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三维设计江苏专用2017届高三数学一轮总复习第四章三角函数解三角形第七节正弦定理和余弦定理课时跟踪检测理


课时跟踪检测(二十三)
?一抓基础,多练小题做到眼疾手快

正弦定理和余弦定理

sin A cos B 1.在△ABC 中,若 = ,则 B 的值为________.

a

b

sin A cos B 解析:由正弦定理知: = ,∴sin B=cos B, sin A sin B ∴B=45°. 答案:45° 2.(2016·长春质检)已知△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a =b +c -bc,bc=4,则△ABC 的面积为________. 1 2 2 2 解析:∵a =b +c -bc,∴cos A= , 2 π ∴A= ,又 bc=4, 3 1 ∴△ABC 的面积为 bcsin A= 3. 2 答案: 3 1 3.在△ABC 中,若 a=4,b=3,cos A= ,则 B=________. 3 1 解析:因为 cos A= , 3 所以 sin A= 1 2 2 1- = , 9 3
2 2 2

4 3 由正弦定理,得 = , sin A sin B 所以 sin B= 2 , 2

π π 又因为 b<a,所以 B< ,B= . 2 4 π 答案: 4 4.(2016·南京一模)在△ABC 中,若 9cos 2A-4cos 2B=5,则 的值为________. 解析:由题意得 9(1-2sin A)-4(1-2sin B)=5,
2 2

BC AC

BC sin A 2 2 2 即 9sin A=4sin B,所以 = = . AC sin B 3

1

2 答案: 3 15 3 5. 在△ABC 中, 已知 AB=3, A=120°, 且△ABC 的面积为 , 则 BC 边的长为________. 4 15 3 1 15 3 2 2 2 解析:由 S△ABC= 得 ×3×ACsin 120°= ,所以 AC=5,因此 BC =AB +AC 4 2 4 1 -2AB·AC·cos 120°=9+25+2×3×5× =49,解得 BC=7. 2 答案:7 ?二保高考,全练题型做到高考达标 1.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边的长分别为 a,b,c,若 asin A+bsin B<csin C, 则△ABC 的形状是________三角形. 解析: 根据正弦定理可得 a +b <c .由余弦定理得 cos C= △ABC 为钝角三角形. 答案:钝角 2.在△ABC 中,已知 b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是________(填 “一解”“二解”“不存在”). 解析:由正弦定理得 = , sin B sin C
2 2 2

a2+b2-c2 <0, 故 C 是钝角. 即 2ab

b

c

3 40× 2 bsin C ∴sin B= = = 3>1. c 20 ∴角 B 不存在,即满足条件的三角形不存在. 答案:不存在 3.(2016·郑州质量预测)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,且(b -c)(sin B+sin C)=(a- 3c)sin A,则角 B 的大小为________. 解析:由正弦定理

a

sin A sin B
2



b



及(b-c)·(sin B+sin C)=(a- 3c)sin A sin C
2 2 2 2 2

c

得(b-c)(b+c)=(a- 3c)a,即 b -c =a - 3ac,所以 a +c -b = 3ac,又因为 cos B =

a2+c2-b2 3 ,所以 cos B= ,所以 B=30°. 2ac 2
答案:30° 4.(2016·南昌一模)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 c=1,B=

3 45°,cos A= ,则 b=________. 5

2

3 解析:因为 cos A= , 5 所以 sin A= 1-cos A=
2

?3?2 4 1-? ? = , ?5? 5

4 所以 sin C=sin[180°-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= cos 45° 5 3 7 2 + sin 45°= . 5 10

b c 1 5 由正弦定理 = ,得 b= ×sin 45°= . sin B sin C 7 7 2 10
5 答案: 7 π 5.已知△ABC 中,内角 A,B,C 所对边长分别为 a,b,c,若 A= ,b=2acos B,c 3 =1,则△ABC 的面积等于________. 解析:由正弦定理得 sin B=2sin Acos B, π π 故 tan B=2sin A=2sin = 3,又 B∈(0,π ),所以 B= , 3 3 π 又 A=B= ,则△ABC 是正三角形, 3 1 1 3 3 所以 S△ABC= bcsin A= ×1×1× = . 2 2 2 4 答案: 3 4

sin 2A 6.(2015·北京高考)在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则 =________. sin C sin A a 解析:由正弦定理得 = , sin C c 由余弦定理得 cos A=

b2+c2-a2 , 2bc

∵a=4,b=5,c=6, ∴ sin 2A 2sin Acos A sin A = =2· ·cos A sin C sin C sin C
2 2 2

4 5 +6 -4 =2× × =1. 6 2×5×6 答案:1 7.(2016·南京一中模拟)在△ABC 中,如果 cos(B+A)+2sin Asin B=1,那么△ABC

3

的形状是________. 解析:∵cos(B+A)+2sin Asin B=1,∴cos Acos B+sin Asin B=1,∴cos(A-B) =1,在△ABC 中,A-B=0? A=B,所以此三角形是等腰三角形. 答案:等腰三角形 8.(2015·南通调研)已知△ABC 中,AB= 3,BC=1,sin C= 3cos C,则△ABC 的 面积为________. π 解析:由 sin C= 3cos C 得 tan C= 3>0,所以 C= . 3

BC AB 1 3 根据正弦定理可得 = ,即 = =2, sin A sin C sin A 3 2
1 π π 所以 sin A= .因为 AB>BC,所以 A<C,所以 A= ,所以 B= ,即三角形为直角三角 2 6 2 形, 1 3 故 S△ABC= × 3×1= . 2 2 答案: 3 2

9.(2016·南京学情调研)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a= 3 2,c=5,cos B= . 5 (1)求 b 的值; (2)求 sin C 的值. 3 2 2 2 解:(1)因为 b =a +c -2accos B=4+25-2×2×5× =17,所以 b= 17. 5 3 4 (2)因为 cos B= ,所以 sin B= , 5 5

b c 17 5 由正弦定理 = ,得 = , sin B sin C 4 sin C 5
4 17 所以 sin C= . 17 π 10.(2015·浙江高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 A= , 4

b2-a2= c2.
(1)求 tan C 的值;

1 2

4

(2)若△ABC 的面积为 3,求 b 的值. 1 2 2 2 解:(1)由 b -a = c 及正弦定理得 2 1 1 2 2 sin B- = sin C, 2 2 所以-cos 2B=sin C.① π 3π 又由 A= ,即 B+C= ,得 4 4 -cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C,② 由①②解得 tan C=2. 2 5 5 (2)由 tan C=2,C∈(0,π ),得 sin C= ,cos C= . 5 5 因为 sin B=sin(A+C)=sin? 3 10 所以 sin B= . 10 2 2b 由正弦定理得 c= , 3 π 1 又因为 A= , bcsin A=3,所以 bc=6 2,故 b=3. 4 2 ?三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若△ABC 的面积为 S,且 2S=(a +b) -c ,则 tan C=________. 解析:因为 2S=(a+b) -c =a +b -c +2ab,则结合面积公式与余弦定理,得 absin
2 2 2 2 2 2 2 2

?π +C?, ? ?4 ?

C=2abcos C+2ab,
即 sin C-2cos C=2,所以(sin C-2cos C) =4, sin C-4sin Ccos C+4cos C tan C-4tan C+4 4 =4,所以 =4,解得 tan C=- 或 tan C 2 2 2 sin C+cos C tan C+1 3 =0(舍去). 4 答案:- 3 2.在△ABC 中,tan 解析:因为 tan
2 2 2 2

A+B

1 =2sin C,若 AB=1,则 AC+BC 的最大值为________. 2 2

A+B
2

=2sin C,

5

A+B sin 2 所以 =2sin C, A+B cos 2
2sin

A+B
2

·cos

A+B
2 =2sin C,

2?cos

? ?

A+B?2

? 2 ?

sin?A+B? =2sin C, 1+cos?A+B? 因为 A+B+C=π , 所以 A+B=π -C, 所以 sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C, sin C 所以 =2sin C, 1-cos C 1 3 π 又 sin C≠0,所以 cos C= ,sin C= ,C= . 2 2 3

BC AC AB 2 3 因为 = = = , sin A sin B sin C 3
1 3 2 3 所以 AC+BC= sin B+ sin A 2 3 3 = = 3 ?2π 2 3 -A? sin? + sin A ? 3 ? 3 ? 3 3? 3 1 ? ? cos A+ sin A+2sin A? 3?2 2 ? 21 sin(A+φ ), 3



π 3 其中 0<φ < ,tan φ = , 2 5 1 21 当 sin(A+φ )=1 时, AC+BC 取得最大值 . 2 3 答案: 21 3

3.如图所示,在四边形 ABCD 中,∠D=2∠B,且 AD=1,CD=3,cos ∠B= 3 . 3

(1)求△ACD 的面积; (2)若 BC=2 3,求 AB 的长.

6

解:(1)因为∠D=2∠B,cos∠B=

3 , 3

1 2 所以 cos∠D=cos 2∠B=2cos ∠B-1=- . 3 因为∠D∈(0,π ), 2 2 2 所以 sin∠D= 1-cos ∠D= . 3 因为 AD=1,CD=3, 所以△ACD 的面积

S= AD·CD·sin∠D= ×1×3×
(2)在△ACD 中,

1 2

1 2

2 2 = 2. 3

AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠D=12,
所以 AC=2 3. 因为 BC=2 3, = , sin∠B sin∠ACB

AC

AB

2 3 AB AB 所以 = = sin∠B sin?π -2∠B? sin 2∠B = = , 2sin∠Bcos∠B 2 3 sin∠B 3

AB

AB

所以 AB=4.

7


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