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高中三角函数习题解析精选


三角函数题解 1.(2003 上海春,15)把曲线 ycosx+2y-1=0 先沿 x 轴向右平移 下平移 1 个单位,得到的曲线方程是( ) A.(1-y)sinx+2y-3=0 B.(y-1)sinx+2y-3=0 C.(y+1)sinx+2y+1=0 D.-(y+1)sinx+2y+1=0 1.答案:C 解析:将原方程整理为:y=

? 2
<

br />个单位,再沿 y 轴向

1 ? ,因为要将原曲线向右、向下分别移动 个单位 2 2 ? cos x
1

和 1 个单位,因此可得 y=

2 ? cos( x ? ) 2
评述:本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式.如果对平移有深刻理 解,可直接化为: (y+1)cos(x-

?

-1 为所求方程.整理得(y+1)sinx+2y+1=0.

? 2

)+2(y+1)-1=0,即得 C 选项. )

2. (2002 春北京、 安徽, 5) 若角α 满足条件 sin2α <0, cosα -sinα <0, 则α 在 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.答案:B 解析:sin2α =2sinα cosα <0 ∴sinα cosα <0 即 sinα 与 cosα 异号,∴α 在二、四象限, 又 cosα -sinα <0 ∴cosα <sinα 由图 4—5,满足题意的角α 应在第二象限 图 4—5 3.(2002 上海春,14)在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 的形状一定是( A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 3.答案:C 解析:2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)又∵2sinAcosB=sinC, ∴sin(A-B)=0,∴A=B 4.(2002 京皖春文,9)函数 y=2sinx 的单调增区间是( A.[2kπ - )



? 2

,2kπ +

? 2

] (k∈Z)

B.[2kπ +

? 2

,2kπ +

3? ] (k∈Z) 2

C.[2kπ -π ,2kπ ] (k∈Z) D.[2kπ ,2kπ +π ] (k∈Z)
1

4.答案:A 解析:函数 y=2x 为增函数,因此求函数 y=2sinx 的单调增区间即求函数 y=sinx 的单调增 区间. 5.(2002 全国文 5,理 4)在(0,2π )内,使 sinx>cosx 成立的 x 取值范围为( A.( )

? ? 5? , )∪(π , 4 2 4
? ,π ) 4



B.(

C.(

? 5? , 4 4



D.(

? 5? ,π )∪( 4 4



3? ) 2

5.答案:C 解法一: 作出在 (0, 2π ) 区间上正弦和余弦函数的图象, 解出两交点的横坐标 由图 4—6 可得 C 答案.

? 4



5? , 4

图 4—6 图 4—7 解法二:在单位圆上作出一、三象限的对角线,由正弦线、余弦线知应选 C.(如图 4— 7) 6.(2002 北京,11)已知 f(x)是定义在(0,3)上的函数,f(x)的图象如图 4—1 所示,那么不等式 f(x)cosx<0 的解集是( ) A.(0,1)∪(2,3) B.(1,

? 2

)∪(

? 2

,3)

C.(0,1)∪(

? 2

,3)

图 4—1

D.(0,1)∪(1,3) 6.答案:C
2

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? ? 解析:解不等式 f(x)cosx<0 ? ?cos x ? 0或?cos x ? 0 ?0 ? x ? 3 ?0 ? x ? 3 ? ?

?1 ? x ? 3 ?0 ? x ? 1 ? ? ∴ ?? ∴0<x<1 或 <x<3 或? 2 ? x ? ? ?0 ? x ? 1 ? ?2
7.(2002 北京理,3)下列四个函数中,以π 为最小正周期,且在区间( 减函数的是( A.y=cos2x C.y=( ) B.y=2|sinx| D.y=-cotx

? 2

,π )上为

1 cosx ) 3

7.答案:B 解析:A 项:y=cos2x= 上为增函数. B 项:作其图象 4—8,由图象可得 T=π 且在区间( 为减函数. C 项:函数 y=cosx 在(

1 ? cos 2 x ? ,x=π ,但在区间( ,π ) 2 2
图 4—8

? 2

,π )上

? 2

,π )区间上为减函数,数 y=(

1 x 1 ) 为减函数.因此 y=( )cosx 3 3

在(

? 2

,π )区间上为增函数.

D 项:函数 y=-cotx 在区间(

? 2

,π )上为增函数.

8.(2002 上海,15)函数 y=x+sin|x|,x∈[-π ,π ]的大致图象是(



8.答案:C 解析:由奇偶性定义可知函数 y=x+sin|x|,x∈[-π ,π ]为非奇非偶函数.
3

选项 A、D 为奇函数,B 为偶函数,C 为非奇非偶函数. 9.(2001 春季北京、安徽,8)若 A、B 是锐角△ABC 的两个内角,则点 P(cosB-sinA, sinB-cosA)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 9.答案:B 解析:∵A、B 是锐角三角形的两个内角,∴A+B>90°, ∴B>90°-A,∴cosB<sinA,sinB>cosA,故选 B. 10.(2001 全国文,1)tan300°+cot405°的值是( A.1+ )

3

B.1-

3

C.-1-

3

D.-1+

3

10.答案:B 解 析 : tan300 °+ cot405 ° = tan(360 °- 60 ° ) + cot(360 °+ 45 ° ) = - tan60 ° + cot45°=1-

3.

11.(2000 全国,4)已知 sinα >sinβ ,那么下列命题成立的是( ) A.若α 、β 是第一象限角,则 cosα >cosβ B.若α 、β 是第二象限角,则 tanα >tanβ C.若α 、β 是第三象限角,则 cosα >cosβ D.若α 、β 是第四象限角,则 tanα >tanβ 11.答案:D 解析:因为在第一、三象限内正弦函数与余弦函数的增减性相反,所以可排除 A、C, 在第二象限内正弦函数与正切函数的增减性也相反, 所以排除 B.只有在第四象限内, 正弦函 数与正切函数的增减性相同. 12.(2000 全国,5)函数 y=-xcosx 的部分图象是( )

12.答案:D 解析:因为函数 y=-xcosx 是奇函数,它的图象关于原点对称,所以排除 A、C,当 x∈(0,

? )时,y=-xcosx<0. 2

13.(1999 全国,4)函数 f(x)=Msin(ω x+ ? ) (ω >0) ,在区间[a,b]上是增函 数,且 f(a)=-M,f(b)=M,则函数 g(x)=Mcos(ω x+ ? )在[a,b]上( ) A.是增函数 C.可以取得最大值-
4

B.是减函数 D.可以取得最小值-m

13.答案:C

? ? +2kπ ≤ω x+ ? ≤ +2kπ (k∈Z) ,故有 g(x)在 2 2 [a,b]上不是增函数,也不是减函数,且当ω x+ ? =2kπ 时 g(x)可取到最大值 M,答
解法一:由已知得 M>0,- 案为 C. 解法二:由题意知,可令ω =1, ? =0,区间[a,b]为[-

? ? , ] ,M=1,则 2 2

g(x)为 cosx,由基本余弦函数的性质得答案为 C. 评述:本题主要考查函数 y=Asin(ω x+ ? )的性质,兼考分析思维能力.要求对基本函 数的性质能熟练运用(正用逆用) ;解法二取特殊值可降低难度,简化命题. 14.(1999 全国,11)若 sinα >tanα >cotα (-

? <α 2



? ) ,则α 2

∈(



A.(-

? ? ,- ) 2 4 ? ) 4
? ? ,± 3 6

B.(-

? ,0) 4

C.(0,

D.(

? ? , ) 4 2
? 6

14.答案:B 解法一:取α =± 代入求出 sinα 、tanα 、cotα 之值,易知α =- 适合,

又只有-

? 6

∈(-

? ,0) ,故答案为 B. 4 ? ,0) ,再由 tanα 2
>cotα 得:α ∈(-

解法二:先由 sinα >tanα 得:α ∈(-

? ,0) 4

评述:本题主要考查基本的三角函数的性质及相互关系,1995 年、1997 年曾出现此类 题型,运用特殊值法求解较好. 15.(1999 全国文、理,5)若 f(x)sinx 是周期为π 的奇函数,则 f(x)可以是( A.sinx B.cosx C.sin2x D.cos2x 15.答案:B 解析:取 f(x)=cosx,则 f(x) ?sinx= )

1 sin2x 为奇函数,且 T=π . 2

评述:本题主要考查三角函数的奇偶与倍角公式. 16.(1998 全国,6)已知点 P(sinα -cosα ,tanα )在第一象限,则在[0,2π ]内 α 的取值范围是( )
5

A.(

? 3? , 2 4

)∪(π ,

5? ) 4


B.(

? ? 5? , )∪(π , 4 2 4

C.(

? 3? , 2 4

)∪(

5? 3? , ) 4 2
,π )

D.(

? ? 3? , )∪( 4 2 4

16.答案:B 解法一:P(sinα -cosα ,tanα )在第一象限,有 tanα >0, A、C、D 中都存在使 tanα <0 的α ,故答案为 B. 解法二: 取α =

? 3

∈ (

? ?
4 2 ,

) , 验证知 P 在第一象限, 排除 A、 C, 取α =

3? 5? ∈ ( , 6 4

π) ,则 P 点不在第一象限,排除 D,选 B. 解法三:画出单位圆如图 4—10 使 sinα -cosα >0 是图中阴影部分,又 tanα >0 可得

?
4

?? ?

?
2

或π <α <

5? ,故选 B. 4

评述: 本题主要考查三角函数基础知识的灵活运用, 突出考查了转化思想和转化方法的 选择,采用排除法不失为一个好办法. 17.(1997 全国,3)函数 y=tan(

1 1 x ? π )在一个周期内的图象是( 2 3



17.答案:A 解析:y=tan(

1 1 2? 2? 1 x ? π )=tan (x- ) ,显然函数周期为 T=2π ,且 x= 2 2 3 3 3

时,y=0,故选 A. 评述:本题主要考查正切函数性质及图象变换,抓住周期和特值点是快速解题的关键. 18.(1996 全国)若 sin2x>cos2x,则 x 的取值范围是( A.{x|2kπ - )

3 ? π <x<2kπ + ,k∈Z} 4 4
6

B.{x|2kπ +

? 4
? 4

<x<2kπ +

5 π ,k∈Z} 4
,k∈Z}

C.{x|kπ -

<x<kπ +

? 4

D.{x|kπ +

? 4

<x<kπ +

3 π ,k∈Z} 4

18.答案:D 解析一:由已知可得 cos2x=cos2x-sin2x<0,所以 2kπ +

? 3 <2x<2kπ + π ,k∈Z.解得 k 2 2

π+

? 3 <x<kπ + π ,k∈Z(注:此题也可用降幂公式转化为 cos2x<0). 4 4
解析二: 由 sin2x>cos2x 得 sin2x>1-sin2x, sin2x>

1 2 2 .因此有 sinx> 或 sinx<- .由正 2 2 2

弦函数的图象(或单位圆)得 2kπ +

? 3 5 7 <x<2kπ + π 或 2kπ + π <x<2kπ + π (k∈Z) , 4 4 4 4

2kπ +

5 7 ? 3? π <x<2kπ + π 可写作(2k+1)π + <x<(2k+1)π + ,2k 为偶数,2k+1 为奇 4 4 4 4

数,不等式的解可以写作 nπ +

? 3? <x<nπ + 4 4

,n∈Z.

评述:本题考查三角函数的图象和基本性质,应注意三角公式的逆向使用. 19.(1995 全国文,7)使 sinx≤cosx 成立的 x 的一个变化区间是( A.[- )

3? ? , ] 4 4

B.[-

? ? , ] 2 2

C.[-

? 3? , 4 4



D.[0,π ]

19.答案:Ass 解法一:由已知得:

2 sin(x-

? )≤0,所以 4

2kπ +π ≤x-

? 4

≤2kπ +2π ,2k

π+

9? 3? ? 5? ≤x≤2kπ + ,令 k=-1 得- ≤x≤ ,选 A. 4 4 4 4
7

图 4—11

解法二: 取 x=

2? ? ? 2? 3 2? 1 , 有 sin ? , cos ? ? ,排除 C、D,取 x= ,有 sin 3 3 3 3 2 3 2



3 ? 1 , cos ? ,排除 B,故选 A. 2 3 2

解法三:设 y=sinx,y=cosx.在同一坐标系中作出两函数图象如 图 4—11,观察知答案为 A. 解法四:画出单位圆,如图 4—12,若 sinx≤cosx,显然应是图 中阴影部分,故应选 A. 评述:本题主要考查正弦函数、余弦函数的性质和图象,属基本 求范围题,入手容易,方法较灵活,排除、数形结合皆可运用.

图 4—12

20.(1995 全国,3)函数 y=4sin(3x+

? ? )+3cos(3x+ )的最小正周期是( 4 4
C.



A.6π 20.答案:C 解析:y=4sin(3x+

B.2π

2? 3

D.

? 3

? 4

)+3cos(3x+

? 4

)=5[

4 3 ? ? sin(3x+ )+ cos(3x+ ) ] 4 4 5 5

=5sin(3x+

? 4

+? ) (其中 tan ? =

3 ) 4

所以函数 y=sin(3x+ 故应选 C.

? 4

)+3cos(3x+

? 4

)的最小正周期是 T=

2? . 3

评述: 本题考查了 asinα +bcosα =

a 2 ? b2

sin (α + ? ) , 其中 sin ? =

b a2 ? b2



cos ? =

a a ? b2
2

,及正弦函数的周期性.

21. (1995 全国, 9) 已知θ 是第三象限角, 若 sin4θ +cos4θ =

5 , 那么 sin2θ 等于 ( 9
D.-



A.

2 2 3

B.-

2 2 3

C.

2 3

2 3

21.答案:A

8

解法一:将原式配方得(sin2θ +cos2θ )2-2sin2θ cos2θ =

5 9

于是 1-

1 2 5 8 sin 2θ = ,sin22θ = ,由已知,θ 在第三象限, 2 9 9
3? 2

故 2kπ +π <θ <2kπ +

从而 4kπ +2π <2θ <4kπ +3π 故 2θ 在第一、二象限,所以 sin2θ =

2 2 ,故应选 A. 3

解法二:由 2kπ +π <θ <2kπ +

3? ,有 4kπ +2π <4kπ +3π (k∈Z) ,知 sin2θ 2

>0,应排除 B、D,验证 A、C,由 sin2θ =

4 2 2 ,得 2sin2θ cos2θ = ,并与 sin4θ +cos4 9 3

θ =

5 相加得(sin2θ +cos2θ )2=1 成立,故选 A. 9

评述: 本题考查了学生应用正余弦的平方关系配方的能力及正弦函数值在各象限的符号 的判别. 22.(1994 全国文,14)如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- 等于( A. )

? 8

对称,那么 a

2

B.-

2

C.1

D.-1

22.答案:D 解析:函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=-

? 8

对称,表明:当 x=-

? 8

时,函数取

得最大值

a 2 ? 1 ,或取得最小值- a 2 ? 1 ,所以有[sin(-

? ? 2 2 ) +a? cos (- ) ] =a +1, 4 4

解得 a=-1. 评述:本题主要考查函数 y=asinx+bcosx 的图象的对称性及其最值公式. 23.(1994 全国,4)设θ 是第二象限角,则必有( A.tan )

? ? >cot 2 2

B.tan

? ? <cot 2 2

9

C.sin

? ? >cos 2 2

D.sin

? ? <cos 2 2

23.答案:A 解法一:因为θ 为第二象限角,则 2kπ +

? <θ 2

<2kπ +π (k∈Z) ,即

? 为第一象 2

限角或第三象限角,从单位圆看是靠近轴的部分如图 4—13,所以 tan

? ? >cot . 2 2

解法二:由已知得:2kπ +

? <θ 2

<2kπ +π ,kπ +

? ? < < 4 2

kπ +

? 5? ,k 为奇数时,2nπ + 4 2



?
2

<2nπ +

3? (n∈Z) ; 2
tan

k 为偶数时,2nπ +

? ? ? < <2nπ + (n∈Z) ,都有 4 2 2

? > 2

图 4—13

cot

?
2

,选 A.

评述:本题主要考查象限角的概念和三角函数概念,高于课本. 24. (2002 上海春, 9) 若f (x) =2sinω x (0<ω <1 ) 在区间 [0, 则ω = .

? ] 上的最大值是 2 , 3

24.答案:

3 4

解析:∵0<ω <1 ∴T=

2?

?

>2π

∴f(x)在[0,

? 3

]区间上为单调递增函数

∴f(x)max=f(

? ?? ? 2 )即 2sin 3 3

又∵0<ω <1 ∴解得ω =

3 4
.

25.(2002 北京文,13)sin

2 6 7 π ,cos π ,tan π 从小到大的顺序是 5 5 5

25.答案:cos

2? 7? 6 π <sin <tan 5 5 5

解析:cos

6? 7? 2? ? <0,tan =tan ∵0<x< 时,tanx>x>sinx>0 5 5 5 2
10

∴tan

2? 2? 7? 2? 6? >sin >0 ∴tan >sin >cos 5 5 5 5 5
sin 7? ? cos15? sin 8? 的值为_____. cos 7? ? sin 15? sin 8?

26.(1997 全国,18)

26.答案:2- 解析:

3

sin 7? ? cos15? sin 8? sin(15? ? 8?) ? cos15? sin 8? sin15? cos 8? ? ? cos 7? ? sin15? sin 8? cos(15? ? 8?) ? sin15? sin 8? cos15? cos 8?
1 ? cos 30? ? 2? 3. sin 30?

? tan15? ?

评述:本题重点考查两角差的三角公式、积化和差公式、半角公式等多个知识点.

27.(1996 全国,18)tan20°+tan40°+ 27.答案:

3 tan20°?tan40°的值是_____.

3
tan 20? ? tan 40? ,∴tan20°+tan40°= 3 - 3 tan20°tan40°, 1 ? tan 20? tan 40?

解析:tan60°=

∴tan20°+tan40°+

3 tan20°tan40°= 3 .

28.(1995 全国理,18)函数 y=sin(x-

? 6

)cosx 的最小值是

.

28.答案:-

3 4

解析:y=sin(x-

? 6

)cosx=

? ? ? 1 1 1 [sin(2x- )-sin ]= [sin(2x- )- ] 2 2 2 6 6 6
1 1 3 (-1- )=- . 2 2 4

当 sin(2x-

? 6

)=-1 时,函数有最小值,y 最小=

评述:本题考查了积化和差公式和正弦函数有界性(或值域).

29.(1995 上海,17)函数 y=sin

x x +cos 在(-2π ,2π )内的递增区间是 2 2
11

.

29.答案: [?

3? ? , ] 2 2

解析:y=sin

x ? x x ? x ? ? +cos = 2 sin( ? ) ,当 2kπ - ≤ + ≤2kπ + (k 2 2 2 2 4 2 2 4 3? 3? ? ? ≤x≤4kπ + (k∈Z) ,只有 k=0 时, [- , ] 2 2 2 2

∈Z)时,函数递增,此时 4kπ - (-2π ,2π ).

30.(1994 全国,18)已知 sinθ +cosθ =

1 ,θ ∈(0,π ) ,则 cotθ 的值是 5

.

30.答案:-

3 4

解法一:设法求出 sinθ 和 cosθ ,cotθ 便可求了,为此先求出 sinθ -cosθ 的值. 将已知等式两边平方得 1+2sinθ cosθ =

1 25

变形得 1-2sinθ cosθ =2-

1 , 25

即(sinθ -cosθ )2=

49 25

又 sinθ +cosθ =

1 ,θ ∈(0,π ) 5
图 4—14

? 则 2

3? <θ < ,如图 4—14 4

所以 sinθ -cosθ =

7 ,于是 5

sinθ =

3 4 3 ,cosθ =- ,cotθ =- . 4 5 5
12 ,又θ ∈(0,π ) ,有 cosθ <0 25

解法二:将已知等式平方变形得 sinθ ?cosθ =-

<sinθ ,且 cosθ 、sinθ 是二次方程 x2-

1 12 3 x- =0 的两个根,故有 cosθ =- , 25 5 5
12

sinθ =

4 3 ,得 cotθ =- . 4 5

评述:本题通过考查三角函数的求值考查思维能力和运算能力,方法较灵活.

31.(2000 全国理,17)已知函数 y=

1 2 3 cos x+ sinxcosx+1,x∈R. 2 2

(1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图象可由 y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 31.解: (1)y=

1 2 3 cos x+ sinxcosx+1 2 2



3 1 1 (2cos2x-1)+ + (2sinxcosx)+1 4 4 4
5 3 1 cos2x+ sin2x+ 4 4 4 1 ? ? 5 (cos2x?sin +sin2x?cos )+ 4 6 6 2 1 ? 5 sin(2x+ )+ 4 6 2







y 取得最大值必须且只需 2x+

? 6



? +2kπ ,k∈Z, 2

即 x=

? 6

+kπ ,k∈Z.

所以当函数 y 取得最大值时,自变量 x 的集合为{x|x= (2)将函数 y=sinx 依次进行如下变换: ①把函数 y=sinx 的图象向左平移

? 6

+kπ ,k∈Z}.

? 6

,得到函数 y=sin(x+

? 6

)的图象;

②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的

1 倍(纵坐标不变) ,得到函数 2

y=sin(2x+

? 6

)的图象;

13

③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的

1 倍(横坐标不变) ,得到函数 2

y=

? 1 sin(2x+ )的图象; 2 6 ? 5 1 5 个单位长度,得到函数 y= sin(2x+ )+ 的图象; 4 2 4 6

④把得到的图象向上平移

综上得到函数 y=

1 2 3 cos x+ sinxcosx+1 的图象. 2 2

评述: 本题主要考查三角函数的图象和性质, 考查利用三角公式进行恒等变形的技能以 及运算能力.

32.(2000 全国文,17)已知函数 y=

3 sinx+cosx,x∈R.

(1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图象可由 y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 32.解: (1)y=

3 sinx+cosx=2(sinxcos

? 6

+cosxsin

? 6

)=2sin(x+

? 6

) ,x∈R

y 取得最大值必须且只需 x+

? 6



? +2kπ ,k∈Z, 2

即 x=

? +2kπ ,k∈Z. 3

所以,当函数 y 取得最大值时,自变量 x 的集合为{x|x= (2)变换的步骤是: ①把函数 y=sinx 的图象向左平移

? +2kπ ,k∈Z} 3
? 6

? 6

,得到函数 y=sin(x+

)的图象;

②令所得到的图象上各点横坐标不变,把纵坐标伸长到原来的 2 倍,得到函数 y=2sin(x+

? 6

)的图象;

经过这样的变换就得到函数 y=

3 sinx+cosx 的图象.

评述: 本题主要考查三角函数的图象和性质, 利用三角公式进行恒等变形的技能及运算 能力.

14

33.(1995 全国理,22)求 sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值. 33.解:原式=

1 1 1 (1-cos40°)+ (1+cos100°)+ (sin70°-sin30°) 2 2 2

=1+

1 1 1 (cos100°-cos40°)+ sin70°- 2 2 4



3 1 -sin70°sin30°+ sin70° 2 4 3 1 3 1 - sin70°+ sin70°= . 2 4 2 4



评述:本题考查三角恒等式和运算能力.

34.(1994 上海,21)已知 sinα = 求 tan(α -2β )的值. 34.解:由题设 sinα =

? 3 1 ,α ∈( ,π ) ,tan(π -β )= , 2 5 2

? 3 ,α ∈( ,π ) , 5 2

可知 cosα =-

3 4 ,tanα =- 5 4
1 1 2 tan ? 4 ,tanβ =- ,所以 tan2β = ? ? 2 2 1 ? tan2 ? 3

又因 tan(π -β )=

3 4 ? ? tan? ? tan 2 ? 7 tan(α -2β )= ? 4 3? 1 ? tan? tan 2 ? 1?1 24
35.(1994 全国理,22)已知函数 f(x)=tanx,x∈(0,

? ? ) ,若 x1、x2∈(0, ) ,且 x1 2 2

≠x2,证明

x ? x2 1 [f(x1)+f(x2) ]>f( 1 ). 2 2

35.证明:tanx1+tanx2=

sin x1 sin x2 sin x1 cos x2 ? cos x1 sin x2 ? ? cos x1 cos x2 cos x1 cos x2

?

sin(x1 ? x2 ) 2 sin(x1 ? x2 ) ? cos x1 cos x2 cos(x1 ? x2 ) ? cos(x1 ? x2 )
15

因为 x1,x2∈(0,

? ) ,x1≠x2, 2

所以 2sin(x1+x2)>0,cosx1cosx2>0,且 0<cos(x1-x2)<1, 从而有 0<cos(x1+x2)+cos(x1-x2)<1+cos(x1+x2) , 由此得 tanx1+tanx2>

2 sin(x1 ? x2 ) , 1 ? cos(x1 ? x2 )

所以

x ? x2 1 (tanx1+tanx2)>tan 1 2 2



x ? x2 1 [f(x1)+f(x2) ]>f( 1 ). 2 2

36.已知函数 f ( x) ? log 1 (sin x ? cos x)
2

⑴求它的定义域和值域; ⑶判断它的奇偶性;

⑵求它的单调区间; ⑷判断它的周期性.
4 4

解(1)x 必须满足 sinx-cosx>0,利用单位圆中的三角函数线及 2k? ? ? ? x ? 2k? ? 5 ? ,k∈Z ∴
? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) ∴ 当 x ∈ 4 1 ? ? 5 (2k? ? , 2k? ? ? ) 时, 0 ? sin( x ? ) ≤ 1 ∴ 0 ? sin x ? cos x ≤ 2 ∴ y ≥ log 1 2 ? ? ∴ 函数值 4 4 4 2 2

函 数 定 义 域 为 (2k? ?

? 5 , 2k? ? ?) , k ∈ Z ∵ 4 4

域为[ ?

1 , ?? ) 2

(3)∵ f ( x) 定义域在数轴上对应的点关于原点不对称,∴ f ( x) 不具备奇偶性 (4)∵ f(x+2π )=f(x)∴ 函数 f(x)最小正周期为 2π 注;利用单位圆中的三角函数线可知,以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准,可区分 sinx-cosx 的 符号;以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准,可区分 sinx+cosx 的符号

37. 求函数 f (x)= log 1 cos( x ?
2

1 3

?
4

) 的单调递增区间
1 <1,∴当 2

解: ∵f (x)= log 1 cos( x ?
2

1 3

?
4

) 令 t ? 1 x ? ? ,∴y= log
3 4

1 2

cos t ,t 是 x 的增函数,又∵0<

y= log1 cos t 为单调递增时 ,cost 为单调递减 且 cost>0, ∴ 2k? ≤ t<2k?+
2

? (k?Z), ∴ 2k? ≤ 2

? 3? 3? 1 ? (k?Z) ,6k?≤x<6k?+ x ? <2k?+ 2 4 4 3 4

1 ? (k?Z),∴f (x)= log1 cos( x ? ) 的单调递减区间是 3 4 2

16

[6k?-

3? 3? ,6k?+ ) 4 4

(k?Z)

38. 已知 f(x)=5sinxcosx- 5 3 cos2x+

5 3 (x∈R) 2

⑴求 f(x)的最小正周期; ⑵求 f(x)单调区间; ⑶求 f(x)图象的对称轴,对称中心。 解: (1)T=π (2)增区间[kπ (3)对称中心(
? 5 5 11 ,kπ + π ],减区间[kπ + ? , k? ? ?] 12 12 12 12

k? ? k 5 ,对称轴 x ? ? ? ? ,k∈Z ? ,0) 2 12 2 6

39 若关于 x 的方程 2cos2(? + x) ? sinx + a = 0 有实根,求实数 a 的取值范围。 解 : 原 方 程 变 形 为 : 2cos2x ? sinx + a = 0 即 2 ? 2sin2x ? sinx + a = 0, ∴

17 1 17 ,∵? 1≤sinx≤1 ,∴ 当sin x ? ? 1 时, a min ? ? ; a ? 2 sin 2 x ? sin x ? 2 ? 2(sin x ? ) 2 ? 4 8 4 8

当sin x ? 1时, amax ? 1, ∴a 的取值范围是[ ?

17 , 1] 8

17


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