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点线面位置关系


点线面位置关系的判定
一、基础知识 (一)直线与直线位置关系: 1、线线平行的判定 (1)平行公理:空间中平行于同一直线的两条直线平行 (2)线面平行性质:如果一条直线与平面平行,则过这条直线的平面与已知平面的交线和 该直线平行 (3)面面平行性质: 2、线线垂直的判定 (1)两条平行直线,如果其中一条与某直线垂直,则另一条直线也与这条直线垂直 直线与平面位置关系: (

2)线面垂直的性质:如果一条直线与平面垂直,则该直线与平面上的所有直线均垂直 (二)直线与平面的位置关系 1、线面平行判定定理: (1)若平面外的一条直线 l 与平面 ? 上的一条直线平行,则 l∥? (2)若两个平面平行,则一个平面上的任一直线与另一平面平行 2、线面垂直的判定: (1)若直线 l 与平面 ? 上的两条相交直线垂直,则 l ? ? (2)两条平行线中若其中一条与平面垂直,则另一条直线也与该平面垂直 (3)如果两个平面垂直,则一个平面上垂直于交线的直线与另一平面垂直 (三)平面与平面的位置关系 1、平面与平面平行的判定: (1)如果一个平面上的两条相交直线均与另一个平面平行,则两个平面平行 (2)平行于同一个平面的两个平面平行 2、平面与平面垂直的判定 如果一条直线与一个平面垂直,则过这条直线的所有平面均与这个平面垂直 (四)利用空间向量判断线面位置关系 1、刻画直线,平面位置的向量:直线:方向向量
1

平面:法向量

2、向量关系与线面关系的转化: 设直线 a , b 对应的法向量为 a, b ,平面 ? , ? 对应的法向量为 m, n (其中 a , b 在 ? , ? 外) (1) a ∥ b ? a ∥ b (2) a ? b ? a ? b (3) a ? ? ? a ∥ m (4) a∥? ? a ? m (5) ?∥? ? m∥n (6) ? ? ? ? m ? n 3、有关向量关系的结论 (1)若 a∥b, b∥c ,则 a∥c (2)若 a ? b, b∥c ,则 a ? c

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平行+平行→平行

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平行+垂直→垂直

(3)若 a ? b, b ? c ,则 a, c 的位置关系不定。 4、如何用向量判断位置关系命题真假 (1)条件中的线面关系翻译成向量关系 (2)确定由条件能否得到结论 (3)将结论翻译成线面关系,即可判断命题的真假 二、典型例题: 例 1:已知 ? , ? 是两个不同的平面, m, n 是两条不同的直线,现给出下列命题: ①若 m ? ? , n ? ? , m∥? , n∥? ,则 ?∥? ;②若 ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? ; ③若 m ? ? , m∥? ,则 ? ? ? ;④若 m∥n, m ? ? ,则 n∥? . 其中正确命题的个数是( A.0 B.1 ) C.2 D.3 )

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例 2:已知 m, n, l 是不同的直线, ? , ? 是不同的平面,以下命题正确的是(

①若 m ∥ n , m ? ? , n ? ? ,则? ∥ ? ;②若 m ? ? , n ? ? ,? ∥ ?,l ? m ,则 l ? n ; ③若 m ? ? , n ? ? , ? ∥ ? ,则 m ∥ n ;④若? ? ? , m ∥? , n ∥ ? ,则 m ? n ; A.②③ B.③④ C.②④ D.③ )

例 3:对于直线 m, n 和平面 ? , ? , ?∥? 的一个充分条件为( A. m ? ? , n ? ? , m∥? , n∥?

B. m∥n, m∥? , n∥?

2

C. m∥n, m ? ? , n ? ? 例 4:给定下列四个命题:

D. m ? n, m ? ? , n ? ?

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是( A.①和② ) B.②和③ C.③和④ D.②和④ )

例 5:已知 m , n 表示两条不同直线, ? 表示平面,下列说法中正确的是( A.若 m ? ? , n ? ? ,则 m ? n C.若 m ? ? , m ? n ,则 n ∥ ? B.若 m ∥ ? , n ∥ ? 则 m ∥ n D.若 m ∥ ? , m ? n ,则 n ? ? )

例 6:给出下列命题,其中正确的两个命题是(

① 直线上有两点到平面的距离相等,则此直线与平面平行。②夹在两个平行平面间的两条 异面线段的中点连线平行于这两个平面;③ 直线 m ? 平面 ? ,直线 n ? m ,则 n∥ ? ;④

a , b 是异面直线,则存在唯一的平面 ? ,使它与 a , b 都平行且与 a , b 距离相等
A. ①② B. ②③ ) C. ③④ D. ②④

例 7:下列命题正确的个数是(

① 若直线 l 上有无数个点不在平面 ? 内,则 l ∥ ? ② 若直线 l ∥ ? ,则与平面 ? 内的任意一条直线都平行 ③ 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行 ④ 若直线 l ∥ ? ,则与平面 ? 内的任意一条直线都没有公共点 A. 0 B. 1 C. 2 ) D. 3

例 8:直线 a , b 为两异面直线,下列结论正确的是( A. 过不在 a , b 上的任何一点,可作一个平面与 a , b 都平行 B. 过不在 a , b 上的任何一点,可作一个直线与 a , b 都相交 C. 过不在 a , b 上的任何一点,可作一个直线与 a , b 都平行 D. 过 a 有且只有一个平面与 b 平行

3

三、历年好题精选 1、 (2016,山东胶州高三期末)设 ? , ? , ? 为不同的平面, m, n, l 为不同的直线,则 m ? ? 的一个充分条件为( A. C. ) B. D.

? ? ? ,? ? ? ? l , m ? l

? ? ? ? m,? ? ? , ? ? ?
n ? ?, n ? ? ,m ? ?

? ? ? ,? ? ? ,m ? ?

2、给出下面四个命题: ①“直线 a ∥直线 b ”的充要条件是“ a 平行于 b 所在的平面” ; ②“直线 l ⊥平面 α 内所有直线”的充要条件是“ l ⊥平面 ? ” ; ③“直线 a , b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线 a , b 不相交” ; ④“平面 ? ∥平面 ? ”的必要不充分条件是“ ? 内存在不共线三点到 ? 的距离相等” . 其中正确命题的序号是( )

A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 3、 ( 2016 , 大 连 二 十 中 期 中 考 试 ) 已 知 三 个 互 不 重 合 的 平 面 ? , ? , ? , 且

? ? ? ? a,? ? ? ? b, ? ? ? ? c ,给出下列命题(
① 若 a ? b, a ? c ,则 b ? c ③ 若 a ? b, a ? c ,则 ? ? ?



② 若 a ? b ? P ,则 a ? c ? P ④ 若 a∥b ,则 a∥c

其中正确命题的个数为( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 4、 (江西中南五校联考)已知 m, n 是两条不同 的直线, 是三个不同 的平面,则下列 ? , ? , ? .. .. 命题中正确的是( ) B. 若 m / / n, m ? ? , n ? ? , 则? / / ? D. 若 m / / n, m / /? , 则n / /? A. 若 ? ? ? , ? ? ? , 则? / / ? C. 若 m / / n, m ? ? , n ? ? , 则? / / ?

5、 (2016,宁波高三期末)已知平面 ? 与平面 ? 交于直线 l ,且直线 a ? ? ,直线 b ? ? ,则 下列命题错误 的是 .. ( ) B.若 ? ? ? , b ? l ,则 a ? b D.若 a ? l , b ? l ,则 ? ? ?

A.若 ? ? ? , a ? b ,且 b 与 l 不垂直,则 a ? l C.若 a ? b , b ? l ,且 a 与 l 不平行,则 ? ? ?

4


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