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高中数学必修4平面向量测试试卷典型例题(含详细答案)


高中数学平面向量组卷

一.选择题(共 18 小题) 1.已知向量 与 的夹角为 θ,定义 × 为 与 的“向量积”,且 × 是一个向量,它的长度| × |=| || |sinθ,若 =(2,0) , ﹣ =(1,﹣ A.4 ) ,则| ×( + )|=( B. ) C .6 ) D.2 ,则实数 m=( ) D.﹣ =( ) D. ) D.2

r />2.已知 , 为单位向量,其夹角为 60°,则(2 ﹣ )? =( A.﹣1 3.已知向量 =(1, A.2 4.向量 A. B.0 C .1

) , =(3,m) ,若向量 , 的夹角为 B. , B. , ,则 C .0 ,且 ∥ ,则 C. =(

5.如图,在△ ABC 中,BD=2DC.若

A.

B.

C. ,tanα) ,且 ∥ ,则 sinα=( C. )

D.

6.若向量 =(2cosα,﹣1) , =( A. B.

D. ,则

7.已知点 A(3,0) ,B(0,3) ,C(cosα,sinα) ,O(0,0) ,若 的夹角为( A. 8.设向量 = , ) B. C. ) D.钝角三角形 ) D.2 D.

= 不共线,且| + |=1,| ﹣ |=3,则△ OAB 的形状是( B.直角三角形 , ? =3,则| C.锐角三角形 |的最小值为( C.

A.等边三角形

9.已知点 G 是△ ABC 的重心,若 A= A. B.

1

10.如图,各棱长都为 2 的四面体 ABCD 中,

=



=2

,则向量

?

=(



A.﹣

B.

C .﹣

D.

11.已知函数 f(x)=sin(2πx+φ)的部分图象如图所示,点 B,C 是该图象与 x 轴的交点,过点 C 的直线与该图象 交于 D,E 两点,则( )? 的值为( )

A.

B.

C .1 ﹣ )?( + ﹣2

D.2 )=0,则△ ABC 的形状一

12.已知 P 为三角形 ABC 内部任一点(不包括边界) ,且满足( 定为( ) B.直角三角形

A.等边三角形

C.钝三角形 = +

D.等腰三角形 )

13.如图所示,设 P 为△ ABC 所在平面内的一点,并且

,则△ ABP 与△ ABC 的面积之比等于(

A.

B. =

C. ,则直线 AD 通过△ ABC 的( C.重心

D. ) D.内心 =( D. )

14.在△ ABC 中,|AB|=3,|AC|=2, A.垂心 B.外心

15.在△ ABC 中,∠BAC=60°,AB=2,AC=1,E,F 为边 BC 的三等分点,则 A. B. C.

2

16.已知空间向量 , A.

满足

,且

的夹角为 ) C.

,O 为空间直角坐标系的原点,点 A、B 满足

,则△ OAB 的面积为( B. + +3

D. )

17.已知点 P 为△ ABC 内一点,且 A.9:4:1

= ,则△ APB,△ APC,△ BPC 的面积之比等于( C.3:2:1 D.1:2:3 =( D.10

B.1:4:9

18.在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点,点 P 为线段 CD 的中点,则 A.2 二.解答题(共 6 小题) B.4 C .5



19.如图示,在△ ABC 中,若 A,B 两点坐标分别为(2,0) , (﹣3,4)点 C 在 AB 上,且 OC 平分∠BOA. (1)求∠AOB 的余弦值; (2)求点 C 的坐标.

20.已知向量 =(cosθ,sinθ)和 (1)若 ∥ ,求角 θ 的集合; (2)若 ,且| ﹣ |= ,求



的值.

3

21.如图所示,若 D 是△ ABC 内的一点,且 AB ﹣AC =DB ﹣DC .求证:AD⊥BC.

2

2

2

2

22.已知向量 的内角, .



,其中 A、B 是△ ABC

(1)求 tanA?tanB 的值; (2)若 a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,当 C 最大时,求 的值.

23.已知向量 (I)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间; (II)若 ,分别求 tanx 及 的值.



,函数 f(x)=2

24.已知 (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)的单调减区间; (3)当 时,求函数 f(x)的值域.

,函数 f(x)=



4

高中数学平面向量组卷(2014 年 09 月 24 日)
参考答案与试题解析
一.选择题(共 18 小题) 1.已知向量 与 的夹角为 θ,定义 × 为 与 的“向量积”,且 × 是一个向量,它的长度| × |=| || |sinθ,若 =(2,0) , ﹣ =(1,﹣ A.4 ) ,则| ×( + )|=( B. ) C .6 D.2

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析:

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利用数量积运算和向量的夹角公式可得

=

.再利用平方关系可得

,利用新定义即可得出. 解答: 解:由题意 则 ,∴ =6, , = =2 , =2.



=

=

=



即 由定义知

,得

, ,故选:D.

点评: 本题考查了数量积运算、向量的夹角公式、三角函数的平方关系、新定义,考查了计算能力,属于基础题.

2.已知 , 为单位向量,其夹角为 60°,则(2 ﹣ )? =( A.﹣1 B.0 C .1

) D.2

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用.

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分析: 由条件利用两个向量的数量积的定义,求得 解答: 解:由题意可得, =1×1×cos60°= ,



的值,可得(2 ﹣ )? 的值. ﹣ =0,故选:B.

=1,∴(2 ﹣ )? =2

点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义,属于基础题.
5

3.已知向量 =(1, A.2

) , =(3,m) ,若向量 , 的夹角为 B. C .0

,则实数 m=(

) D.﹣

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用.

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分析: 由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式,求得 m 的值. 解答: 解:由题意可得 cos = = = ,解得 m= ,故选:B.

点评: 本题主要考查两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式的应用,属于基础题.

4.向量 A.

, B.

,且 ∥ ,则 C.

=(

) D.

考点: 平行向量与共线向量;同角三角函数间的基本关系;诱导公式的作用. 专题: 计算题;三角函数的求值.

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分析: 根据向量平行的条件建立关于 α 的等式,利用同角三角函数的基本关系与诱导公式,化简即可得到 的值. 解答: 解:∵ 即 , ,得 sinα= ,由此可得 ,且 ∥ ,∴ =﹣sinα= .故选:B 的值.着重考查了同角三 ,

点评: 本题给出向量含有三角函数的坐标式,在向量互相平行的情况下求 角函数的基本关系、诱导公式和向量平行的条件等知识,属于基础题.

5.如图,在△ ABC 中,BD=2DC.若



,则

=(



A.

B.

C.

D.

6

考点: 向量的加法及其几何意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意可得 = =

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,而 =

, =

,代入化简可得答案. = = 故选 C

解答: 解:由题意可得

点评: 本题考查平面向量的加法及其几何意义,涉及向量的数乘,属基础题.

6.若向量 =(2cosα,﹣1) , =( A. B.

,tanα) ,且 ∥ ,则 sinα=( C.

) D.

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用.

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分析: 直接由向量共线的坐标表示列式计算. 解答: 解:∵向量 =(2cosα,﹣1) , =( 即 2sinα= .∴ ,tanα) ,且 ∥ ,则 2cosα?tanα﹣(﹣1)× =0,

.故选:B.

点评: 共线问题是一个重要的知识点,在高考题中常常出现,常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起,要特 别注意垂直与平行的区别.若 =(a1,a2) , =(b1,b2) ,则 ⊥ ?a1a2+b1b2=0, ∥ ?a1b2﹣a2b1=0.是 基础题.

7.已知点 A(3,0) ,B(0,3) ,C(cosα,sinα) ,O(0,0) ,若 的夹角为( A. ) B. C. D.

,则

考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 计算题. 分析: 根据题意求出

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的坐标,再由它的模求出角 α,进而求出点 C 的坐标,利用数量积的坐标表示求出



夹角的余弦值,再求出夹角的度数. 解答: 解:∵A(3,0) ,C(cosα,sinα) ,O(0,0) ,∴ =(3+cosα,sinα) ,

7



,∴(3+cosα) +sin α=13,

2

2

解得,cosα= ,则 α= ∴ 和 的夹角是

,即 C( , .故选:D.

) ,∴



夹角的余弦值是

=

=



点评: 本题考查向量线性运算的坐标运算,以及数量积坐标表示的应用,利用向量坐标形式进行运算求出对应向量 的模,以及它们的夹角的余弦值,进而结合夹角的范围求出夹角的大小. 8.设向量 = , = 不共线,且| + |=1,| ﹣ |=3,则△ OAB 的形状是( B.直角三角形
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) D.钝角三角形

A.等边三角形

C.锐角三角形

考点: 平面向量数量积的运算.

专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 对| + |=1,| ﹣ |=3 分别平方并作差可得 解答: 解:由| + |=1,得 由| ﹣ |=3,得 ①﹣②得,4 =﹣8,解得 =1,即 ,即 ,由其符号可判断∠AOB 为钝角,得到答案. ①, ②, <0,∴∠AOB 为钝角,△ OAB 为钝角三角形,故选:D.

点评: 本题考查平面向量数量积运算,属基础题. 9.已知点 G 是△ ABC 的重心,若 A= A. B. , ? =3,则| |的最小值为( C. ) D.2

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 不等式的解法及应用;平面向量及应用.
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分析: 由 A= 则| |=
2



?

=3,可求得

=6,由点 G 是△ ABC 的重心, = ( +6)≥ =3,即 = = ( , +6)≥ |的最小值为 =6,

得=

,利用不等式 ,代入数值可得.

解答: 解:∵A=



?

=3,∴

∵点 G 是△ ABC 的重心,∴ ∴| ∴| |= |≥ ,当且仅当
2

= ,故选 B.

=2,

=

时取等号,∴|

点评: 本题考查平面向量数量积的运算、不等式求最值,注意不等式求最值时适用的条件. 10.如图,各棱长都为 2 的四面体 ABCD 中, = , =2 ,则向量 ? =( )

8

A.﹣

B.

C .﹣

D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由向量的运算可得 解答: 解:∵ ∴ ∴ = = ? = ( = , =

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= ( =2 ,∴

) , = ( =

= ) , = )= =

,由数量积的定义可得. , = ,

)?(

=

故选:B

点评: 本题考查向量数量积的运算,用已知向量表示未知向量是解决问题的关键,属中档题. 11.已知函数 f(x)=sin(2πx+φ)的部分图象如图所示,点 B,C 是该图象与 x 轴的交点,过点 C 的直线与该图象 交于 D,E 两点,则( )? 的值为( )

A.

B.

C .1

D.2

考点: 平面向量数量积的运算;正弦函数的图象;正弦函数的定义域和值域. 专题: 平面向量及应用.

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分析: 根据三角函数的图象和性质,求出函数的周期,利用向量的基本运算和向量的数量积定义即可得到结论. 解答: 解:∵函数 f(x)=sin(2πx+φ)的周期 T= 则根据向量的平行四边形法则可知: =2 ,则 BC= ?∴( ,则 C 点是一个对称中心, )? = =2× = .

点评: 本题主要考查向量的数量积运算,利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键. 12.已知 P 为三角形 ABC 内部任一点(不包括边界) ,且满足( 定为( )
9



)?(

+

﹣2

)=0,则△ ABC 的形状一

A.等边三角形

B.直角三角形

C.钝三角形

D.等腰三角形

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用.

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分析: 利用向量的三角形法则和平行四边形法则、向量垂直于数量积的关系即可得出. 解答: 解:∵ 而 , 一定经过边 AB 的中点,∴ = , ( ﹣ )?( + ﹣2 )=0,∴ =0.

垂直平分边 AB,即△ ABC 的形状一定为等腰三角形.

点评: 本题考查了向量的三角形法则和平行四边形法则、向量垂直于数量积的关系、等腰三角形的定义,考查了推 理能力,属于难题. 13.如图所示,设 P 为△ ABC 所在平面内的一点,并且 A. B. C. D. = + ,则△ ABP 与△ ABC 的面积之比等于( )

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 计算题;压轴题.

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分析: 本题考查的知识点是向量在几何中的应用, 及三角形面积的性质, 由△ ABP 与△ ABC 为同底不等高的三角形, 故高之比即为两个三角面积之间,连接 CP 并延长后,我们易得到 CP 与 CD 长度的关系,进行得到△ ABP 的面积与△ ABC 面积之比. 解答: 解:连接 CP 并延长交 AB 于 D,∵P、C、D 三点共线,∴ 设 =k ,结合 = + ,得 = + = + ,可得 = , =λ +μ ,且 λ+μ=1

由平面向量基本定理解之,得 λ= ,k=3 且 μ= ,∴ ∵△ABP 的面积与△ ABC 有相同的底边 AB 高的比等于| |与|

|之比 ∴△ABP 的面积与△ ABC 面积之比为 ,故选:C

点评: 三角形面积性质:同(等)底同(等)高的三角形面积相等;同(等)底三角形面积这比等于高之比;同(等) 高三角形面积之比等于底之比.

14.在△ ABC 中,|AB|=3,|AC|=2, A.垂心 B.外心

=

,则直线 AD 通过△ ABC 的( C.重心

) D.内心

10

考点: 向量在几何中的应用.

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专题: 综合题;平面向量及应用. 分析: 首先根据已知条件可知| |=| |= ,又因为 = ,设 = , = ,由向量加法的平行

四边形法则可知四边形 AEDF 为菱形,从而可确定直线 AD 通过△ ABC 的内心. 解答: 解:∵|AB|=3,|AC|=2 ∴| 设 = , = , 则| |=| |=| |= . |,∴ = = + .

由向量加法的平行四边形法则可知,四边形 AEDF 为菱形.∴AD 为菱形的对角线, ∴AD 平分∠EAF.∴直线 AD 通过△ ABC 的内心.故选:D. 点评: 本题考查向量加法的平行四边形法则及其几何意义,属于中档题. 15.在△ ABC 中,∠BAC=60°,AB=2,AC=1,E,F 为边 BC 的三等分点,则 A. B. C. =( D. )

考点: 向量在几何中的应用;平面向量数量积的运算. 专题: 计算题.

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分析: 先判定三角形形状,然后建立直角坐标系,分别求出 可求出答案.



向量的坐标,代入向量数量积的运算公式,即

解答: 解:∵在△ ABC 中,∠BAC=60°,AB=2,AC=1,∴根据余弦定理可知 BC= 由 AB=2,AC=1,BC= 满足勾股定理可知∠BCA=90°

以 C 为坐标原点,CA、CB 方向为 x,y 轴正方向建立坐标系 ∵AC=1,BC= ,则 C(0,0) ,A(1,0) ,B(0, ) ) ,F(0, )

又∵E,F 分别是 Rt△ ABC 中 BC 上的两个三等分点,则 E(0, 则 =(﹣1, ) , =(﹣1, )∴ =1+ =

故选 A.

点评: 本题考查的知识点是平面向量数量积的运算,其中建立坐标系,将向量数量积的运算坐标化可以简化本题的 解答过程.

16.已知空间向量 , A.

满足

,且

的夹角为 ) C.

,O 为空间直角坐标系的原点,点 A、B 满足

,则△ OAB 的面积为( B.

D.
11

考点: 平面向量数量积的运算;三角形的面积公式. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由向量的运算可得 , ,以及

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,代入夹角公式可得 cos∠BOA,由平方关系可得 sin∠BOA, ,计算可得.

代入三角形的面积公式 S= 解答: 解:由题意可得 同理可得 而 =( = )?( = = )= =

= = =6×1
2

= = ﹣1 =
2

, ,



故 cos∠BOA= 所以△ OAB 的面积 S=

=

=

,可得 sin∠BOA= = =

=

, .故选 B

点评: 本题考查平面向量的数量积和三角形面积的求解,熟练掌握公式是解决问题的关键,属中档题.

17.已知点 P 为△ ABC 内一点,且 A.9:4:1

+

+3

= ,则△ APB,△ APC,△ BPC 的面积之比等于( C.3:2:1 D.1:2:3



B.1:4:9
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考点: 向量在几何中的应用. 专题: 计算题;压轴题.

分析: 先将已知向量式化为两个向量共线的形式,再利用平行四边形法则及向量数乘运算的几何意义,三角形面积 公式确定面积之比 解答: 解:∵ ∵ + +3 = ,∴ , + =﹣ ∴ + ) ,如图:

∴F、P、G 三点共线,且 PF=2PG,GF 为三角形 ABC 的中位线∴

=

=

=

=2

而 S△ APB= S△ ABC∴△APB,△ APC,△ BPC 的面积之比等于 3:2:1 故选 C

12

点评: 本题考查了向量式的化简,向量加法的平行四边形法则,向量数乘运算的几何意义等向量知识,充分利用向 量共线是解决本题的关键 18.在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点,点 P 为线段 CD 的中点,则 A.2 B.4
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=( D.10



C .5

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 计算题;综合题.

分析: 以 D 为原点,AB 所在直线为 x 轴,建立坐标系,由题意得以 AB 为直径的圆必定经过 C 点,因此设 AB=2r, ∠CDB=α,得到 A、B、C 和 P 各点的坐标,运用两点的距离公式求出|PA| +|PB| 和|PC| 的值,即可求出 的值. 解答: 解:以 D 为原点,AB 所在直线为 x 轴,建立如图坐标系, ∵AB 是 Rt△ ABC 的斜边,∴以 AB 为直径的圆必定经过 C 点 设 AB=2r,∠CDB=α,则 A(﹣r,0) ,B(r,0) ,C(rcosα,rsinα) ∵点 P 为线段 CD 的中点,∴P( rcosα, rsinα) ∴|PA| = |PB| = 可得|PA| +|PB| = r
2 2 2 2 2 2 2 2

+ +

= =

+r cosα, ﹣r cosα,
2

2

又∵点 P 为线段 CD 的中点,CD=r

∴|PC| =

2

= r 所以:

2

=

=10 故选 D

点评: 本题给出直角三角形 ABC 斜边 AB 上中线 AD 的中点 P,求 P 到 A、B 距离的平方和与 PC 平方的比值, 着重考查了用解析法解决平面几何问题的知识点,属于中档题. 二.解答题(共 6 小题) 19.如图示,在△ ABC 中,若 A,B 两点坐标分别为(2,0) , (﹣3,4)点 C 在 AB 上,且 OC 平分∠BOA.
13

(1)求∠AOB 的余弦值; (2)求点 C 的坐标.

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 综合题. 分析: (1)由题意可得

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,把已知代入可求

(2)设点 C(x,y) ,由 OC 平分∠BOA 可得 cos∠AOC=cos∠BOC 即

=

;再由点

C 在 AB 即

共线,建立关于 x,y 的关系,可求 ,

解答: 解: (1)由题意可得,



=

=

(2)设点 C(x,y) ,由 OC 平分∠BOA 可得 cos∠AOC=cos∠BOC ∵ , ∴ =

∴ 又点 C 在 AB 即 ∴4x+5y﹣8=0② 共线, 由①②解得

, ∴y=2x①

,∴点 C 的坐标为

点评: 本题注意考查了向量的夹角公式的坐标表示的应用,向量共线的坐标表示在三角形中的应用,解题的关键是 借助于已知图象中的条件,灵活的应用向量的基本知识.

20.已知向量 =(cosθ,sinθ)和 (1)若 ∥ ,求角 θ 的集合;



14

(2)若

,且| ﹣ |=

,求

的值.

考点: 平面向量的坐标运算. 专题: 计算题.

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分析: (1)由题意和共线向量的等价条件,列出关于角 θ 的方程,求出 θ 的一个三角函数值,再根据三角函数求 出角 θ 的集合. (2)由题意先求出 ﹣ 的坐标,根据此向量的长度和向量长度的坐标表示,列出方程求出 cos(θ﹣ ) ,由余弦的二倍角公式和 θ 的范围求出 ﹣sinθ)=0,∴ 的值. sinθ=1,sinθ= ,

解答: 解: (1)由题意知 ∥ ,则 cosθ×cosθ﹣sinθ×( ∴角 θ 的集合={θ|θ= +2kπ 或 θ=

+2kπ,k∈Z}; +sinθ,sinθ﹣cosθ) , =

(2)由题意得, ﹣ =(cosθ﹣ ∴| ﹣ |= =2 = ,

即 cos(θ﹣ ∵

)= ,由余弦的二倍角公式得, ,∴ ﹣ )= ﹣ < . < ,∴ < ﹣ <

= ,即 cos( ﹣

①, )<0,

∴由①得 cos(

点评: 本题考查了共线向量的坐标表示和向量长度的坐标表示,利用两角正弦(余弦)和差公式和二倍角公式进行 变形求解,注意由已知条件求出所求角的范围,来确定所求三角函数值的符号.

21.如图所示,若 D 是△ ABC 内的一点,且 AB ﹣AC =DB ﹣DC .求证:AD⊥BC.

2

2

2

2

15

考点: 向量在几何中的应用.

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专题: 计算题;证明题;平面向量及应用. 分析: 设 = ,
2

= ,

= ,
2

= , ﹣
2

= , 将 = + 、 = + 代入
2

2



2

的式子, 化简整理

2



2

=

2

+2 ? =0,

﹣2 ? ﹣

,结合题意

=



2

化简,可得 ?( ﹣ )=0, 再结合向量的加减法法则得到

?

由此结合数量积的性质即可得到 AD⊥BC. 解答: 解:设 ∴
2

= ,
2

= ,
2

= ,
2

= ,
2

= ,则 = + , = + .
2



=( + ) ﹣( + ) =
2 2 2 2

+2 ? ﹣2 ? ﹣
2


2

∵由已知 AB ﹣AC =DB ﹣DC ,得 ∵ = + = ﹣ ,∴ ?



2

=

2



2

,∴

+2 ? ﹣2 ? ﹣ ⊥

2

=

2



2

,即 ?( ﹣ )=0.

= ?( ﹣ )=0,因此,可得

,即 AD⊥BC.

点评: 本题给出三角形 ABC 内满足平方关系的点 D,求证 AD⊥BC.着重考查了平面向量的加减法则、向量的数 量积及其运算性质等知识,属于中档题.

22.已知向量 的内角, .



,其中 A、B 是△ ABC

(1)求 tanA?tanB 的值;

16

(2)若 a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,当 C 最大时,求 的值.

考点: 平面向量的综合题. 专题: 计算题. 分析: (1)根据

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推断出

=0,利用向量的数量积运算结合二倍角公式求得 tanA?tanB; 时,c 取得最大值,再利用同角

(2)由于 tanA?tanB= >0,利用基本不等式得出当且仅当 公式求出 sinC,sinA,最后由正弦定理求 的值. 解答: 解: (Ⅰ)由题意得 即 ﹣5cos(A+B)+4cos(A﹣B)=0 cosAcosB=9sinAsinB ∴tanA?tanB= . (2)由于 tanA?tanB= >0,且 A、B 是△ ABC 的内角, ∴tanA>0,tanB>0 ∴ 当且仅当 ∴c 为最大边时,有 ∴sinC= ,sinA= 取等号. ,tanC=﹣ , ,

=0

=﹣

由正弦定理得:

=



点评: 本题是中档题,考查三角函数的化简与求值,正弦定理的应用,基本不等式的知识,是一道综合题,考查学 生分析问题解决问题的能力,公式的熟练程度决定学生的能力的高低.

23.已知向量 (I)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间; (II)若 ,分别求 tanx 及 的值.



,函数 f(x)=2

17

考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角;复合三角函数的单调性. 专题: 平面向量及应用. 分析: (I)化简函数 f(x)=2 =2sin(2x+

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) ,可得函数的周期,令 2kπ﹣

≤2x+

≤2kπ+

,k∈z,求

得 x 的范围,即可得到函数的单调递增区间. (II)由 ,求得 tanx= ,再由 =
2

=

,运算求得结果.

解答: (I)解:函数 f(x)=2 故函数的周期为

=2

sinxcosx+2cos x﹣1= ≤2x+ ≤2kπ+

sin2x+cos2x=2sin(2x+ ≤x≤kπ+

) , ,

=π,令 2kπ﹣

,k∈z,求得 kπ﹣

故函数的单调递增区间为[kπ﹣ (II)解:若 ∴ = ,则 sinx=

,kπ+

],k∈z. . = =﹣ .

cosx,即 tanx= =

点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义,三角函数的恒等变换及化简求值,正弦函数的增区间,三角函数的 周期性和求法,属于中档题.

24.已知 (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)的单调减区间; (3)当 时,求函数 f(x)的值域.

,函数 f(x)=



考点: 平面向量的综合题;三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法;复合三角函数的单调性. 专题: 综合题.

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分析: (1)根据向量的数量积公式,结合二倍角公式、辅助角公式化简函数,利用周期公式,可求函数 f(x)的
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最小正周期; (2)由 2kπ+ (3)由 解答: 解: (1)∵ ∴函数 f(x)= = (2) 由 2kπ+ (3)∵ ≤2x+ =5 ≤2x+ ≤2kπ+ 得 kπ+ ≤x≤kπ+ ,从而可得 f(x)的单调减区间;

,可得 ,

,从而可求函数 f(x)的值域. ,
2 2

sinxcosx+sin x+6cos x= )+ ∴f(x)的最小正周期 ≤x≤kπ+ ∴ ; , kπ+ ] (k∈Z)

=5sin(2x+ ≤2kπ+ ∴ ].

得 kπ+

, k∈Z∴f (x) 的单调减区间为[kπ+ ∴1≤f(x)≤

即 f(x)的值域为[1,

点评: 本题考查向量知识的运用,考查三角函数的化简,考查函数的单调性与值域,化简函数是关键.

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