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数列的综合应用学案


数列的综合应用
考纲要求:
1、能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题。 2、了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系,能依据现实的生活背景,提炼相关的数量关 系,将现实问题转化为数学问题,构造等差、等比数列模型,并加以解决。

要点归纳:
1、等差数列和等比数列的综合 等差数列中最

基本的量是其首项 a1 和公差 d,等比数列中最基本的量是其首项 a1 和公比 q ,等差数列 和等比数列的综合问题就是根据已知的条件建立方程组求解这两个数列的基本量进而解决问题的。 2、数列和函数、不等式的综合 (1)等差数列的通项公式和前 n 项和公式是关于 n 的一次和二次函数; (2)等比数列的通项公式和前 n 项和公式在公比 q≠1 的情况下是公比 q 的指数函数模型; (3)将数列问题与函数、不等式的结合起来,可以解决数列中的最值、范围等问题。 3、数列的应用题 解决数列应用题的基本步骤: (1)根据实际问题判断是等差数列还是等比数列,用数列的项表示问题的已知; (2)根据等差数列和等比数列的知识,以及实际问题的要求建立数学模型; (3)求出数学模型,根据求解结果对实际问题作出结论。 数列应用题觉模型: (1)等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定量时,该模型是等差数列模型,增加(或减少)的 一量就是公差。 (2)等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时,该模型是等比数列模型,这个固定的 数就公比。 (3)递推模型:如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定,随项的变化而变化时,该模型为递推数 列模型。此时应考虑是 an 与 an-1 的递推关系还是前 n 项和 Sn 与 Sn-1 之间的递推关系。

题型一:等差等比数列的综合问题
例 1. 设公比大于零的等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,,S4=5S2,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn,满 足 b1=1,Tn= n2bn ,n∈N*. (1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式。 (2)设 cn ? (S n ? 1)(nbn ? ? ) ,若数列 ?cn ? 是递减数列,求实数 ? 的取值范围。

3 ? ( ?1) n 变 1:已知 n∈N*,数列 ?dn ? 满足 d n ? ,数列 ?an ? 满足 an=d1+d2+d3+…+d2n.数列 ?bn ? 为公比大 2
于 1 的等比数列,且 b2,b4 为方程 x -20x+64=0 的两个不相等的实根. (1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)将数列 ?bn ? 中的第 a1 项,第 a2 项,第 a3 项,…, 第 an 项,…删去后剩余的项按从小到大的顺序排 成新数列 ?cn ? ,求数列 ?cn ? 的前 2013 项的和 T2013.
2

题型二:数列与函数、不等式的综合应用 例 2. 已知在等差数列 ?an ? 和等比数列 ?bn ? 中,a1=1,b1=2,bn>0(n∈N*),且 b1,a2,b2 成等差数列,a2, b2,a3+2 成等比数列. (1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)设 cn ? abn ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Sn,若

S 2 n ? 4n ? bn ?1 ? t 恒成立,求实数 t 的取值范围. S n ? 2n

变 2. 设数列 ?an ? 满足 a1=2,a2+a4=8,且对任意 n∈N*,函数 f ( x) ? (an ? an ?1 ? an ? 2 ) x ? an ?1 cos x ? an ? 2 sin x 满足 f ( ) ? 0 .
/

?

2

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ? 2( an ?

1 ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . 2an

题型三:数列与解析几何的综合应用 例 3. 在直角坐标平面上有点 P1(x1,y1), P2(x2,y2), …, Pn(xn,yn), …, 对一切正整数 n, 点 Pn 在函数 y ? 3 x ? 的图像上,且 Pn 的横坐标构成以 ? (1)求点 P n 的坐标; (2)对于二次函数列 C1,C2,C3,…,Cn,…其中二次函数 Cn 的顶点为 Pn,且过点 Dn(0,n2+1),记与二 次函数 Cn 图像相切于点 Dn 的直线的斜率为 kn,令 an=kn-4,求数列 ?

13 4

5 为首项,-1 为公差的等差数列. 2

? an ? 的前 n 项和 Tn n ? ?2 ?

变 3. 设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,已知对任意的 n∈N*,点(n,Sn)均在函数 y=2x+r 的图像上. (1)求 r 的值; (2)记 bn=log22a1+log22a2+…+log22an,求数列 ?

?1? ? 的前 n 项和 Tn ? bn ?

【考点巩固】 1、在 3 和一个未知数间填上一个数,使这三个数成等差数列,若中间项减去 6 则成等比数列,则这两个 未知数是_________, 2、 在等差数列 ?an ? 中, 已知前三项的和为 15, 最后三项的和为 78, 所有项的和为 155, 则项数 n=_________.

3、 已知等比数列 ?an ? 中,a1 =512, 公比 q= 中最大的是_________.

1 , 用 Tn 表示它的前 n 项之积 Tn=a1· a2· …· an, 则 T1,T2,…,Tn 2

4、某产品具有一定的时效性,有时效期内,由市场调查可知,在不做广告宣传且每件获利 a 元的前提下, 可卖出 b 件,若做广告宣传,广告费为 n 万元时比广告费为(n-1)万元时多卖出 (1)试写出销售量 Sn 与 n 的函数关系式; (2)当 a=100,b=4000 时,厂家应生产多少件这种产品,投入多少广告费才能获利最大?

b 件(n∈N*). 2n


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