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广东省湛江第一中学2015届高三“临门一脚”数学(文)试题及答案


2015 年湛江第一中学高三数学(文科)仿真模拟
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分为 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项:1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线 内相应的位置上,用 2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上. 2、选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案;不能答在试卷上. 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答,答案必须写在答卷纸各题目指定区 域内的相应位置上,超出指定区域的答案无效;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准 使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整. 参考公式:锥体体积 V

1 ? sh 3

第Ⅰ卷

选择题(共 50 分)

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 A ? x | x ? 4 ? 0 , B ? ?x | x ? 2 ? 0?,则 ?C R A? ? B 等于(
2

?

?



A. (??,2)

B. ?? 2,2?

C. ?? 2,2 ?

D. [?2,2) )

2. 下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( A. y ? x ? 1 B. y ? tan x C. y ? log 2 x

D. y ? x3 ) D. 2i )

3.已知 i 为虚数单位,复数 z ? ?1 ? i ??1 ? i ? 的模 z 的值是( A. 4 B. 2 C. 4i

4.在各项均为正数的等比数列{ an }中,已知 a1a5 =25,则 a3 等于( A.5 B.25
?

C.-25

D.-5 或 5

5.若幂函数 f ? x ? ? mx 的图象经过点 A( , ) ,则它在点 A 处的切线方程是( A. 2 x ? y ? 0 B. 2 x ? y ? 0 C. 4 x ? 4 y ? 1 ? 0

1 1 4 2

)

[学|科|C 网]

D. 4 x ? 4 y ? 1 ? 0

6.由直线 x ? y ? 1 ? 0 ,x ? y ? 5 ? 0 和 x ? 1 ? 0 所围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可 表示为( )

? x ? y ? 1 ? 0, ? A. ? x ? y ? 5 ? 0, ? x ? 1. ?

? x ? y ? 1 ? 0, ? B. ? x ? y ? 5 ? 0, ? x ? 1. ?

? x ? y ? 1 ? 0, ? C. ? x ? y ? 5 ? 0, ? x ? 1. ?

? x ? y ? 1 ? 0, ? D. ? x ? y ? 5 ? 0, ? x ? 1. ?

7.设函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
3

) ,则下列结论正确的是

(

)

① f ( x) 的图象关于直线 x ? ③ f ( x) 的图象向左平移

?
3

对称;

② f ( x) 的图象关于点 (

?
4

,0) 对称;

? 个单位,得到一个偶函数的图象; 12 ? ④ f ( x) 的最小正周期为 ? ,且在 [0, ] 上为增函数. 6
A. ①③ B. ②④ C. ①③④ D. ③ 8. 函数 f ( x) ? x sin x 的图象大致是

A B C 9. 某几何体的三视图如图所示,且正视图、侧视图都是矩形, 则该几何体的体积是( A.16 B.12 ) C.8 D.6

D

第 9 题图 10. 称 d (a, b) ?| a ? b | 为两个向量 a 、b 间的“距离”. 若向量 a 、b 满足:① | b |? 1 ; ②a ? b; ③对任意的 t ? R ,恒有 d (a, tb) ? d (a, b) ,则( A. a ? b B. a ? (a ? b) ) D. (a ? b) ? (a ? b) C. b ? (a ? b)

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.
(一)必做题(11-13 题)
2 11.不等式 x ? 3x ? 10 ? 0 的解集为

. .

12.圆心在 x 轴上,半径长是 4 ,且与直线 x ? 5 相切的圆的方程是

13. 书架上有语文、数学、英语书若干本,它们的数量比依次是 2:4:5,现用分层抽样的方 法从书架上抽取一个样本,若抽出的语文书为 10 本,则应抽出的英语书 (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 本.

?? ? 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线 ? sin ? ? ? ? ? 2 的倾斜角 4? ?
为 . 15 . (几何证明选讲选做题 )如图, ? 是半圆的圆心,直径

?? ? 2 6 , ?? 是圆的一条切线,割线 ?? 与半圆交于点 C ,
?C ? 4 ,则 ?? ?



三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. )
16. ( 本小题满分 12 分 ) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 且 a ? c . 已知

1 BA ? BC ? 2 , cos B ? , b ? 3 求 3
(1) a, c 的值; (2) cos( B ? C ) 的值.

17.空气污染,又称为大气污染,是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中, 呈现出足够的浓度, 达到足够的时间, 并因此危害了人体的舒适、 健康和福利或环境的现象. 全 世界也越来越关注环境保护问题.当空气污染指数(单位:μg/m3)为 0~50 时,空气质量级别 为一级,空气质量状况属于优;当空气污染指数为 50~100 时,空气质量级别为二级,空气质 量状况属于良;当空气污染指数为 100~150 时,空气质量级别为三级,空气质量状况属于轻 度污染;当空气污染指数为 150~200 时,空气质量级别为四级,空气质量状况属于中度污染; 当空气污染指数为 200~300 时,空气质量级别为五级,空气质量状况属于重度污染;当空气 污染指数为 300 以上时,空气质量级别为六级,空气质量状况属于严重污染.2015 年 1 月某 日某省 x 个监测点数据统计如下: 空气污染指数 (单位:μg/m3) 监测点个数

?0,50?
15

? 50,100?
40

?100,150?
y

?150, 200?
10

(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出 x,y 的值,并完成频率分布直方图;

频率 组距

0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 0 50 100 150 200

空气污染指数 (μg/m )
3

(2)若 A 市共有 5 个监测点,其中有 3 个监测点为轻度污染,2 个监测点为良.从中任意 选取 2 个监测点,事件 A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少?

18.如右图,已知 ?BCD 中, ?BCD ? 90 , BC ? CD ? 1,

AB ? 6 , AB ⊥平面 BCD , E 、 F 分别是 AC 、 AD 的中点.
(1)求证:平面 BEF ⊥平面 ABC ; (2)设平面 BEF 平面 BCD ? l ,求证 CD / / l ; (3)求四棱锥 B-CDFE 的体积 V.

* 19 . ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 设 Sn 为 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 , 对 任 意 的 n ? N , 都 有

(1)求证:数列 ?an ? 是等比数列; Sn ? (m ? 1)? man ( m 为正常数). (2)数列 ?bn ? 满足 b1 ? 2a1 , bn ?

bn?1 (n ? 2, n ? N * ) ,求数列 ?bn ? 的通项公式; 1 ? bn?1

(3)在满足(2)的条件下,求数列 ?

? 2n ?1 ? ? 的前 n 项和 Tn ? bn ?

20. 已知抛物线 C : x ? 2 py ( p ? 0) ,抛物线上一点 Q ( m, ) 到焦点的距离为 1
2

1 2

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程 (Ⅱ)设过点 M(0,2)的直线 l 与抛物线 C 交于 A,B 两点,且 A 点的横坐标为 n(n ? N ) (ⅰ)记△AOB 的面积为 f (n) ,求 f (n) 的表达式 (ⅱ)探究是否存在不同的点 A,使对应不同的△AOB 的面积相等?若存在,求点 A 点 的坐标;若不存在,请说明理由
?

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? ln x ? x ? ax, a ? R
2

(1)若 a ? 3 ,求 f ? x ? 的单调区间; (2)若 f ? x ? 由两个极值点 x1 , x2 ,记过点 A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 )) 的直线的斜率 k ,问 是否存在 a ,使 k ?

2 a ? ,若存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理由. a 2

2015 年湛江第一中学高三数学(文科)仿真模拟答案
一、选择题: 1 题号 答案 D 2 D 3 B 4 A 5 C 6 A 7 D 8 A 9 B 10 C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.本大题分为必做题和选做题. 11. {x | ?2 ? x ? 5} 12.

? x ? 1?

2

? y 2 ? 16 和 ? x ? 9 ? ? y 2 ? 16
2

13. 25

3? 15. 2 3 4 三、解答题
14.

17. 解: (1) 0.003 ? 50 ?

15 ? x ? 100 x 15 ? 40 ? y ? 10 ? 100 ? y ? 35 35 ? 0.007 100 ? 50
频率 组距

……2 分
10 ? 0.002 100 ? 50

40 ? 0.008 100 ? 50

0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 0 50 100 150 200

空气污染指 数 ( ?g / m3 )

……5 分

(2)设 A 市空气质量状况属于轻度污染 3 个监测点为 1,2,3,空气质量状况属于良的 2 个监测点为 4,5,从中任取 2 个的基本事件分别为 (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共 10 种, ……8 分 其中事件 A“其中至少有一个为良”包含的 基本事件为 (1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共 7 种, ……10 分 所以事件 A“其中至少有一个为良”发生的概率是 P( A) ? 18..解: (1)证明: 又 BC ? CD , AB AB⊥平面 BCD, CD ? 平面 BCD
7 . 10

……12 分

? A B? C D ,-----------1 分

BC ? B , ? CD ? 平面 ABC ,-----------------2 分

又 E、F 分别是 AC、AD 的中点,∴ EF // CD. ----------------3 分 ∴EF⊥平面 ABCM,又 EF ? 平面 BEF,? 平面 BEF⊥平面 ABC ---------4 分 (2) CD // EF, CD ? 平面 BEF , EF ? 平面 BEF

∴ CD / / 平面 BEF ------6 分 又 CD ? 平面 BCD,且平面 BEF ∴ CD / / l --------8 分 (3)解法 1:由(1)知 EF / / CD ∴ ?AEF 平面 BCD ? l

?ACD ------9 分,?

S?AEF 1 ? , S?ACD 4



VB ? AEF 1 ? -------11 分 VB ? ACD 4

3 3 1 1 1 6 ?V ? VB ? ACD ? VA? BCD ? S ?BCD ? AB ? ? ?1?1? 6 ? . ------14 分 4 4 4 4 2 8
[解法 2:取 BD 中点 G,连结 FC 和 FG,则 FG//AB,-----9 分 ∵AB⊥平面 BCD,∴FG ⊥平面 BCD,-----------------10 分 由(1)知 EF⊥平面 ABC, ∴ V ? VF ? EBC ? VF ? BCD ?

1 1 S ?EBC ? EF ? S ?BCD ? FG ------12 分 3 3

1 6 1 1 1 6 6 .----------------14 分] ? ? ? ? ? ?1?1? ? 3 4 2 3 2 2 8
19.解: (1)证明:当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? (m ? 1) ? ma1 ,解得 a1 ? 1 .……………1 分 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? man?1 ? man .即 (1 ? m)an ? man?1 .………………2 分 又 m 为常数,且 m ? 0 ,∴

an m ? (n ? 2) .………………………3 分 an ?1 1 ? m
m 的等比数列.…………………………………4 分 1? m

∴数列 {an } 是首项为 1,公比为

(2)解: b1 ? 2a1 ? 2 . …………………………………………………………………5 分 ∵ bn ?

bn ?1 1 1 1 1 ,∴ ? ? 1 ,即 ? ? 1(n ? 2) .………………………7 分 bn bn ?1 bn bn ?1 1 ? bn ?1

∴?

?1? 1 ? 是首项为 ,公差为 1 的等差数列.…………………………………………8 分 2 ? bn ?
2 1 1 2n ? 1 ,即 bn ? ? ? (n ? 1) ?1 ? 2n ? 1 bn 2 2 (n ? N ? ) .………………………9 分



(3)解:由(2)知 bn ?

2 2n?1 ,则 ? 2n (2n ? 1) . 2n ? 1 bn

所以 Tn ?

22 23 24 ? ? ? b1 b2 b3

?

2n 2n?1 , ? bn?1 bn
? 2n?1 ? (2n ? 3) ? 2n ? (2n ?1) ,

…10 分 ① ……11 分 ②……12 分

即 Tn ? 21 ?1 ? 22 ? 3 ? 23 ? 5 ? 则 2Tn ? 22 ?1 ? 23 ? 3 ? 24 ? 5 ?

? 2n ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ?1) ,

②-①得 Tn ? 2n?1 ? (2n ?1) ? 2 ? 23 ? 24 ? 故 Tn ? 2
n ?1

? 2n?1 ,………………………………13 分

? (2n ? 1) ? 2 ?

23 (1 ? 2n?1 ) ? 2n?1 ? (2n ? 3) ? 6 .……………………… 1? 2

21. 解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0, ??) , 当 a ? 3 时, f ?( x) ? 当0 ? x ? 当

1 1 ? 2 x 2 ? 3x ? 2x ? 3 ? x x

1 或 x ? 1 ,时, f ?( x) ? 0 ,........................2 分 2

1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 .......... 2 1 1 ? f ( x) 的单调递增区间为 (0, ), (1, ??) ,单调递减区间为 ( ,1) ..........4 分 2 2
(Ⅱ) f ?( x) ?

1 1 ? 2 x 2 ? ax ? 2x ? a ? x x

2 2 令 u( x) ? 2 x ? ax ? 1 ,则 ? ? a ? 8 ,

1 当 ? ? 0 ,即 ?2 2 ? a ? 2 2 时, f ?( x) ? 0 ,

? f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,此时 f ( x) 无极值; ..............5 分

2 当 ? ? 0 ,即 a ? ?2 2 时, f ?( x) ? 0 ,
? f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,此时 f ( x) 无极值.............6 分
3 当 ? ? 0 ,即 a ? ?2 2 或 a ? 2 2 时,

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 方程 u ( x) ? 0 有两个实数根 x1 ? , x2 ? 4 4
若 a ? ?2 2 ,两个根 x1 ? x2 ? 0 ,此时, 则当 x ? (0, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,

? f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,此时 f ( x) 无极值.................7 分
若 a ? 2 2 , u ( x) ? 0 的两个根 x1 ? 0, x2 ? 0 ,不妨设 x1 ? x2 ,则 当 x ? (0, x1 ) 和 ( x2 , ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 (0, x1 ) 和 ( x2 , ??) 单调递增, 当 x ? ( x1 , x2 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 ( x1 , x2 ) 上单调递减, 则 f ( x) 在 x ? x1 处取得极大值,在 x ? x2 处取得极小值, 且 x1 ? x2 ?

a 1 , x1 x2 ? 2 2

k?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ln x1 ? x12 ? ax1 ? ln x2 ? x2 2 ? ax2 ? x1 ? x2 x1 ? x2

?

ln x1 ? ln x2 ln x1 ? ln x2 a ? ( x1 ? x2 ) ? a ? ? x1 ? x2 x1 ? x2 2 ln x1 ? ln x2 a 2 a ln x1 ? ln x2 2 1 (*)......10 分 ? ? ? 即 ? ? x1 ? x2 2 a 2 x1 ? x2 a x1 ? x2

?

x1 ?1 x x1 x1 ? x2 x2 t ?1 即 ln ,令 1 ? t ? (0,1) ,则上式等价于: ln t ? ? ? x x2 x2 x1 ? x2 t ?1 1 ?1 x2
令 g (t ) ? (t ? 1) ln t ? t ? 1 ,则 g ?(t ) ? ln t ?

1 t ?1 1 ? 1 ? ln t ? ,令 m(t ) ? ln t ? t t t

1 1 t ?1 m?(t ) ? ? 2 ? 2 ? 0 ,? m(t ) 在区间 (0,1) 上单调递减,且 m(t ) ? m(1) ? 1 ? 0 , t t t
即 g ?(t ) ? 0 在区间 (0,1) 恒成立,? g (t ) 在区间 (0,1) 上单调递增,且 g (t ) ? g (1) ? 0

? 对 ?t ? (0,1) ,函数 g (t ) 没有零点,即方程 ln t ?
即(*)式无解,? 不存在实数 a ,使得 k ?

t ?1 在 t ? (0,1) 上没有实根....13 分 t ?1

2 a ? . ..............14 分 a 2

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