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2007年CMO第4题的别证


2007 年第 10 期           中学数学月刊                 ?41?   ( 1996 年上海市高中理科实验班招生试 题) 解   由 x , y , z 的对称性, 不妨假设 x ≤ y ≤ z , 由 得 x + 1 ≥ x + x , 所以 x ≤ 1, 因为 x > 0, 所以 0 < x ≤ 1. z + 1 . y+ 1 因为 y ≤ z , 所以 y + 1 ≤ z + 1, 所以 x 由 得  x = ≥ 1, 所以 x 只能是 1. 2 = y + yz , 代入 , 得 y + 1 = 2z , 1 由 得  z = ( y + 1) , 2 代入 , 得 y 1 = - 4( 舍去) , y 2 = 1. 所以 z = 1, 所以 x = y = z = 1.
2 2

∠P DE = ∠ ME K . 易证 △M EL ∽ △ MK E . 即得 ME 2 = MK ML . 而由 ∠I K E = ∠I L E = 90° , 知K , I, L, E 四点共圆. 因 此 ∠ MK A = ∠I K L = ∠I EL = ∠I CE . 所以 △M A K ∽ △M LC , 即 M K MA ML = MC . 所以 ME 2 = M A MC . 同样可得  N F 2 NB. ( 2) 如图 2, 设 △A B C 的外接圆和内切 圆 的半 径 分 别 为 R , r . 连 结 I M , I N , OM , ON . 则 I M 2 = ME 2 + r 2 , I N 2 = N F 2 + r 2. 由圆幂定理得 OM 2 = MA MC + R 2,

= NA

2007 年 CM O 第 4 题的别证
沈   毅   ( 重庆市合川太和中学   401555) 题目   设 O 和 I 分别是 △A B C 的外心 和内 心, △ A B C 的内 切圆 与边 BC , CA , A B 分别相切于点 D , E , F , 直线 FD 与 CA 相交 于点 P , 直线 DE 与 A B 相交于点 Q , 点 M , N 分 别是 线 段 PE , QF 的 中 点. 求 证: OI ⊥ MN . ( 2007 年中国数学奥林匹克题 ) 本文给出该题的一种纯几何证法 .

ON 2 = N A - ON .
2

N B + R2 .

结合 ( 1) 中结论知   I M 2 - I N 2 = OM 2 所以 OI ⊥ M N .

这种解法真的错了吗
邹振兴   ( 江苏省兴化市实验中学   225700)

问题   为了了解某户家庭每天用电情 况 , 抽查了某个月 10 天该户用电情况如下 :
每天用电度数 天数 0. 5 1 1 1. 5 1 2 2 2. 5 3 1 3 2

  ( 1) 求该户 10 天用电的众数和平均数; ( 2) 根据获得的数 据, 估 计该户本月的 用电数量( 按 30 天计算 ) ; 如果每度电的价格
图 1            图 2

为 0. 5 元, 估计该户家庭本月的电费支出是 多少? 这是一道典型的表式信息题, 主要考查 众 数、 平均数以及用样本去估计总体等数学 知识, 是目前有关统计方面的热门试题. 该问 题的标准答案如下: 解   ( 1) 因为每天用电度数为 2 度的天

证明  ( 1) 先考虑点 M 的情形. 如图 1, 设 IA 与 EF 交于点 K , IC 与 ED 交于点 L , 连 结 K M , K L , I E , 易得 K , L 分别是 EF , ED 的 中点. 由中位线定理知 K M ∥ P D , K L ∥ P D . 所 以 M , K , L 三 点 共 线. ∠ML E =


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