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1.2.2空间几何体的直观图 2013级


复习:
1、 三视图之间的投影规律:
正视图与俯视图------长对正。 正视图与侧视图------高平齐。 俯视图与侧视图------宽相等。

2、 画几何体的三视图时,能看得见的轮廓线
或棱用实线表示,不能看得见的轮廓线 或棱用虚线表示。

3 空间想象能力,逆向思维能力

正视图<

br />
侧视图

俯视图

正视图

侧视图

俯视图

正视图

侧视图

俯视图

正视图

侧视图

俯视图

正视图

侧视图

俯视图

1、理解平面图形的直观图画法
——斜二测画法;

2、会画常见的几种平面图
形的直观图; 3、会画立体图形的直观图。

? 什么叫直观图 ? ? 把空间图形画在平面内,使得既富有立体感,又 能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系 的图形.
D?
A? B?

C?

D

C B

A

空间几何体的直观图通常是在平行投影下 画出的空间图体 对于水平放置的多边形常用斜二测画法 画它们的直观图

问题提出

1.把一本书正面放置,其视觉效果 是一个矩形;把一本书水平放置,其视 觉效果还是一个矩形吗?这涉及水平放 置的平面图形的画法问题.
2.对于柱体、锥体、台体及简单的组 合体,在平面上应怎样作图才具有强烈 的立体感?这涉及空间几何体的直观图 的画法问题.

水平放置的平面图形的画法

思考1:把一个矩形水平放置,从适当的 角度观察,给人以平行四边形的感觉, 如图.比较两图,其中哪些线段之间的位 置关系、数量关系发生了变化?哪些没 有发生变化?

思考2:把一个直角梯形水平放置得其直 观图如下,比较两图,其中哪些线段之 间的位置关系、数量关系发生了变化? 哪些没有发生变化?

一、几何体的直观图:

直观图: 表示空间图形的平面图形, 叫做空间图形的直观图.

画一个正方形的直观图。

思 考

怎样才能画好物体的直观图呢?

斜二测画法
y . . . . .

①在直角坐标 系中画出正四 棱柱的底面;
x

. .

. . o.

②建立∠x’o’y’=45°的坐标系 ③平行于x、y轴的线段在斜二测坐标系中 仍平行于x’、y’轴,但横向长度不变,纵向 长度减半
y
. . .

y’ . . . . . o’ x’

. .

. .

. . o.

x

画水平放置的圆的直观图。 Y

Y’

O

X

O’

X’

常用的一些空间图形的平面画法

二、水平放置平面图形的直观图的画法:
例1.用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图

?1? 在六边形ABCDEF中,取AD所在的直线为X轴,
对称轴MN所在直线为Y轴,两轴交于点O。画相应

的X?轴和Y?轴,两轴相交于点O?,使?x?Oy?=45?

y

F

M

E D
C

y?

A
B

O

x

O

x?

N

? 2?以O?为中心,在X?上取A?D?=AD,在y?轴上取

1 M?N?= MN .以点N ?为中心,画B?C?平行于x?轴, 2 并且等于BC;再以M ?为中心,画E?F?平行于x?轴, 并且等于EF. y
y?

F

M

E
A?

F ? M ? E?
N ? C?

A
B

O

D
C

x

B?

O?

D?

x?

N

? 3? 连接A?B?,C?D?,E?F?,F?A?,并擦去辅助线x?轴和y?轴,
便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A?B?C?D?E?F?

y
F
M

E
A?

y?

F ? M ? E?
N ? C?

A
B

O

D
C

x

B?

O?

D?

x?

N

? 3? 连接A?B?,C?D?,E?F?,F?A?,并擦去辅助线x?轴和y?轴,
便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A?B?C?D?E?F?

y
F
M

E D
C

A
B

O

x

N

斜二测画法的步骤:
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交
于o点.画直观图时,把它画成对应的x′轴、y′轴,

使 ?x ?Oy?=45? ? 或135? ?,它确定的平面表示水平平面。
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中

分别画成平行于x′轴或y′轴的线(即平行性不变)
(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持

原长度不变;平行于y轴的线段,长度为原来的一
半. (即横不变纵半)

三、怎样画立体图形的直观图?
例2.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体的直观图

?1? 画轴.画x轴,y轴,z轴,三轴交于点O,使?xOy=45 ,
?

?xOz ? 90 .
?

Z

y
O

x

? 2 ? 画底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN=

4

cm;在

轴上取线段PQ,使PQ= 1.5cm;分别过点M 和N 作y轴的平行 线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B, C,D,四边形ABCD就是长方形的底面ABCD

Z

y
D
M
O

Q

C

N

A

x

P

B

?3? 画侧棱.过A,B,C,D,各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线
上分别截取2cm长的线段AA?,BB?,CC?,DD?.

D?

Z
B?
O

C?
Q

A?

y

M

D
P

C

N

x

A

B

? 4 ? 成图.顺次连接A?,B?,C?,D?,并加以整理

?去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线 ? ,
就可得到长方体的直观图.
D?

Z
B?
O

C?
Q

A?

y

M

D
P

C

N

x

A

B

? 4 ? 成图.顺次连接A?,B?,C?,D?,并加以整理

?去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线 ? ,
就可得到长方体的直观图.
D?

C?
B?
C

A?

D

A

B

例3.已知几何体的三视图,用斜二测画法画出 它的直观图 Z · y?
O?

y

x?

·? O

·? O · O
侧视图

O

x

· O
正视图

·
俯视图

例4.已知几何体的三视图,用斜二测画法画出 它的直观图

·? O

·? O · O
侧视图

· O
正视图

·
俯视图

?斜二测画法的规则;关键是

“平行性不变; 横不变纵半”。

练习1:下列说法是否正确?
(1)水平放置的正方形的直观图可能是梯形. (×) (2)两条相交直线的直观图可能平行. (×) (3)互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直.

(×)
(4)等腰三角形的水平放置的直观图仍是等腰 三角形. (×) (5)水平放置的正三角形的直观图是一个底边长 不变,高为原三角形高的一半的三角形. (×)

练习2:如图,直观图所示的平面图形是(C ) A.任意三角形 C.直角三角形 B.锐角三角形 D.钝角三角形
A?
B?

y?

C?

o?

x?

练习3:如图,直观图所示的平面图形是( B ) A.任意四边形 C.任意梯形 B.直角梯形 D.等腰梯形

y?
A ? D?
B?

C?

o?

x?

练习4:已知一四边形ABCD的水平放 置的直观图是一个边长为2的正方形, 请画出这个图形的真实图形。

练习5:如图为水平放置的正方形ABCO, 它在直角坐标系xOy中点B(2,2),则在用 斜二测画法画出的正方形的直观图中, 顶点B’到x’轴的距离为( 2 )
2

练习6:如图ΔA/B/C/是水平放置的 ΔABC的直观图,则在ΔABC的三边 及中线AD中,最长的线段是( AC)

练习7:右图是ΔABC利用斜二测画法 得到的水平放置的直观图ΔA’B’C’,其 中A’B’∥y’轴,B’C’∥x’轴,若ΔA’B’C’ 的面积是3,则ΔABC的面积是( 6 2)

8 如图,一个平面图形的水平放置 的斜二测直观图是一个等腰梯形,它的 底角为45°,两腰和上底边长均为1, 求这个平面图形的面积.
D D C C

A

B
A

S ? 2? 2
B

斜二测画法的步骤:
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交 于点O. 画直观图时,把它们画对应的x’轴与y’轴, 两轴交于点O’,且使∠x’O’y’ =45? (或135? ),它们确

定的平面表示水平面; (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中 分别画成平行于x’轴或y’轴的线段; (即平行性不变)
(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中长度保持不
变;平行于y轴的线段,长度为原来的一半.
(即横不变纵半)

四个步骤:取轴、画轴、平行性、长度.

常见几何体

长方体

正方体

圆柱

圆锥

棱柱



中心投影 投影线交于一点 直观强、接近实物 投影 平行投影 投影线平行 正视图 侧视图 俯视图 斜投影 不改变原 正投影 物形状

?

三视图

视图 直观图

长对正、高平齐、宽相等 根据三视图,我们可以得 到一个精确的空间几何体

斜二测画法

可以根 据直观 图的结 构想象 实物的 形象


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