( x) 恒有意义 ? 1 ? 2 ? a4 ? 0 ,对 x ? (??,1) 恒成立.
x x

?a??
令t ?2
?x

1 ? 2x ? ?(2? x ? 2?2 x ) x ? (??.1) 恒成立。 x 4
2 , g (t ) ? ?(t ? t ) 又 x ? (??.1) 则 t ? ( , ??) ? a ? g (t ) 对 t ? ( , ??) 恒成

1 2

1 2

立,又? g (t ) 在 t ? [ , ?? ) 上为减函数, g(t ) max ? g ( ) ? ?

1 2

1 2

3 3 ,? a ? ? 。 4 4

2、 设函数是定义在 (??, ??) 上的增函数, 如果不等式 f (1 ? ax ? x2 ) ? f (2 ? a) 对于任 意 x ? [0,1] 恒成立,求实数 a 的取值范围。 分析:本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为 1 ? ax ? x ? 2 ? a 对于任意
2

x ? [0,1]恒成立,从而转化为二次函数区间最值求解。
2 解:? f ( x) 是增函数? f (1 ? ax ? x ) ? f (2 ? a) 对于任意 x ? [0,1] 恒成立

? 1 ? ax ? x2 ? 2 ? a 对于任意 x ? [0,1] 恒成立 ? x 2 ? ax ? 1 ? a ? 0 对于任意 x ? [0,1] 恒成立,令 g ( x) ? x2 ? ax ? 1 ? a , x ? [0,1] ,











? g(x m ) ? i

n

, 0



??????) a ?, 0 ?g( 0 ? a ? g(x m ) ? g ? (? ? a )?, 即 2 i ?n 2 ? , a?? 2 ? ?2 ???????????

0

-4-

g ( x) min

?1 ? a,??????a ? 0 ? 2 ? a ? ?? ? a ? 1, ?2 ? a ? 0 ? 4 ? ?2,???????????a ? ?2

易求得 a ? 1 。

3、

已知当 x ? R 时,不等式 a+cos2x<5-4sinx 恒成立,求实数 a 的取值范围。 方法一)分析:在不等式中含有两个变量 a 及 x,本题必须由 x 的范围(x ? R)来求

另一变量 a 的范围,故可考虑将 a 及 x 分离构造函数利用函数定义域上的最值求解 a 的 取值范围。 解:原不等式 ? 4sinx+cos2x<-a+5 当 x ? R 时,不等式 a+cos2x<5-4sinx 恒成立 ? -a+5>(4sinx+cos2x)max 设

f(x)=4sinx+cos2x 则 f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin2 x+4sinx+1=-2(sinx-1)2 +3 ? 3
∴ -a+5>3 ? a<2 方法二)题目中出现了 sinx 及 cos2x,而 cos2x=1-2sin x,故若采用换元法把 sinx 换元成 t,则可把原不等式转化成关于 t 的二次不等式,从而可利用二次函数区间最值求 解。 解:不等式 a+cos2x<5-4sinx 可化为 a+1-2sin x<5-4sinx,令 sinx=t,则 t ? [-1,1],
2 2

? 不等式 a+cos2x<5-4sinx 恒成立 ? 2t2-4t+4-a>0,t? [-1,1]恒成立。
设 f(t)= 2t -4t+4-a , 显 然
2

f(x) 在 [-1 , 1] 内 单 调 递 减 ,

f (t ) min =f(1)=2-a,? 2-a>0? a<2

4、

设 f(x)=x2-2ax+2,当 x ? [-1,+ ? )时,都有 f(x) ? a 恒成立,求 a 的取值
-5-

范围。 分析:在 f(x) ? a 不等式中,若把 a 移到等号的左边,则原问题可转化为二次 函数区间恒成立问题。 解:设 F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a. 2 ⅰ)当 ? = (-2a) -4(2-a)=4 (a-1)(a+2)<0 时, 即-2<a<1 时, 对一切 x ? [-1,+ ? ), F(x) ? 0 恒成立; ⅱ)当 ? =4(a-1)(a+2) ? 0 时由图可得以下充要条件:
? ?? ? 0 ?(a ? 1)(a ? 2) ? 0 ? ? ? f ( ?1) ? 0 即 ?a ? 3 ? 0 ?a ? ?1, ? ? 2a ?? ? ?1, ? 2 ?
y

-1

o

x

得-3 ? a ? -2; 综上所述:a 的取值范围为[-3,1]。

5、已知关于 x 的方程 lg(x +20x)-lg(8x-6a-3)=0 有唯一解,求实数 a 的取值范围。 分析:原方程可化成 lg(x +20x)=lg(8x-6a-3),从而得 x +20x=8x-6a-3>0,若将等号 两边分别构造函数即二次函数 y= x +20x 与一次函数 y=8x-6a-3,则只需考虑这两个函数 的图象在 x 轴上方恒有唯一交点即可。
2 2 2

2

解:令 T1:y1= x +20x=(x+10) -100, T2:y2=8x-6a-3, 则如图所示,T1 的图象为一抛物线,T2 的图象是一条斜率 为定值 8,而截距不定的直线,要使 T1 和 T2 在 x 轴上有唯 一交点,则直线必须位于 l1 和 l2 之间。 (包括 l1 但不包括 l2) 当直线为 l1 时,直线过点( -20,0)此时纵截距为 -6a-3=160,a= ? -20

2

2

y l1 l l2 x o

163 ; 6

当直线为 l2 时, 直线过点 (0, 0) , 纵截距为-6a-3=0, a= ?

1 2

∴a 的范围为[ ?

1 163 ? ) , 。 6 2

-6-

6、对于满足|p| ? 2 的所有实数 p,求使不等式 x2+px+1>2p+x 恒成立的 x 的取值范 围。 分析:在不等式中出现了两个变量:x、P,并且是给出了 p 的范围要求 x 的相应范 围,直接从 x 的不等式正面出发直接求解较难,若逆向思维把 p 看作自变量,x 看成参变量,则上述问题即可转化为在[-2,2]内关于 p 的一次函数函数值大于 0 恒成立求参变量 x 的范围的问题。 解:原不等式可化为 (x-1)p+x2-2x+1>0,令 f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则原问题 等价于 f(p)>0 在 p∈[-2,2]上恒成立,故有:
y y

-2

2

x

-2

o 2

x

? x ?1 ? 0 ? x ?1 ? 0 方法一: ? 或? ∴x<-1 或 x>3. ? f (2) ? 0 ? f (?2) ? 0
?x 2 ? 4x ? 3 ? 0 ?x ? 3或x ? 1 ? f (?2) ? 0 ? 方法二: ? 即? 2 解得: ? ? ? f (2) ? 0 ?x ? 1或x ? ?1 ?x ? 1 ? 0

∴x<-1 或 x>3.

-7-


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