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公开课 2.1.2 指数函数及其性质


2.1.2 指数函数及其性质(1) 教学目标 1.通过实际问题了解指数函数的实际背景,理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握 指数函数的性质,体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想. 2.让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.培养学生观察问题、分析问题的能力, 培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力. 重点难点 教学重点:指数函数的概念和性质 教学难点:指数函

数性质的归纳、概括 教学过程 导入新课 通过折纸问题,教师引导学生分析,列出关系式 y=(1/2)x,发现这个关系式是个函数关系且 它的自变量在指数的位置上,这样的函数叫指数函数,引出本节课题. 推进新课 思考 1:(指数函数的定义形成) 1.折纸问题:折 x 次后的面积 y 与 x 的关系式是_________.y=(1/2)x 2.某种细胞分裂时,由一个分裂成两个,两个分裂成四个,四个分裂成十六个,依次类推,一个这 样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞个数 y 与 x 的关系式是_________.(y=2x) 提出问题 (1)你能说出函数 y=(1/2)x 与函数 y=2x 的共同特征吗? (2)你是否能根据上面两个函数关系式给出一个一般性的概念? (3)为什么指数函数的概念中明确规定 a>0,a≠1? (4)为什么指数函数的定义域是实数集? (5)如何根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数?请你说出它的步骤. 讨论结果:(1)对于两个解析式我们看到每给自变量 x 一个值,y 都有唯一确定的值和它对应, 再就是它们的自变量 x 都在指数的位置上,它们的底数都大于 0,但一个大于 1,一个小于 1.0.84 与 2 虽然不同,但它们是两个函数关系中的常量,因为变量只有 x 和 y. (2)对于两个解析式 y=(1/2)x 和 y=2x,我们把两个函数关系中的常量用一个字母 a 来表示,这样 我们得到 指数函数的定义: 一般地,形如 y=ax(a>0,a≠1)叫做指数函数,其中 x 叫自变量,函数的定义域是实数集 R. (3)a=0 时,x>0 时,ax 总为 0;x≤0 时,ax 没有意义. a<0 时,如 a=-2,x=

1 x ,a =(-2) 2 = - 2 显然是没有意义的. 2

1

a=1 时,ax 恒等于 1,没有研究的必要. 因此规定 a>0,a≠1.. (4)因为 a>0,x 可以取任意的实数,所以指数函数的定义域是实数集 R. (5)判断一个函数是否是一个指数函数 ,一是看底数是否是一个常数 ,再就是看自变量是否是 一个 x 且在指数位置上,以及系数是否为 1. 例 1 判断下列函数是否是一个指数函数? y=x2,y=8x,y=2· 4x,y=(2a-1)x(a>

1 ,a≠1),y=(-4)x,y=πx,y=6x3+2. 2
1

思考 2(指数函数的图像与性质的形成) (1)前面我们学习函数的时候,根据什么思路研究函数的性质,对指数函数呢? (2)前面我们学习函数的时候,如何作函数的图象?说明它的步骤. (3)利用上面的步骤,作函数 y=2x 的图象. (4)利用上面的步骤,作函数 y=(

1 x ) 的图象. 2

(5)观察上面两个函数的图象各有什么特点 ,再画几个类似的函数图象 ,看是否也有类似的特 点? (6)根据上述几个函数图象的特点,你能归纳出指数函数的性质吗? 讨论结果: (1)我们研究函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般,一般要考虑函数的定 义域、值域、单调性、奇偶性,有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的性质. (2)一般是列表,描点,连线,作函数的图象. (3)列表. x y=2x -3.00 -2.00 -1.00 0.00 1 1.00 2 2.00 4

1 ?8

1 4

1 2

作图如图 2-1-2-1

图 2-1-2-1 (4)列表. x y=( -3 8 -2.00 4 -1.00 2 0.00 1 1.00 2.00 3 1/8

1 x ) 2

1 2

1 4

作图如图 2-1-2-2

图 2-1-2-2 (5)通过观察图 2121,可知图象左右延伸,无止境说明定义域是实数.图象自左至右是上升的,说 明是增函数,图象位于 x 轴上方,说明值域大于 0.图象经过点 (0,1) ,且 y 值分布有以下特点,x<0 时 0<y<1,x>0 时 y>1.图象不关于 x 轴对称,也不关于 y 轴对称,说明函数既不是奇函数也不是 偶函数. 让学生再画下列函数的图象以作比较,y=3x,y=(

1 x ) ,重新观察函数图象的特点,推广到一 3

般的情形. (6)结论:一般地,指数函数 y=ax 在 a>1 和 0<a<1 的情况下,它的图象特征和函数性质如下 表所示.
2

a>1

0<a<1

图象

①定义域:R ②值域: (0,+∞) 性质 ③过点(0,1),即 x=0 时 y=1 ④在 R 上是增函数,当 x<0 时,0<y<1; 当 x>0 时,y>1 图 2-1-2-3 例 2 比较下列各题中的两个值的大小: (1)1.72.5 与 1.73;(2)0.8-0.1 与 0.8-0.2; 活动:学生自己思考或讨论,回忆比较数的大小的方法,结合题目实际,选择合理的 变式训练
1 1

④在 R 上是减函数,当 x<0 时,y>1; 当 x>0 时,0<y<1

1.比较 a 3 与 a 2 的大小(a>0 且 a≠1). 答案:分 a>1 和 0<a<1 两种情况讨论.当 0<a<1 时,a >a ;当 a>1 时,a <a . 课堂小结: (同学们自己归纳这节课我们学了哪些内容) 1.指数函数的定义. 2.指数函数的图象和性质. 作业 课本 P59 习题 2.1A 组 5、6. 设计感想 本节课是在前面研究了函数性质的基础上 ,研究具体的初等函数,它是重要的初等函数 , 它有着丰富的内涵 ,且和我们的实际生活联系密切,也是以后学习对数函数的基础 ,在指数函 数的概念讲解过程中,既要向学生说明定义域是什么,又要向学生交代,为什么规定底数 a 是 大于 0 而不等于 1 的,本节内容课堂容量大,要提高课堂的效率和节奏,多运用信息化的教学手 段,顺利完成本堂课的任务.
1 3 1 2 1 3 1 2

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