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数列[1].版块四.数列的通项公式与求和.学生版


数列的通项公式与求和

典例分析
【例1】 数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足: Sn = 3n ? 2 ,试求 {an } 的通项公式.

【例2】 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn = n 2 ? 9n ,第 k 项满足 5 < ak < 8 ,则 k = ( A.9 B.8 C.7 D.6



【例3】 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn =

1 n(5n ? 1) , n ∈ N + ,现从前 m 项: a1 , a2 ,…, 2

am 中抽出一项(不是 a1 ,也不是 am ) ,余下各项的算术平均数为 37 ,则抽出

的是第____项.

【例4】

已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn = n2 + 3n + 1 ,求通项 an .

【例5】 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn = n 2 ? 9n + 1, 则其通项 an =
k 项满足 5 < ak < 8 , k =

;若它的第

.

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1

【例6】 数列 {an } 的通项公式是 an = n + 1 ? n ,若它的前 n 项和为 10 ,则项数 n



.

【例7】 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn = 2n 2 + n ,则 a3 =



【例8】 已知数列 {an } , a1 = 1 ,前 n 项和 Sn 满足 Sn ?1 ? Sn ?1 Sn = 2 Sn Sn ?1 , 则 an =

【例9】 数列 {an } 的通项公式是 an =

1 ( n ∈ N* ) ,若前 n 项的和为 10 ,则项数为 n ( n + 1) 11

( ) A.12

B.11

C.10

D.9

【例10】 已知 {an } 的前 n 项之和 Sn = n 2 ? 4n + 1 ,则 a1 + a2 + ? ? ? + an = _______.

【例11】 已知数列 an =

1 ,求它的前 n 项和 Sn . n(n + 1)(n + 2)

【例12】 已知 an =

1

n + n+2

,求它的前 n 项和 Sn .

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2

【例13】 已知 an =

1 ,求它的前 n 项和 Sn . ( n + 1) 2 ? 1

【例14】 已 知 数 列 {an } 为 等 差 数 列 , 首 项 a1 = a , 公 差 d ≠ 0 , 且 an ≠ 0(n ∈ N + ) ,
bn = 1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . an an + 2

【例15】

数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足: Sn = 2an ? 1 ,试求 {an } 的通项公式.

【例16】 设数列 {an } 中 a1 = 1 ,且 Sn = n 2 an ,求 an

1 1 【例17】 已知数列 {an } 中, an > 0 ,且对于任意正整数 n 有 Sn = ( an + ) , 2 an

⑴求 S1 , S2 ;⑵求证: {Sn2 } 是等差数列;⑶求通项 an .

1 1 【例18】 已知数列 {an } 中, an > 0 ,且对于任意正整数 n 有 Sn = ( an + ) ,求通项 an . 2 an

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1 1 【例19】 已知数列 {an } 中, an > 0 ,且对于任意正整数 n 有 Sn = ( an + ) ,求通项 an . 2 an

【例20】 设 {an } 是正数组成的数列,且有 an + 2 = 2 2Sn ,对 n ≥ 1 恒成立,求 an .

【例21】 已知数列 {an } 满足: Sn +1 ? Sn = an +1 ,又 a1 =

2 ,求 an . 9

S ? ? 【例22】 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , ? n , n ? ( n ∈ N + ) 均在函数 y = 3 x ? 2 的图象上, 点 n ? ?

求数列 {an } 的通项公式.

【例23】 设数列 {an } 的前 n 项的和 Sn = ⑴求 a1 , a2 ;

4 1 2 a n ? × 2n +1 + ( n ∈ N + ) , 3 3 3

⑵证明:数列 {an + 2n } 为等比数列,并求 an ;

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【例24】 已 知 数 列 {an } 中 , a1 = 1, 前 n 项 和 为 Sn , 且 点 P (an , an +1 )(n ∈ N* ) 在 直 线
x ? y + 1 = 0 上,则
1 1 1 1 =( + + +L + S1 S2 S3 Sn


2n n +1

A.

n(n + 1) 2

B.

2 n(n + 1)

C.

D.

n 2(n + 1)

【例25】 已知数列 {an } 满足 3an +1 + an = 4(n ≥ 1) 且 a1 = 9 ,其前 n 项之和为 Sn ,则满足不

等式 Sn ? n ? 6 <

1 的最小正整数 n 是_______. 125

【例26】 已知数列 {an } 的首项为 a1 , n 项和为 Sn , 前 且点 (
p 为常数, n ∈ N * .

S n Sn +1 , ) 在直线 y = x ? p 上, n n +1

⑴求数列 {an } 的通项公式; ⑵当 a1 = 10 ,且 S10 是 Sn 中的一个最大项,试求 p 的取值范围.

【例27】 已知数列 an =

1 ,求它的前 n 项和 Sn . n(n + 1)(n + 2)

【例28】 已知 {an } 是等差数列,且 a2 = 3, a5 = 9 , bn =
{bn } 的前 n 项和 Sn .

1 ,求数列 {an } 的通项公式及 an an +1

【例29】 ⑴已知 an =

,求它的前 n 项和 Sn . n + n+2 1 ⑵已知 an = ,求它的前 n 项和 Sn . ( n + 1) 2 ? 1

1

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【例30】 设各项均为正数的数列 {an } 和 {bn } 满足: 5an , bn ,5an+1 成等比数列,{bn } 成等 5

差数列,且 a1 = 1 ,b1 = 2 ,a2 = 3 ,
⑴求通项 a1 = 2 ;⑵求 Sn =
1 1 1 + +L+ . a1 a2 an

【例31】 等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知对任意的 n ∈ N? ,点 (n ,Sn ) 均在函数
y = b x + r ( b > 0 且 b ≠ 1 , b , r 均为常数)的图象上.

⑴求 r 的值; ⑵当 b = 2 时,记 bn = 2(log 2 an + 1)(n ∈ N? ) , b +1 b + 1 b2 + 1 证明:对任意的 n ∈ N? ,不等式 1 ? ?L ? n > n + 1 成立. b1 b2 bn

【例32】 已知数列 {an } 中, a1 > 0 ,且 an +1 =

3 + an . 2

⑴试求 a1 的值,使得数列 {an } 是一个常数数列; ⑵试求 a1 的取值范围,使得 an +1 > an 对任何自然数 n 都成立; ⑶若 a1 = 4 , bn = an +1 ? an (n = 1 , , ,??) , 设 2 3 ? 并以 Sn 表示数列 {bn } 的前 n 项的和,
试证明: Sn <
5 . 2

【例33】 设二次函数 f ( x) = x 2 + x ,当 x ∈ [n , + 1] (n ∈ N + ) 时, f ( x) 的所有整数值的个 n

数为 g (n) .
⑴求 g (n) 的表达式; ⑵设 an =
2n3 + 3n 2 (n ∈ N + ) , Sn = a1 ? a2 + a3 ? a4 + ? ? ? + (?1) n ?1 an ,求 Sn ; g ( n) g ( n) ⑶设 bn = n , Tn = b1 + b2 + ? ? ? + bn ,若 Tn < L ( L ∈ Z) ,求 L 的最小值. 2

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【例34】 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 = a , an +1 = Sn + 3n , n ∈ N* . ⑴设 bn = Sn ? 3n ,求数列 {bn } 的通项公式; ⑵若 an +1 ≥ an , n ∈ N* ,求 a 的取值范围.

1? ? 1 【例35】 已知函数 f ( x) = ab x 的图象过点 A ? 4 , ? 和 B ( 5 , ) 4? ? ⑴求函数 f ( x) 的解析式;

⑵记 an = log 2 f (n) , n 是正整数, Sn 是数列 {an } 的前 n 项和, 解关于 n 的不等式 an S n ≤ 0 . 数;若不是,则说明理由. ⑶对于⑵中的 an 与 Sn ,整数 96 是否为数列 {an Sn } 中的项?若是,则求出相应的项

【例36】 已知数列 {an } 满足 a1 = 0 , a2 = 2 ,且对任意 m , n ∈ N? 都有
a2 m +1 + a2 n ?1 = 2am + n ?1 + 2( m ? n) 2
⑴求 a3 , a5 ; ⑵设 bn = a2 n +1 ? a2 n ?1 (n ∈ N? ) 证明: {bn } 是等差数列; ⑶设 cn = (a2 n +1 ? a2 n ?1 )q n ?1 (q ≠ 0 ,n ∈ N? ) ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn .

【例37】 已知数列 {an } 满足 a1 = 33 , an+1 ? an = 2n ,则

an 的最小值为__________. n

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【例38】 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn = (n 2 + n) ? 3n . ⑴求 lim
n →∞

an ; Sn
a a1 a2 + 2 + L + n > 3n . 2 1 2 n2

⑵证明:

【例39】 已知数列 {an } 的首项 a1 ≠ 0 , 其前 n 项的和为 Sn , Sn +1 = 2S n + a1 , lim 且 则 A.0 B.
1 2

n →∞

an = Sn

C. 1

D.2

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