当前位置:首页 >> 数学 >>

等差数列课件


高考复习高中等差数列
1、等差数列定义: 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个 常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常 用字母 d 表示。用递推公式表示为 an ? an?1 ? d (n ? 2) 或 an?1 ? an ? d (n ? 1) 。 2、等差数列的通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d ; 说明:等差数列(通常可称为 A P 数列)的单调性: d ? 0 为递增数列, d ? 0 为常数列, d ? 0 为递减数列。 3、等差中项的概念: 定义:如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项。其中 a?b a?b 。 a , A , b 成等差数列 ? A ? A? 2 2 n(a1 ? an ) n(n ? 1) 4、等差数列的前 n 和的求和公式: Sn ? ? na1 ? d。 2 2 5、等差数列的性质: (1)在等差数列 ?an ? 中,从第 2 项起,每一项是它相邻二项的等差中项; (2)在等差数列 ?an ? 中,相隔等距离的项组成的数列是 AP , 如: a1 , a3 , a5 , a7 ,……; a3 , a8 , a13 , a18 ,……;
d? an ? am ( m ? n) ; n?m

( 3 ) 在 等 差 数 列 ?an ? 中 , 对 任 意 m , n ? N? , an ? am ? (n ? m)d ,

( 4 ) 在 等 差 数 列 ? an ? 中 , 若 m , n , p , q ? N ? 且 m ? n ? p ? q , 则
am ? an ? a p ? aq;

说明:设数列 {an } 是等差数列,且公差为 d , (Ⅰ)若项数为偶数,设共有 2n 项,则① S 奇 ? S 偶 ? nd ; ②
S奇 a ? n ; S偶 an ?1

( Ⅱ )若项数为奇数,设共有 2n ? 1 项,则 ① S 偶 ? S 奇 ? an ? a中 ; ②
S奇 n ? 。 S偶 n ? 1

6、数列最值 (1) a1 ? 0 , d ? 0 时, S n 有最大值; a1 ? 0 , d ? 0 时, S n 有最小值; (2) S n 最值的求法:①若已知 S n ,可用二次函数最值的求法( n ? N? ) ;
? an ? 0 ? an ? 0 ②若已知 an ,则 S n 最值时 n 的值( n ? N? )可如下确定 ? 或? 。 ? an ?1 ? 0 ? an ?1 ? 0

一、等差数列
1、数列的概念:数列是一个定义域为正整数集 N*(或它的有限子集{1,2, 3,?,n})的特殊函数,数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
1

[例 1] 根据数列前 4 项,写出它的通项公式: (1)1,3,5,7……; 22 ? 1 32 ? 1 42 ? 1 52 ? 1 (2) , , , ; 2 3 4 5 1 1 1 1 (3) ? , ,? , 。 3*4 1* 2 2 *3 4 *5 ( ?1) n (n ? 1) 2 ? 1 解析:(1) an =2 n ? 1 ; (2) an = ; (3) an = 。 n( n ? 1) n ?1 点评:每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应 关系,这对考生的归纳推理能力有较高的要求。 [例 2] 已知数列 1,4,7,10,?,3n+7,其中后一项比前一项大 3.(1)指出 这个数列的通项公式;(2)指出 1+4+?+(3n-5)是该数列的前几项之和. 错解:(1)an=3n+7; (2) 1+4+?+(3n-5)是该数列的前 n 项之和. 错因:误把最后一项(含 n 的代数式)看成了数列的通项.(1)若令 n=1,a1=10 ? 1,显然 3n+7 不是它的通项. 正解:(1)an=3n-2; (2) 1+4+?+(3n-5)是该数列的前 n-1 项的和. 练习:(1)已知 an ?
n (n ? N * ) ,则在数列 {an } 的最大项为__ n ? 156
2



(2)数列 {a n } 的通项为 a n ? 大小关系为___;

an ,其中 a, b 均为正数,则 a n 与 an?1 的 bn ? 1

(3)已知数列 {an } 中, an ? n2 ? ? n ,且 {an } 是递增数列,求实数 ? 的取 值范围;

2、等差数列的判断方法:定义法 an?1 ? an ? d (d为常数) an?1 ? an ? an ? an?1 (n ? 2) 。 或 [例 1] 已知数列 ?an ? 的前 n 项之和为① S n ? 2n 2 ? n 求数列 ?an ? 的通项公式。 错解: ① a n ? 2n 2 ? n ? 2(n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 4n ? 3 ② an ? n 2 ? n ? 1 ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 1 ? 2n 错因:在对数列概念的理解上,仅注意了 an=Sn-Sn-1 与的关系,没注意 a1=S1.
2

② Sn ? n2 ? n ? 1

正解:

①当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 当 n ? 2 时, a n ? 2n 2 ? n ? 2(n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 4n ? 3 经检验 n ? 1 时 a1 ? 1 也适合, ? a n ? 4n ? 3 ②当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 当 n ? 2 时, an ? n 2 ? n ? 1 ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 1 ? 2n
?3 ∴ an ? ? ?2 n
(n ? 1) (n ? 2)

[例 2] 设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 Sn=n2,则{an}是( ) A.等比数列,但不是等差数列 B.等差数列,但不是等 比数列 C.等差数列,而且也是等比数列 又非等差数列 答案:B; 解法一:an= ? D. 既 非 等比 数 列

( n ? 1) ( n ? 1) ?S1 ?1 ? an ? ? ? 2 n ? 1 ( n ? 2) ?S n ? S n?1 (n ? 2)

∴an=2n-1(n∈N) 又 an+1-an=2 为常数,

a n ?1 2 n ? 1 ? ≠常数 an 2n ? 1

∴{an}是等差数列,但不是等比数列. 解法二:如果一个数列的和是一个没有常数项的关于 n 的二次函数,则这个数 列一定是等差数列。 点评:本题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本知识,以及灵活运用递 推式 an=Sn-Sn-1 的推理能力.但不要忽略 a1,解法一紧扣定义,解法二较为灵 活。 练一练:设 {an } 是等差数列,求证:以 bn= 的数列 {bn } 为等差数列。

a1 ? a 2 ? ? ? a n n ? N * 为通项公式 n

3、等差数列的通项: an ? a1 ? (n ? 1)d 或 an ? am ? (n ? m)d 。
3

n(a1 ? an ) n(n ? 1) , Sn ? na1 ? d。 2 2 [例 3]:等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn,若 a2+a4+a15 的值是一个确定的常数,

4、等差数列的前 n 和: Sn ?

则数列{an}中也为常数的项是( A.S7 C.S13 解析:设 a2+a4+a15=p(常数), 1 ∴3a1+18d=p,解 a7=3p.

) B.S8 D.S15

13×(a1+a13) 13 ∴S13= =13a7= 3 p. 2 答案:C 1 [例 4].等差数列{an}中,已知 a1=3,a2+a5=4,an=33,则 n 为( A.48 B.49 C.50 D.51 )

1 2 1 2 解析:∵a2+a5=2a1+5d=4,则由 a1=3得 d=3,令 an=33=3+(n-1)×3, 可解得 n=50.故选 C. 答案:C 练习 (1)等差数列 {an } 中, a10 ? 30 , a20 ? 50 ,则通项 an ? ;

(2)首项为-24 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差的取值范 围是______ ;

[例 5]:设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,a12 =-8,S9 =-9,则 S16 = ________. 解析:S9=9a5=-9, ∴a5=-1,S16=8(a5+a12)=-72. 答案:-72 a11 [例 6]:已知数列{an}为等差数列,若a <-1,且它们的前 n 项和 Sn 有最大值,
10

则使 Sn>0 的 n 的最大值为(

)

4

A.11 B.19 C.20 D.21 a11 解析:∵a <-1,且 Sn 有最大值, 10 ∴a10>0,a11<0,且 a10+a11<0, 19(a1+a19) ∴S19= =19·10>0, a 2 20(a1+a20) S20= =10(a10+a11)<0. 2 所以使得 Sn>0 的 n 的最大值为 19,故选 B. 答案:B
1 3 练习(1)数列 {an } 中, an ? an ?1 ? (n ? 2, n ? N * ) , an ? ,前 n 项和 2 2 15 ; Sn ? ? ,则 a1 =_, n = 2 (2)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 12n ? n 2 ,求数列 {| an |} 的前 n 项和 Tn .

5、等差中项:若 a, A, b 成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且 A ?

a?b 。 2 提醒:(1)等差数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、

d 、 n 、 an 及 S n ,其中 a1 、 d 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2。 (2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为?, a ? 2d , a ? d , a, a ? d , a ? 2d ? ( 公 差为 d ) ; 偶 数个 数 成 等差 ,可 设 为? , a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ,?(公差为 2 d ) 6.等差数列的性质: (1)当公差 d ? 0 时,等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n n(n ? 1) d d 的一次函数,且斜率为公差 d ;前 n 和 Sn ? na1 ? d ? n 2 ? (a1 ? )n 是关 2 2 2 于 n 的二次函数且常数项为 0. (2)若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则为递减等差数列,若 公差 d ? 0 ,则为常数列。 (3)当 m ? n ? p ? q 时,则有 a m ? a n ? a p ? a q ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有
am ? an ? 2 a p .

(4)若 {an } 、 {bn } 是等差数列,则 {kan } 、 {kan ? pbn } ( k 、 p 是非零常数)、

{a p ? nq }( p, q ? N * ) 、 Sn , S2 n ? Sn , S3n ? S2 n ,?也成等差数列,而 {a an } 成等比数列;
5

若 {an } 是等比数列,且 an ? 0 ,则 {lg an } 是等差数列. [例 1] 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项之和记为 Sn ,S10=10 ,S30=70,则 S40 等 于 。 错解:S30= S10·2d. ? d=30, ? S40= S30+d =100. 错因:将等差数列中 Sm, S2m -Sm, S3m -S2m 成等差数列误解为 Sm, S2m, S3m 成等 差数列.
10 ? 9 ? ?10 a1 ? 2 d ? 10 2 2 ? 正解:由题意: ? 得 a1 ? , d ? 5 15 ?30 a ? 30 ? 29 d ? 70 ? 1 2 ?

代入得 S40 = 40 a1 ?

40 ? 39 ? 40 d ? 120 。 2



练一练:等差数列的前 n 项和为 25,前 2n 项和为 100,则它的前 3n 和 。

(5)在等差数列 {an } 中,当项数为偶数 2n 时, S偶- S奇 ? nd ;项数为奇数
S 2n ? 1 时 , S奇 ? 偶 ?


a , S2 n ?1 ? (2n ? 1) ? a中 ( 这 里 a中 即 an ) ;

S奇 : 偶 ? ( ?k 1 。k S ) :

练一练:项数为奇数的等差数列 {an } 中,奇数项和为 80,偶数项和为 75, 求此数列的中间项与项数.

( 6 ) 若 等 差 数 列 {an } 、 {bn } 的 前 n 和 分 别 为 An 、 Bn , 且

an (2n ? 1)an A2 n ?1 ? ? ? f (2n ? 1) . bn (2n ? 1)bn B2 n ?1
[例 2]等差数列 ?an ? 、 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn、Tn.若

An ? f ( n) , 则 Bn

Sn a 7n ? 1 ? (n ? N ? ), 求 7 ; Tn 4n ? 27 b7

错解:因为等差数列的通项公式是关于 n 的一次函数,故由题意令 an=7n+1;bn=4n+27. a 7 ? 7 ? 1 10 ? 7 ? ? b7 4 ? 7 ? 27 11 错因:误认为 正解:?
Sn an ? bn Tn

a7 a7 ? a7 S13 7 ? 13 ? 1 92 ? ? ? ? b7 b7 ? b7 T13 4 ? 13 ? 27 79
6

练一练:设{ a n }与{ bn }是两个等差数列,它们的前 n 项和分别为 S n 和 Tn , a S 3n ? 1 若 n ? ,那么 n ? ___________; bn Tn 4n ? 3 (7)“首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之和;“首负” 的递增等差数列中,前 n 项和的最小值是所有非正项之和。法一:由不等式组
?an ? 0 ? ?an ? 0 ? 确定出前多少项为非负(或非正);法二:因等差数列前 ? 或? ? ? ? ? ?an ?1 ? 0? ?an ?1 ? 0 ?

n 项是关于 n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特 殊性 n ? N * 。上述两种方法是运用了哪种数学思想?(函数思想),由此你能 求一般数列中的最大或最小项吗?
[例 3]已知一个等差数列 ?an ? 的通项公式 an=25-5n,求数列 ?| a n |? 的前 n 项和; 错解:由 an ? 0 得 n ? 5

? ?

?an ? 前 5 项为非负,从第 6 项起为负,
Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n ? 5)
( 20 ? 5n)( n ? 5) 2

当 n ? 6 时,Sn=|a6|+|a7|+|a8|+?+|an|=

, n?5 ?50 ? ? Sn= ? (20 ? 5n)( n ? 5) , n?6 ? 2 ?

错因:一、把 n ? 5 理解为 n=5,二、把“前 n 项和”误认为“从 n ? 6 起” 的和.
? n(45 ? 5n) , n?5 ? ? 2 正解: ? ? (20 ? 5n)( n ? 5) ? 50 , n ? 6 ? 2 ?

练一练:等差数列 {an } 中, a1 ? 25 , S9 ? S17 ,问此数列前多少项和最大? 并求此最大值;

[例 4].(1)设{an}(n∈N*)是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,且 S5<S6, S6=S7>S8,则下列结论错误的是( ) .. A.d<0
7

B.a7=0

C.S9>S5

D.S6 与 S7 均为 Sn

的最大值 (2)等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为 ( ) A.130 B.170 C.210 D.260 解析:(1)答案:C; 由 S5<S6 得 a1+a2+a3+?+a5<a1+a2+?+a5+a6,∴a6>0, 又 S6=S7,∴a1+a2+?+a6=a1+a2+?+a6+a7,∴a7=0, 由 S7>S8,得 a8<0,而 C 选项 S9>S5,即 a6+a7+a8+a9>0 ? 2(a7+a8)>0, 由题设 a7=0,a8<0,显然 C 选项是错误的。 (2)答案:C

m(m ? 1) ? ma1 ? d ? 30 ? ? 2 解法一:由题意得方程组 ? , 2m( 2m ? 1) ?2ma ? d ? 100 1 ? ? 2 40 10(m ? 2) 视 m 为已知数,解得 d ? 2 , a1 ? , m m2 3ma1 (3m ? 1) 10(m ? 2) 3m(3m ? 1) 40 ∴ S 3m ? 3ma1 ? d ? 3m ? ? 210 。 2 m2 2 m2
解法二:设前 m 项的和为 b1,第 m+1 到 2m 项之和为 b2,第 2m+1 到 3m 项之 和为 b3,则 b1,b2,b3 也成等差数列。 于是 b1=30,b2=100-30=70,公差 d=70-30=40。 ∴b3=b2+d=70+40=110 ∴前 3m 项之和 S3m=b1+b2+b3=210. 解法三:取 m=1,则 a1=S1=30,a2=S2-S1=70,从而 d=a2-a1=40。 于是 a3=a2+d=70+40=110.∴S3=a1+a2+a3=210。 [例 8]项数是 2n 的等差数列,中间两项为 a n 和a n ?1 是方程 x 2 ? px ? q ? 0 的两 根,求证此数列的和 S 2 n 是方程 lg 2 x ? (lg n 2 ? lg p 2 ) lg x ? (lg n ? lg p) 2 ? 0 的根。 ( S 2n ? 0 ) 证明:依题意 an ? an?1 ? p ∵ a1 ? a 2 n ? a n ? a n ?1 ? p

2n(a1 ? a 2 n ) ? np 2 ∵ lg 2 x ? (lg n 2 ? lg p 2 ) lg x ? (lg n ? lg p) 2 ? 0
∴ S 2n ?
8

∴ (lg x ? lg np) 2 ? 0

∴ x ? np ? S 2 n 练习题

(获证)。

1】在 100 以内有多少个能被 7 个整除的自然数? 解 ∵100 以内能被 7 整除的自然数构成一个等差数列,其中 a1=7, d=7,an=98. 代入 an=a1+(n-1)d 中,有 98=7+(n-1)·7 解得 n=14 答 100 以内有 14 个能被 7 整除的自然数. 2】 在-1 与 7 之间顺次插入三个数 a,b,b 使这五个数成等差数 列,求此数列. 解 设这五个数组成的等差数列为{an} 由已知:a1=-1,a5=7 ∴7=-1+(5-1)d 解出 d=2 所求数列为:-1,1,3,5,7.

插入一个数,使之组成一个新的等差数列,求新数列的通项.
1 3 解 原数列的公差d = ?3 ? ( -5) = ,所以新数列的公差d′ = 2 2 1 3 d = ,期通项为 2 4 a n ? ?5 ? 3 3 23 ( n ? 1) ? n ? 4 4 4 3 23 即 an = n ? 4 4

4】 三个数成等差数列,其和为 15,其平方和为 83,求此三个数. 解 设三个数分别为 x-d,x,x+d.
?(x-d) +x+ (x+d) = 15 则? 2 2 2 ?(x-d) +x + (x+d) = 83

解得 x=5,d=±2 ∴ 所求三个数为 3、5、7 或 7、5、3 说明 注意学习本题对三个成等差数列的数的设法. 5】 已知 a、b、c 成等差数列,求证:b+c,c+a,a+b 也成等差
9

数列. 证 ∵a、b、c 成等差数列 ∴2b=a+c ∴(b+c)+(a+b)=a+2b+c =a+(a+c)+c =2(a+c) ∴b+c、c+a、a+b 成等差数列. 说明 如果 a、b、c 成等差数列,常化成 2b=a+c 的形式去运用; 反之,如果求证 a、b、c 成等差数列,常改证 2b=a+c.本例的意图即 在让读者体会这一点. 6】已知等差数列{an},an≠0,公差 d≠0,求证: ①任意 k∈N,关于 x 的方程 akx2+2ak+1x+ak+2=0 有一公共根;

解 akx2+2ak+1x+ak+2=0 ∵{an}为等差数列,∴2ak+1=ak+ak+2 ∴akx2+(ak+ak+2)x+ak+2=0 ∴(akx+ak+2)(x+1)=0,ak≠0 a ∴ x=-1或x k =- k ?2 ak 1 1 ak a ? ? ? k a 1 ? xk a k ? a k ? 2 ? 2d 1 ? k ?2 ak ∵{an}为等差数列,d 为不等于零的常数 1 ∴方程有一公共根-1,数列{ }是等差数列 1? x k

可能是等差数列. 分析 直接证明 a、b、c 不可能是等差数列,有关等差数列的知识 较难运用,这时往往用反证法. 证 假设 a、b、c 是等差数列,则 2b=a+c
10

1 1 1 又∵ 、 、 成等差数列, a b c 2 1 1 ∴ ? ? ,即 2ac=b(a+c) . b a c

∴2ac=b(a+c)=2b2,b2=ac. 又∵ a、b、c 不为 0, ∴ a、b、c 为等比数列, 又∴ a、b、c 为等差数列, ∴ a、b、c 为常数列,与 a≠b 矛盾, ∴ 假设是错误的. ∴ a、b、c 不可能成等差数列. 8】 若正数 a1,a2,a3,?an+1 成等差数列,求证: 1 1 1 n ? ??? ? a1 ? a 2 a2 ? a3 a n ? a n ?1 a 1 ? a n ?1
分析 1 a n ? a n ?1 ? a n ? a n ?1 a n ? a n ?1 ? a n ? a n ?1 ?d

证明 设该数列的公差为 d,则 a1-a2=a2-a3=?=an-an+1=-d ∴a1-an+1=-nd
∴-d = 左式 = a 1 ? a n ?1 n a1 ? a 2 a1 ? a 2

?

a2 ? a3 a2 ? a3

???

a n ? a n ?1 a n ? a n ?1

? ?

a 1 ? a n ?1 ?d a 1 ? a n ?1 a 1 ? a n ?1 n n a 1 ? a n ?1

?

? 右式

∴ 原等式成立.

11


相关文章:
《等差数列》公开课教案
搜试试 3 悬赏文档 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 广告 百度文库 教育专区 ...《等差数列》教案授课时间:2014.04.22 教材:人教版 课题 授课班级: 高一(1)...
《等差数列》公开课教案
搜试试 3 悬赏文档 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 广告 百度文库 教育专区 ...《等差数列》教案授课时间: 授课班级: 教材:广东省中等职业技术学校文化基础课...
等差数列教案(公开课)_图文
搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学...等差数列教案(公开课)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。《等差数列》教案设计...
等差数列的应用举例教案
姓名:陈奕丹 学号:2013411331 等差数列的应用举例教学目标:在已经学过等差数列的...n ? a1 ? n(n ? 1) ?d 2 二、新课导航 出示课件的例题 7 例 7 某...
等差数列教案
2.2.1 等差数列一、教学目标(一)知识目标 1、理解等差数列的概念; 2、掌握...多媒体课件. 五、课型:新授课. 六、教学过程(一)课题引入 我们在初中学习了...
等差数列教案(中职)
搜 试试 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学...等 差数列 教学目的: 1.要求学生掌握等差数列的概念 2.等差数列的通项公式,并...
等差数列说课稿-经典说课PPT模版
等差数列说课稿-经典说课PPT模版_高一数学_数学_高中教育_教育专区。等差数列,说课稿,说课模版,课件模版,经典套用,万能模版 等差数列第一课时 说课稿 一、教材分析...
等差数列公开课教学设计
教学难点:等差数列的通项公式的推导。 教学准备:课件 教学过程: 一、创设情境,引入课题 ① 如图 1 所示:一个堆放铅笔的 V 形架的最下面 一层放 1 支铅笔,...
等差数列教案
搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学...等差数列教案_数学_高中教育_教育专区。课教学目标: 题:3.1 等差数列(一) 1....
等差数列教案
搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 .... 等差数列{an}中,已知 a2+a3+a10+a11=36,则 a5+a8= 考点 2.等差数列...
更多相关标签: