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一道组合经典试题201105


1、求最小正实数 m,使得面积之和等于 m 的 5 个正三角形,可以覆盖一个边长为 1 的正三 角形。 解:S△ABC ?

3 3 3 .对任意S∈ (0, ) ,存在S′,使S<S′< 4 4 4
A

使△ABC 内接正三角形面积为S′,且可取S′足够大,使 ∠ A1 B1C ? 90? ,取三个小△,△1,△2,△3, 使边长都小于

C1 B1

1 1 BA1 ? CB1 ? AC 1 ,而取两个面积为 3 3

E

S的△4,△5,则

?
I ?1

5

S△i>2S,但不能盖住 ABC。

B

D

A1

C

反证:假设可以, ∵△1,△2,△3 边长之和无法完全覆盖 A1 B, CB1 , AC1 任一条 ∴△4,△5 覆盖 A1 B, CB1 , AC1 ∴由抽屉原理,必有 2 条上的点被同一个△覆盖,不妨设 A1 B 上的 D 和 B1C 上的 E 被同一 个△4 盖住, DE ? A1 B1 . ∴S=S△4>S△A1B1C1=S′ 矛盾

∴S△1+S△2+…+S△5 >2S,且 2S能无限接近

3 , 2

∴ mmin ?

3 2
A

下证: m ?

3 2

满足

设 5 个正三角形边长依次为

a ? b ? c ? d ? e ,S之和为

3 2

B1 A1

C2

D1 D3

D2

A2

所以 a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? e 2 ? 2 若 a ? 1 ,则成立 若 0<a<1,不难得到 b+c>1 证明:若 0<a<1,设 b ? c ? 1 .
2 2
B

C1

B2

C

所以 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? e 2 ? 1 ? b 2 ? ?1 ? b? ? ?1 ? b? ? ?1 ? b?

2

0 ? 2 ? 4b 2 ? 6b , 则 b ? 1 或 b ?
当b ?

1 . 2

1 1 1 1 1 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? e 2 ? 1 ? ? ? ? ? 2 矛盾. , 时 2 ? a 2 4 4 4 4

∴a+b>a+c>b+c>1 将这三个△置于△ABC 三个顶点处,则中间空出一个正△ D1 D2 D3 边长为 f

下证:△ D1 D2 D3 能被 △4 盖住 ? f ? d

f ? D1 D2 ? A1 A2 ? A1 D1 ? D2 A2
? a ? (a ? b ? 1) ? (a ? c ? 1) ? 2 ? ( a ? b ? c)
∴a?b?c? f ? 2

1 3 1 ,则 a ? b ? c ? ? , f ? 得证 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 若 d< ,则 d> 2d ? d ? e ? 2 ? (a ? b ? c ) > 2 ? (a ? b ? c) ? f 2
若d ? ∴ f ? d 成立,故可盖住△ D1 D2 D3 ∴m ?

3 2

成立

∴ mmin ?

3 2


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