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金太阳热点重点难点专题测试卷数学答案详解专题6


QG-理科

?

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专案突破 决胜高考

?
【考情报告】
题 型
小 题

2010年
第6题:二项分布、 期望值. 第13题:几何概型.

2011年
第4题:分步乘法计 数原理、古

典概型. 第8题:二项展开式.

2012年
第2题:排列与组合 .第15题:正态分布 、独立重复试验. 第18题:随机变量 的分布列、期望 与方差.

大 题

第19题:2×2列联表 第19题:频数分布 、抽样方法、用样 表的理解与应用、 本估计总体. 分布列与期望.

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【考向预测】 本专题是高考的一个热点内容,从近三年的高考题来看,对计数原理 、排列组合与概率要求总体中等偏上,对分类加法计数原理、分步 乘法计数原理和排列组合的考查主要是和古典概型结合到一起的 一道小综合题;二项式定理的考查以基本题型为主,主要是课本题目 的变形;几何概型考了一次;互斥、相互独立与独立重复试验一般在 大题中出现,考查基本概念与基本算法;条件概率基本与考纲要求一 样,以了解为主,目前还没有考查.高考对这部分内容,一般考查2道小 题、1道大题,小题多为中、低档题;大题则多为中档题,考查的热点 是统计、概率、随机变量及其分布.特别是概率、随机变量及其分
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布列几乎是必考题,要引起充分重视.预测2013年会延续这种考情,考 题难度不会再加大,对计数原理(包括排列组合)、二项式定理、概 率及随机变量的分布还会重点考查.要重视对概率意义的理解,重视 概率的实际应用. 【知能诊断】

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1.(2012临沂二模)二项式(2?x -?)6的展开式中的常数项为? ( (A)120. (C)160. (D)-160.
r ?6

1 x

)

(B)-120.

【解析】展开式的通项为Tr+1= C (2?x )
-r
r C6 ?x

6-r

r 6? r ? 1 r r 6-r r 2 x 2 (-?) =(-1) · ?6 ? ? =(-1)r·6 2 C x 2 x

3-r

.令3-r=0,得r=3,所以常数项为T4=(-1)3·3? =-160,选D. 2 C3 6

【答案】D

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2.(2012徐州二质检)箱中有号码分别为1,2,3,4,5的五张卡片,从中一 次随机抽取两张,则两张号码之和为3的倍数的概率为 .

2 C5 【解析】抽取2张卡片共有? 种取法(不考虑顺序),其中号码和为3的

倍数的有(1,2),(1,5),(2,4),(4,5),所以概率为? ? = .
【答案】?
2 5

4 10

2 5

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3.(2012南通、泰州、扬州苏中三市高三第二次调研测试)已知函数f (x)=log2x,在区间[? ,2]上随机取一个数x0,则使得f(x0)≥0的概率为 . 【解析】f(x0)≥0?x0≥1,则1≤x0≤2,所以概率p=? =? . 1
2 ?1 2?
2 3

1 2

2

【答案】?

2 3

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4.(2012南京二模)某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数 X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取200件,对其等级系 数进行统计分析,得到频率f的分布如下:
X f 1 a 2 0.2 3 0.45 4 0.15 5 0.1

则在所抽取的200件日用品中,等级系数X=1的件数为

.

【解析】由所有频率之和为1,可知道a=0.1,由频率公式可知所求件 数为20. 【答案】20

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5.(2012浙江慈溪模拟)现安排甲、乙等5名同学去参加3个运动项目, 要求每个项目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求且

甲、乙两人不参加同一个项目的安排方法种数为? ( (A)114.
(C)108.

)

(B)162.
(D)132.

【解析】5个人分别参加三个项目有两种可能:1人+1人+3人;2人+2 人+1人. 当按1人+1人+3人参加时,可按以下方式分类考虑:
A3 (ⅰ)甲、乙都参加只有一人的项目,则有?3 =6种情况;

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C2 (ⅱ)甲、乙中参加项目有一个只有一人的,则有2· 3 A3=36种. ??3

当按2人+2人+1人参加时,可按以下方式分类考虑:
C (ⅰ)甲、乙中参加项目有一个只有一人的,则有2· 13 A3=36种; ??3

C1 C1 A3 (ⅱ)甲、乙都是参加项目有两人的,则有???3 =36种. 3 2

将上面所有情况相加即得答案. 【答案】A

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6.(2012济南5月模拟)将1,2,3,…,9这9个数字填在如图的9个空格中,
要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大,当3,4固定在图 中的位置时,填写空格的方法数为? ( (A)6种. (C)18种. (B)12种. (D)24种. )

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【解析】根据数的大小关系可知,1,2,9的位置是固定的,则剩余5,6,7,
C2 8四个数字,选两个数字放C、B处即可,有? 种排法,选A. 4

【答案】A

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7.(2012年· 新课标全国)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若 干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫 瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需 求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式;

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(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:
日需求 量n 频数 10 20 16 16 15 13 10 14 15 16 17 18 19 20

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

①若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分
布列、数学期望及方差; ②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是1 7枝?请说明理由.

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【解析】(1)当日需求量n≥16时,利润y=80, 当日需求量n<16时,利润y=10n-80. 所以y关于n的函数解析式为 y=? n ? 16 ? 80,
? ?10n ? 80,  n ? 16,

(n∈N).

(2)①X可能的取值为60,70,80,并且有 P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.

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X的分布列为
X P 60 0.1 70 0.2 80 0.7

X的数学期望为 EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76. X的方差为 DX=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44. ②答案一:花店一天应购进16枝玫瑰花,理由如下:

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若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分 布列为
Y
P

55
0.1

65
0.2

75
0.16

85
0.54

Y的数学期望为 EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4. Y的方差为

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DY=(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+(75-76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54=1 12.04. 由以上的计算结果可以看出,DX<DY,即购进16枝玫瑰花时利润波动 相对较小,另外,虽然EX<EY,但两者相差不大,故花店一天应购进16 枝玫瑰花. 答案二:花店一天应购进17枝玫瑰花,理由如下:若花店一天购近17枝 玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为
Y P 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54

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Y的数学期望为 EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4. 由以上的计算结果可以看出,EX<EY,即购进17枝玫瑰花时的平均利 润大于购进16枝时的平均利润,故花店一天应购进17枝玫瑰花. 【诊断参考】 1.应用两个计数原理时容易出现的问题是:重复或遗漏,搞不清分类 、分步的标准. 2.应用二项展开式的通项公式时,涉及根式与指数式转化过程计算 容易出错;其次就是易忽略系数的符号(-1)r,导致错误.
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3.考生对三种抽样方法的特点模糊不清,特别是分层抽样按比例抽 取,有的考生对比例关系把握不清.

4.计算概率时,考生对基本事件确定有误,基本事件计算不准确,书写
不规范,计算错误. 5.考生搞不清离散型随机变量的所有可能值与所有可能值的概率. 6.在画频率分布直方图时,纵坐标易错,往往直接画成频率.实际上频 率分布直方图的纵坐标是频率/组距,频率分布直方图的面积是频率.

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?
【核心知识】
1.计数原理 2.排列与组合

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排 列

定义 排列数公式
?=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
Anm

或写成?=
组 合 定义 组合数公式
?

?

A

m n

n! (n ? m)!

=

?或

m Cn

n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) m!

写成?=
组合数性质

?
n! m n ?m m m!? (n ? m)! Cn Cn Cn C m n ?1
m Cn Cnm ?1

①?=?;②?=?+?

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3.二项式定理
定理
0 2 n 1 r Cn Cn Cn Cn Cn (a+b)n=?anb0+?an-1b+?an-2b2+…+?an-rbr+…+?a0bn(r=

0,1,2,…,n) 通项
r r Cn Cn Tr+1=?an-rbr,r=0,1,2,…,n,其中?叫做二项式系数

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二 项 式 系

对称性

与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等,即
?
0 k 1 Cn =?,…, ? Cn =?,?Cnn Cn Cnn?1=?,…. Cnn ? k

最大值

当n为偶数时,中间的一项的二项式系数? 取得最大 值;当n为奇数时,中间的两项的二项式系数?,?相


的 性 质

等,且同时取得最大值.
各二项式系数的和 ①?+?+?+…+?+…+? n2?1 C C
n
n 2 n

=2n; ②?+?+…+?+…=?+
?

+…+?+…=

?

n ?1

Cn 2 ·n=2n-1. 2

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4.概率模型
概型 古典概型 几何概型 特点 等可能性、有限性 等可能性、无限性 概率求法
A包含事件的个数 P(A)=? 基本事件总数

P(A)=
?
A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果构成的长度(面积或体积)

互斥事件有一个发生 的概率

事件互斥

P(A+B)=P(A)+P(B)(A、B 互斥)

对立事件的概率

若事件A与事件B互为对立事
件,则A∪B为必然事件.

P(A∪B)=1
P(A)=1-P(B) P(AB)=P(A)P(B)(A、B相 互独立)

相互独立事件同时发 生

事件互相独立

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独立重复试验

一次试验重复n次

k Cn P(X=k)=?pk(1-p)n-k (p为每

次试验中,事件发生的概 率) 条件 概率 在事件A发生的条件下B 发生记作B|A

P(B|A)=

?

P(AB) P(A)

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5.统计
抽样方法 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样

用样本频率分布估计 ①频率分布表和频率分布直方图. 总体分布 ②总体密度曲线. ③茎叶图. 用样本的数字特征估 众数、中位数 计总 平均数 体的数字特征 方差

? =?
? s2=?[(x1-??)2+(x2x-?)2+…+(x x n ? x1 ? x 2 ? ?? x n nx n 2 ?) ]

1

标准差

s= ?

2 2 2 x1 ?n [(x1 ? x) ? (x 2 ? x) ??? (x n ? x) ]

?

?

?

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6.离散型随机变量
概率分布的两个性质 数学期望(均值) 方差 ①pi≥0,②p1+p2+…+pn=1. E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn V(X)=(x1-E(X))2·1+(x2-E(X))2·2+…+(xn-E(X))2·n p p p

常见分布

超几何分布

一般地,在含有M件次品的 N件产品中任意取n件,其

中恰有X件次品,P(X=k)=
C ? M CN ? M
n CN k n ?k

二项分布

C P(X=k)=?nkpkqn-k(其中k=0,1,

2,…,n,q=1-p), 两点分布是一种特殊的二 项分布 正态分布
1 (x ? ? ) 2 ? f(x)=?? ? ? 2? 2 ,x∈R,其中 e 2π

μ为期望,σ为标准差

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7.回归分析和独立性检验. 【考点突破】
热点一:排列与组合应用题 1.在解决具体问题时,首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”,接 着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么.

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2.区分某一问题是排列还是组合问题,关键看选出的元素与顺序是 否有关.若交换某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题;若 交换任意两个元素的位置对结果没有影响,则是组合问题.也就是说 排列问题与选取元素的顺序有关,组合问题与选取元素的顺序无关. 3.排列与组合综合应用问题的常见解法:①特殊元素(特殊位置)优先 安排法;②合理分类与准确分步;③排列、组合混合问题先选后排法; ④相邻问题捆绑法;⑤不相邻问题插空法;⑥定序问题倍缩法;⑦多排 问题一排法;⑧“小集团”问题先整体后局部法;⑨构造模型法;⑩正

难则反、等价转化法.

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?

(1)从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购

、保洁四项不同工作.若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工 作,则选派方案共有? ( (A)280种. (C)180种. (D)96种. ) (B)240种.

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(2) 数学研究性学习小组共有13名同学,其中男同学8名,女同学5名. 从这13人里选出3人准备作报告.在选出的3人中,至少要有1名女同 学, 则不同选法种数为 种.(以数字作答)

(3)12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口 4人,则不同的分配方案共有? (
4 4 C12 C8 C4 (A)? ?? 种. 4

)

4 4 C12 C8 C4 (B)3? ?? 种. 4

(C) C

4 4 3 ?12 ?8 ?3

C A

种.

4 4 C12C8 C 4 (D) A3 4 种. 3

?

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【分析】(1)根据题意,使用排除法.首先计算从6名志愿者中选出4人 分别从事四项不同工作的情况数目,再分析计算其包含的甲、乙两 人从事翻译工作的情况数目,进而由事件间的关系,计算可得答案. (2)“至少要有1名女同学”可以理解为:选出的3人中有1名女同学
、2名男同学;2名女同学、1名男同学;3名全是女同学.这样就可直接 按分类加法计数原理解答题目. (3)首先把12个人平均分成3组,这是一个平均分组,从12个中选4个, 从8个中选4个,最后余下4个,这些数相乘再除以3个元素的全排列,再 把这三个小组作为三个元素分到三个路口,这样就有一个全排列,根

据分步计数原理得到结果.

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【解析】(1)根据题意,由排列可得,从6名志愿者中选出4人分别从事
A4 四项不同工作,有?6 =360种不同的情况,其中包含甲从事翻译工作有

A5 A5 ? =60种,乙从事翻译工作的有? =60种.

3

3

若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作,则选派方案共有360 -60-60=240种.故选B.

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C1 C (2)解法1(直接法):选1名女同学,2名男同学,有??82种选法;选2名女同 5
2 C3 C5 C 学,1名男同学,有??18种选法;选3名女同学,男同学不选,有?种选法. 5 2 综上,根据分类计数原理知,选法共有: ??82+??+?=230(种). C1 C C5 C1 C3 5 8 5

C3种选法,而不符合条件,即 解法2(间接法):如果没有限制条件,则有?13
C3 选出的全是男同学的选法是?8种.因此,至少要有1名女同学的不同选
3 3 法有: ?-?=230(种). C13 C8

(3)

4 4 4 C12 ? C8 ? C 4 首先把12个人平均分成3组,共有 个结果,再把这三个小 A3 3

?

组作为三个元素分到三个路口,这样就有一个全排列,共有?3 种结果, A3
4 4 4 C12 ? C8 ? C 4 根据分步乘法计数原理知共有 ·3=?· A3 ,故选A.C4 ? ?· C 4 C 4 ? 12 8 4 3 A3

?

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【答案】(1)B (2)230 (3)A
【归纳拓展】对于排列、组合的综合题目,一般是将符合要求的元 素取出或进行分组,再对取出的元素或分好的组进行排列,即一般策 略为先组合后排列.分组时,要注意“平均分组”与“不平均分组” 的差异及分类的标准.排列组合的综合问题从解法看,大致有以下几 种:(1)有附加条件的排列组合问题,大多需要用分类讨论的方法,注 意分类时应不重不漏;(2)排列与组合的混合型问题,用分类加法或分 步乘法计数原理解决;(3)元素相邻,可以看做是一个整体的方法;(4) 元素不相邻,可以利用插空法;(5)间接法,把不符合条件的排列与组 合剔除掉;(6)穷举法,把不符合条件的所有排列或组合一一写出来.
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【附注】解排列组合题的“16字方针,12个技巧”:

(1)“16字方针”是解排列组合题的基本规律,即:有序排列、无序组 合;分类为加、分步为乘. (2)“12个技巧”是速解排列组合题的捷径.即: ①相邻问题捆绑法; ③多排问题单排法; ⑤定位问题优先法; ②不相邻问题插空法; ④定序问题倍缩法; ⑥有序分配问题分步法;

⑦多元问题分类法;

⑧交叉问题集合法;

⑨至少(至多)问题间接法; ⑩选排问题先取后排法; ? 局部与整体问题排除法; ? 复杂问题转化法.

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变式训练1 (1) 计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画、4幅油画
、5幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的画必须连在一起,并且水 彩画不放在两端,那么不同的陈列方式有? (
A 4 A5 (A)?4 ?5 种.

)

A5 A 4 A5 (B)?3 ?4 ?5种.
A 2 A 4 A5 (D)?2 ?4 ?5种.

A1 A 4 A5 (C)?3 ?4 ?5 种.

(2)一条长椅上有9个座位,3个人坐,若相邻2人之间至少有2个空椅
子,共有 种不同的坐法.

(3)一条长椅上有7个座位,4个人坐,要求3个空位中,恰有2个空位相 邻,共有
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种不同的坐法.
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A2 【解析】(1)先各看成整体,但水彩画不在两端,则为?2 ,然后水彩画 A 2 A 4 A5 与国画各全排列,所以共有???种陈列方式. 2 4 5 (2)先将3人(用×表示)与4张空椅子(用□表示)排列如图(×□□×□□

×),这时共占据了7张椅子,还有2张空椅子,一是分开插入,如图中箭 头所示(↓×□↓□×□↓□×↓),从4个空当中选2个插入,有?种插2 C4

法;二是2张同时插入,有?14种插法,再考虑3人可交换,有?种方法,所 C A3 3
以,共有?3(?2+?1)=60(种). A3 C4 C4 (3)可先让4人坐在4个位置上,有?4种排法,再让2个“元素”(一个是 A4 两个作为一个整体的空位,另一个是单独的空位)插入4个人形成的5 A2 A4 A2 4 个“空当”之间,有5?种插法,所以所求的坐法数为?·5 =480. ?

【答案】(1)D
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(2)60 (3)480
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热点二:求二项展开式的通项、指定项 二项式定理是一个恒等式.求二项展开式中某指定项的系数、二项 式系数或指定项问题,是二项式定理的常考问题,通常用通项公式来

解决.在应用通项公式时,要注意以下几点: (1)它表示二项展开式的任意项,只要n与r确定,该项就随之确定; (2)Tr+1是展开式中的第r+1项,而不是第r项;
(3)公式中a,b的指数和为n且a,b不能随便颠倒位置; (4)要将通项中的系数和字母分离开,以便于解决问题; (5)对二项式(a-b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题.

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?

设f(x)=(1+x)m+(1+x)n展开式中x的系数是19(m,n∈N*).

(1)求f(x)展开式中x2的系数的最小值; (2)当f(x)展开式中x2的系数取最小值时,求f(x)展开式中x7的系数.

【分析】求二项展开式中指定项,关键是研究通项公式,结合通项,找
出指数的组成规律,确定项的组成规律. 【解析】f(x)=(1+x)m+(1+x)n展开式中x的系数是19.
C1 C1 即? +? =19,∴m+n=19. m n

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(1)f(x)展开式中x2的系数为:
C + Cn +?= ?m ?=?C19?n Cn +
2

2

2

? ?
2

(19 ? n)(18 ? n) 2

n(n ? 1) 2

19 =n2-19n+171=(n-?)2+323. ? 2

4

1 2 323 324 2 又∵n∈N*,∴当n=9或n=10时,?+?C2 C2 的最小值为(?) +?=?=81,∴x m n 2

4

4

的系数的最小值为81. (2)由(1)知当n=9,m=10或n=10,m=9时,x2的系数最小,此时x7的系数为
7 7 3 2 C10 C9 C10 =156. ?+?=?+?C9

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【归纳拓展】对二项展开式的通项公式要灵活应用,以及能区分展 开式中项的系数与其二项式系数.

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变式训练2 (1+x+x2)(x-?6的展开式中的常数项为 ) 【解析】(1+x+x2)(x-?6 )
1 x 1 15 6 1 x0(-?6]=(1+x+x2)(x6-6x4+15x2-20+? ? ? ) - + ), x 2 x 4 x6 x
1 x

1 x

.

C6 =(1+x+x2)[?0 x6(-?0+?16 x5(-?1+?6 x4· ?2+?3 x3(-?3+?6 x2(-?4+?5 x(-?5+?6 ) C ) C2 (- ) C6 ) C4 ) C6 ) C6

1 x

1 x

1 x

1 x

1 x

所以常数项为1×(-20)+x2· 2 =-5. ? 【答案】-5

15 x

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热点三:二项式定理中的“赋值”问题 二项式中项的系数和、差可以通过对二项展开式两端字母的赋值 进行解决,如(1+x)n展开式中各项系数的绝对值的和就是展开式中各 项系数的和,只要令x=1即得,而(1-x)n的展开式中各项系数的绝对值 的和,只要把x前面的系数-1变为+1,令x=1得到,也可以不改变系数-1, 直接令x=-1得到,这样就不难类比得到(1+ax)n展开式中各项系数绝 对值的和为(1+|a|)n.

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?

设(4x-1)200=a0+a1x+a2x2+…+a200x200,求:

(1)展开式中二项式系数之和; (2)展开式中各项系数之和;

(3) |a0|+|a1|+|a2|+…+|a200|; (4)展开式中所有偶数项系数之和;
(5)展开式中所有奇数项系数之和.
【分析】展开式的二项式系数和为2n;求展开式的系数和:奇数项(或 偶数项)系数和一般用赋值法;系数的绝对值之和只要将二项式中的 所有系数改写成正数之后再用赋值法即可解决.

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【解析】令f(x)=(4x-1)200,则
C200 C0+?1+?+…+?=2200. Cn C2 200 n n (1)展开式中二项式系数之和为?

(2)展开式中各项系数之和为f(1)=3200. (3) |a0|+|a1|+|a2|+…+|a200|=f(-1)=5200. (4)
f (1) ? f ( ?1) a1+a3+…+a199=?=?. 2 f (1) ? f ( ?1) a0+a2+…+a200=?=?. 2

(5)

3200 ? 5200 2 200 3 ? 5200 2

【归纳拓展】在二项式定理的应用中,“赋值法”是一种重要方法, 是处理组合数问题、系数问题的最有效的经典方法.赋值法的模式 是:对任意的x∈A,某式子恒成立,那么对A中的特殊值,该式子一定成 立.特殊值x如何选取视具体问题而定,没有一成不变的规律,它的灵 活性较强,一般取x=0,1,-1较多.

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变式训练3 (1)(x+? ?5的展开式中各项系数的和为2,则该展开 )(2x- ) 式中常数项为 .
a 2

a x

1 x

1 2011 (2)若(1-2x)2011=a0+a1x+…+a2011x2011(x∈R),则? ?+…+? 的值为 + 2 2011 2

a 2

a 2

. 【解析】(1)令x=1得(1+a)(2-1)5=1+a=2,所以a=1.
因此(x+?)(2x-?)5展开式中的常数项即为(2x-?)5展开式中?的系数 与x的系数的和.
1 x 1 x 1 x 1 x

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Cr (2x-?5展开式的通项为Tr+1=?5 (2x)5-r· r·-r=?525-rx5-2r· r. ) (-1) x Cr (-1)

1 x

1 x 1 1 C5 令5-2r=-1,得2r=6,即r=3,因此(2x-?5展开式中? ) 的系数为?3 25-3· 3=-4 (-1) x x
C2 令5-2r=1,得2r=4,即r=2,因此(2x-?5展开式中x的系数为?5 25-2(-1)2=80. )

0. ∴(x+? ?5展开式中的常数项为80-40=40. )(2x- )
1 x 1 x

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(2)∵(1-2x)2011=a0+a1x+…+a2011x2011(x∈R),
1 ∴令x=0,则a0=1,令x=?, 2
a1 a a 1? 则 ?1 ? =a0+?+?+…+2?=0, 2011 ? 2? ? 2 22 2 2011 2? ?

?

2011

a1 a2011 其中a0=1,∴?+a2 +…+?=-1. ? 2011 2 2

2

2

【答案】(1)40 (2)-1

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热点四:频率分布直方图或频率分布表问题
(1)在频率分布直方图中,各小长方形的面积表示相应的频率,各小长 方形的面积的和为1. (2)众数、中位数及平均数的异同: 众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量,平均数是 最重要的量. (3)当总体的个体数较少时,可直接分析总体取值的频率分布规律而 得到总体分布;当总体容量很大时,通常从总体中抽取一个样本,分析

它的频率分布,以此估计总体分布.

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1 n ? x= ? ①总体期望的估计,计算样本平均值? ?1xi. n i?

?

②总体方差(标准差)的估计:
? 1 n ? 方差=?1 (xi-? 2,标准差=?方差 ,方差(标准差)较小者较稳定. ? x) n i?

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?

为普及校园安全知识,某校举行了由全部学生参加的校

园安全知识考试,从中抽出60名学生,将其成绩分成六段[40,50),[50,6 0),…,[90,100)后,画出如图所示的频率分布直方图.观察图形的信息,

回答下列问题:估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)为
;平均分为 .

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【分析】用样本中及格的频率估计总体的及格率,以样本的平均数

估计总体的平均数,即以各组的中点值乘以各组的频率之和估计总
体的平均数. 【解析】及格的各组的频率是(0.015+0.03+0.025+0.005)×10=0.75, 即及格率约为75%;样本的均值为45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+

85×0.25+95×0.05=71,以这个分数估计总体的分数即得总体的平均
分数约为71. 【答案】75% 71

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【归纳拓展】用样本估计总体时,如果已知频率分布直方图,那么就
用样本在各个小组的频率估计总体在相应区间内的频率,用样本的 均值估计总体的均值,根据频率分布表估计样本均值的方法是取各 个小组的中点值乘以各个小组的频率之和进行的.

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变式训练4

某工厂对一批产品进行了抽样检测,右图是根据抽样检

测后的产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净 重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98),[98,100),[100,102),[102, 104),[104,106].已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则样本 中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 .

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【解析】产品净重小于100克的频率为(0.050+0.100)×2=0.300,已知

样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为n,则?=0.300,
所以n=120,净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0. 100+0.150+0.125)×2=0.750,所以样本中净重大于或等于98克并且小 于104克的产品的个数是120×0.750=90. 【答案】90

36 n

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热点五:茎叶图及数字特征

?

随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学,测量他们的身

高(单位: cm),获得身高数据的茎叶图如图所示.

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(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差; (3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学, 求身高176 cm的同学被抽中的概率. 【分析】根据茎叶图读出各数据,然后根据公式计算平均值和方差. 【解析】(1)由茎叶图可知:甲班身高集中于160~179之间,而乙班身 高集中于170~180之间,因此乙班平均身高高于甲班.

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? 158 ? 162 ? 163 ? 168 ? 168 ? 170 ? 171 ? 179 ? 179 ? 182 x =?=170. (2)? 10 1 甲班的样本方差s2=?[(158-170)2+(162-170)2+(163-170)2+(168-170)2+(16 10

8-170)2+(170-170)2+(171-170)2+(179-170)2+(179-170)2+(182-170)2]=57.2. (3)设身高为176 cm的同学被抽中的事件为A,从乙班10名同学中抽
C2 C1 中两名身高不低于173 cm的同学有?5个基本事件,而事件A含有?个 4

4 基本事件,∴P(A)=?=2 . ? 10

5

【归纳拓展】(1)本题考查了茎叶图的识图问题和平均数的计算,其 中从茎叶图中读出数据是关键,为此,首先要弄清“茎”和“叶”分

别代表什么. (2)要熟练掌握众数、中位数、平均数、方差、标准差的计算方法.

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变式训练5

甲、乙两位学生参加数学竞赛培训.现分别从他们在培

训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下: 甲:82 81 79 78 95 88 93 84 乙:92 95 80 75 83 80 90 85 (1)画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图,指出学生乙成绩的中位数; (2)现要从中选派出成绩最稳定的一人参加数学竞赛,从平均成绩和 方差的角度考虑,你认为派哪位学生参加合适?请说明理由.

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【解析】(1)茎叶图如下:

学生乙成绩的中位数为?2 =84.

83 ? 85

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(2)派甲参加比较合适,理由如下:
1 x甲 ?(70×2+80×4+90×2+9+8+8+4+2+1+5+3)=85; ?= 8

1 x乙 ?(70×1+80×4+90×3+5+3+5+2+5)=85; ?= 8
1 2 s甲=?[(78-85)2+(79-85)2+(81-85)2+(82-85)2+(84-85)2+(88-85)2+(93-85)2+ ? 8

(95-85)2]=35.5;
s乙 ?=
2

?[(75-85)2+(80-85)2+(80-85)2+(83-85)2+(85-85)2+(90-85)2+(92-85)2+ 8

1

(95-85)2]=41.
x甲 x , s 2 s 2 ∴?=?乙?甲 ?乙 < ,

∴甲的成绩比较稳定,派甲参加比较合适.
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热点六:抽样方法 抽样方法主要有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种,这三种 抽样方法各自适用不同特点的总体,但无论哪种抽样方法,每一个个 体被抽到的概率都是相等的,都等于样本容量和总体容量的比值.

?

(1)(2012年· 山东)采用系统抽样方法从960人中抽取32

人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后在第一组采 用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区 间[1,450]的人做问卷A,编号落入区间[451,750]的人做问卷B,其余的 人做问卷C.则抽到的人中,做问卷B的人数为?( )

(A)7.

(B)9.

(C)10.

(D)15.

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(2)某地有居民100000户,其中普通家庭99000户,高收入家庭1000户. 从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户,从高收入家庭中以简 单随机抽样方式抽取100户进行调查,发现共有120户家庭拥有3套或 3套以上住房,其中普通家庭50户,高收入家庭70户.依据这些数据并 结合所掌握的统计知识,你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭 所占比例的合理估计是 .

【分析】(1)由系统抽样的特点可得抽到的号码构成以9为首项、以 30为公差的等差数列,求得此等差数列的通项公式为an=9+30(n-1)=3 0n-21,由451≤30n-21≤750 求得正整数n的个数,即为所求;

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(2)为分层抽样问题,首先根据拥有3套或3套以上住房的家庭所占的 比例,得出100000户居民中拥有3套或3套以上住房的户数,它除以10 0000得到的值为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合 理估计.

【解析】(1)由题意可知抽到的编号为9,39,69,…,构成了首项为9,公 差为30的等差数列,其通项公式为an=9+(n-1)×30=30n-21;故做问卷B 的编号满足451≤30n-21≤750,可知16≤n≤25,故人数为10.

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(2) 该地拥有3套或3套以上住房的家庭估计有:99000×?+1000×? =5700户,所以所占比例的合理估计是5700÷100000=5.7%.

50 990

70 100

【答案】(1)C (2) 5.7%

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【归纳拓展】(1)解决此类题目要深刻理解各种抽样方法的特点和 适用范围. (2)各种抽样都是等概率抽样,往往是解题的突破口.

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变式训练6 (1)(2012温州模拟)某工厂生产A、B、C三种不同型号 的产品,产品数量之比为3∶4∶7.现在用分层抽样的方法抽出容量 为n的样本,样本中A型号产品有15件,那么样本容量n为?( )

(A)50. (C)70. (D)80.

(B)60.

(2)(2012济南模拟)为规范学校办学,省教育厅督察组对某所高中进 行了抽样调查.抽到的班级一共有52名学生,现将该班学生随机编号, 用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知7号、33号、46号 同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应是? ( )

(A)13.
(C)20.

(B)19.
(D)51.
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【解析】(1)由分层抽样的方法得?×n=15,解得n=70.
3 3? 4? 7

52 (2)由系统抽样的原理知抽样的间隔为?=13,故抽取的样本的编号 4

分别为7、7+13、7+13×2、7+13×3,从而可知选C.

【答案】(1)C (2)C

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热点七:相互独立事件和独立重复试验
在概率中,事件之间有两种最基本的关系,一种是事件之间的互斥(含 两个事件之间的对立),一种是事件之间的相互独立.互斥事件至少有 一个发生的概率等于各个事件发生的概率之和,相互独立事件同时 发生的概率等于各个事件各自发生的概率之积,在概率计算中正确 地把随机事件进行分拆是正确解决问题的根本所在. 把随机事件分拆成若干个互斥事件的和、把随机事件分拆成若干 个相互独立事件的乘积是比较单纯的,在概率计算中一个极为重要 的技巧就是把一个随机事件首先分拆成若干个互斥事件的和,再把 其中的每个小事件分拆成若干个相互独立事件的乘积,在这个过程

中还可以根据对立事件的关系进行转化,这是概率计算的关键技巧.

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?

2和3. 甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是? ? 3

4

假设两人射击是否击中目标,相互之间没有影响;每人各次射击是否 击中目标,相互之间也没有影响. (1)求甲射击4次,至少有1次未击中目标的概率; (2)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的 概率; (3)假设某人连续2次未击中目标,则终止其射击,求乙恰好射击5次后

被终止射击的概率是多少.

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【分析】 第(1)问先求其对立事件的概率; 第(2)问利用相互独立事件和独立重复试验的概率公式; 第(3)问中,乙恰好射击5次被终止,可分为前3次击中后两次未击中和 前2次有一次未击中,第3次击中,后两次未击中两种情况. 【解析】(1)甲至少一次未击中目标的概率是P1=P4(1)+P4(2)+P4(3)+ P4(4) =1-P4(0)=1-(? =?. )4 81
2 3
65

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(2)甲射击4次恰好击中2次的概率为
C4 P2=?2(?)2(?)2=?,

2 3

1 3

8 27

乙射击4次恰好击中3次的概率为
C4 P3=?3(?)3×?=?.

3 4

1 4

27 64

由乘法公式,所求概率P=P2P3=?×?=?.
8 27 27 64

1 8

(3)乙恰好5次停止射击,则最后两次未击中,前三次或都击中或第一
? 与第二次恰有一次击中,第三次必击中,故所求概率为P= ? 3 ? ? 1+? C12 ? ?? ? ?4? ?4?

??

3

2

??

? 3 ? ? 1 =?45 ? . ? ? ? ? ? 4 ? ? 4 ? 1024
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2

3

【归纳拓展】(1)注意区分互斥事件和相互独立事件.互斥事件是在
同一试验中不可能同时发生的情况;相互独立事件是指几个事件的 发生与否互不影响,当然可以同时发生.在解含有相互独立事件的概

率题时,首先把所求的随机事件分拆成若干个互斥事件的和,其次将
分拆后的每个事件分拆为若干个相互独立事件的乘积,这两个事情 做好了,问题的思路就清晰了,接下来就是按照相关的概率值进行计

算的问题了.如果某些相互独立事件符合独立重复试验,就把这部分
归结为用独立重复试验,用独立重复试验的概率计算公式解答.

(2)一个事件若正面情况比较多,反面情况较少,则一般利用对立事件 进行求解.对于“至少”,“至多”等问题往往用这种方法求解.

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变式训练7 某厂生产的A产品按每盒10件进行包装,每盒产品均需 检验合格后方可出厂.质检办法规定:从每盒10件A产品中任抽4件进 行检验,若次品数不超过1件,就认为该盒产品合格;否则,就认为该盒 产品不合格.已知某盒A产品中有2件次品.求:

(1)该盒产品被检验合格的概率; (2)若对该盒产品分别进行两次检验,则两次检验得出的结果不一致 的概率.
4 C10 【解析】(1)从该盒10件产品中任抽4件,有等可能的结果数为? 种,
3 4 C8 C8 C1 其中次品数不超过1件的有? +?? 种,被检验认为是合格的概率为 2

?

4 3 C8 ? C8C1 13 2 =? . 4 C10 15

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(2)两次检验是相互独立的,可视为独立重复试验.因两次检验得出该 盒产品合格的概率均为?,故“两次检验得出的结果不一致”即两
? C1? ?1 =? 次检验中恰有一次是合格的概率为?·13?? 13 ? . ? 2
15 ?
52 15 ? 225

13 15

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热点八:随机变量的概率分布、均值和方差 1.处理有关离散型随机变量的应用问题,关键在于根据实际问题确 定恰当的随机变量,并明确随机变量所有可能的取值. 2.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各

个值的概率之和.
3.注意应用“概率之和为1”这一性质检验解答是否正确.

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?

甲、乙两名教师进行乒乓球比赛,采用七局四胜制(先
1 3

2 胜四局者获胜).若每一局比赛甲获胜的概率为? ,乙获胜的概率为? , 3

现已赛完两局,乙暂时以2∶0领先. (1)求甲获得这次比赛胜利的概率; (2)设比赛结束时比赛的局数为随机变量X,求随机变量X的概率分布 和数学期望E(X). 【分析】 (1)甲获得这次比赛胜利情况有二:一是比赛六局结束,甲 连续赢了四局;一是比赛了七局,甲在后五局中赢了四局,且最后一局 是甲赢,分别计算出这两个事件的概率,求其和.
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(2)设比赛结束时比赛的局数为X,则X的可能取值为4,5,6,7,当X=4时,
乙获得比赛胜利;当X=5时,乙也获得比赛胜利,甲只在第3,4局胜一 局;当X=6时,甲和乙都有可能胜利,包括甲第3、4、5、6局都胜,或是

乙在第3、4、5局胜一局,第6局一定胜;当X=7时,甲、乙都可能胜利,
乙在第3、4、5、6局胜一局,第7局有输赢两种可能.

【解析】(1)设甲获胜为事件A,则甲获胜包括甲以4∶2获胜和甲以4 ∶3获胜两种情况.
2 设甲以4∶2获胜为事件A1,则P(A1)= ? 3 ? ? ? ? ?

16 ? =?. 81

4

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1 2 64 2 设甲以4∶3获胜为事件A2,则P(A2)= C ×? ? ? ×? ? , × ? ? = 243 3 ?3? 3
1 ?4

?

3

P(A)=P(A1)+P(A2)=? ? =? . + 81 243 243
(2)随机变量X可能的取值为4,5,6,7,
1 1 P(X=4)= ? ?=?. ? ? ?3? 9
2

16

64

112

?

C P(X=5)=?12×?×?×?=?.
1 3

2 3

1 3
2

4 27

1 ?2 P(X=6)= C×?× ? ? ? 3 ?3?
1 ?3

?
3

1 ?2 ×? + ? ? ? 3 ?3?

4 ?=27 +16 =?. ? 81 28 ? 81

4

1 ?2 P(X=7)= C×?× ? 3 ?3? ? ?
1 ?4

32 ?=?. 81

X的概率分布为:

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X P

4
? 1 9

5
? 4 27

6
? 28 81

7
? 32 81

E(X)=4×?+5×?+6×?+7×?=?. 【归纳拓展】(1)求离散型随机变量的概率分布的关键是正确理解 随机变量取每一个值所表示的具体事件,然后综合应用各类求概率

1 9

4 27

28 81

32 81

488 81

的公式,求出概率. (2)求随机变量的期望和方差的关键是正确求出随机变量的概率分
布,若随机变量服从二项分布,则可直接使用公式求解.

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变式训练8

某校组织的一次篮球定点投篮比赛中,两人一对一比赛

规则如下:若某人某次投篮命中,则由他继续投篮,否则由对方接替投
篮.现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛,甲和乙每次投篮命中的概
1 1 率分别是? .两人共投篮3次,且第一次由甲开始投篮,假设每人每次 ,? 3 2

投篮命中与否均互不影响.
(1)求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率; (2)若投篮命中一次得1分,否则得0分,用X表示甲的总得分,求X的概 率分布和数学期望.

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【解析】(1)记“3次投篮的人依次是甲、甲、乙”为事件A, 由题意,得P(A)=??? × = .
1 3

2 3

2 9

∴3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是? .

2 9

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(2)由题意X的可能取值为0,1,2,3, 则P(X=0)=?×?+?×?×?=?,
2 3

1 2

2 3

1 2

2 3
1 3

5 9

P(X=1)=?×?×?+?×?=?,
2 3
1 2
1 3 1 3

2 3

P(X=2)=?×?×?=?,
1 3
1 3

1 3
1 3

2 3

2 27

P(X=3)=?×?×?=?.
1 3
1 27

所以X的概率分布为

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X P

0
? 5 9

1
? 1 3

2
? 2 27

3
? 1 27

E(X)=0×?+1×?+2×?+3×?=?.

5 9

1 3

2 27

1 27

16 27

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热点九:统计案例 本部分主要包括回归方程的求法和独立性检验,同学们在平时学习 中对这部分往往不够重视,事实上,特别是近几年这两个考点在各地

高考中常以大题的形式出现,因此同学们应根据新课标的要求对它
们很好地掌握.对于回归直线,要会根据最小二乘法求其方程,这里关 键是考查同学们的数据处理能力和计算能力.独立性检验问题,要理

解其基本思想,根据给定的数据能够得到其2×2列联表,然后利用K2
进行独立性检验.

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?

为考察某种药物预防疾病的效果,进行动物试验,得到

如下丢失数据的列联表: 药物效果试验列联表
患病 没服用药 服用药 总计 20 x M 未患病 30 y N 总计 50 50 100

设从没服用药的动物中任取两只,未患病数为X;从服用药物的 动物中任取两只,未患病数为Y,工作人员曾计算过P(X=0)=? P(Y=0).
38 9

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(1)求出列联表中数据x,y,M,N的值; (2)求X与Y的均值(期望)并比较大小,请解释所得结论的实际含义; (3)能够以99%的把握认为药物有效吗? 公式参考数据:K
2

n(ad ? bc) 2 = (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

?

①当K2>3.841时有95%的把握认为X、Y有关联; ②当K2>6.635时有99%的把握认为X、Y有关联.

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【分析】 (1)从已知P(X=0)=?P(Y=0)出发,结合2×2列联表可求.(2)

38 9

求出X、Y的分布列,再求得E(X)和E(Y)即可.(3)利用公式算出K2,结
合参考数据可以判断.
C2 C2 20 【解析】(1)∵P(X=0)= 2 ,P(Y=0)= 2x , C50 C50

?

?

C2 38 C2 ∴ 20 =?× 2x , 2 C50 9 C50

?

?

∴x=10,

∴y=40,∴M=30,N=70.

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(2)X取值为0,1,2,
38 C2 P(X=0)= 20 =?, 2 C50 245

?

C1 C1 120 P(X=1)= 20 2=30 , ? 245 C50

?

2 C30 87 P(X=2)= 2 =?, C50 245

?

X P

0
? 38 245

1
? 120 245

2
? 87 245

∴E(X)=?.

294 245

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2 9 C10 P(Y=0)= 2 =?, C50 245

?
?

C1 C1 P(Y=1)= 10 2=40 , ? 80 245 C50

C2 156 P(Y=2)= 40 =?, 2 C50 245

?

Y P

0
? 9 245

1
? 80 245

2
? 156 245

∴E(Y)=? .
∵E(X)<E(Y),即说明药物有效.

392 245

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(3)∵K

2

100 ? (800 ? 300) 2 =?≈4.76. 30 ? 70 ? 50 ? 50

由参考数据知不能够有99%的把握认为药物有效. 【归纳拓展】独立性检验问题在实际中作用较大.此类问题应熟悉2

×2列联表的意义;K2的大小对认定变量X与Y是否有关联的把握性(概
率)是有关系的.

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变式训练9 某地区甲校高三年级有1100人,乙校高三年级有900人,

为了统计两个学校高三年级在某次毕业考试中的数学学科成绩,采
用分层抽样的方法在两校共抽取了200名学生的数学成绩,如下表 (已知本次测试的总分为100分): 甲校高三年级数学成绩:
分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]

频数

10

25

35

30

x

乙校高三年级数学成绩:
分组 频数 [50,60) 15 [60,70) 30 [70,80) 25 [80,90) y [90,100] 5

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(1)计算x,y的值,并分别估计以上两所学校数学成绩的平均分(每组 数据用区间中点代替).(精确到1分) (2)若数学成绩不低于80分为优秀,低于80分为非优秀,根据以上统计 数据写出下面2×2列联表,并回答能否在犯错误的概率不超过0.01的 前提下认为“两个学校的数学成绩有差异”?
甲校 优秀 非优秀 总计 乙校 总计

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公式参考数据:K

2

n(ad ? bc) 2 = (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

?

①当K2>3.841时有95%的把握认为X、Y有关联; ②当K2>6.635时有99%的把握认为X、Y有关联.

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【解析】(1)依题意用分层抽样法计算得甲校应抽取110人,乙校应 抽取90人,故x=10,y=15, 估计甲校平均分为
55 ? ? 10 ? 65 ? 25 ? 75 ? 35 ? 85 ? 30 ? 95 ?10 ≈75, 110

乙校平均分为
55 ? ? 15 ? 65 ? 30 ? 75 ? 25 ? 85 ?15 ? 95 ? 5 ≈71, 90

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(2)列联表如下:
甲校
优秀 非优秀 总计 40 70 110

乙校
20 70 90

总计
60 140 200

K

2

200 ? (40 ? 70 ? 20 ? 70) 2 =?≈4.714. 110 ? 90 ? 60 ? 140

又因为4.714<6.635,故不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认 为 “两个学校的数学成绩有差异”.

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?
限时训练卷(一) 一、选择题 1.5名应届毕业生报考三所高校,每人报且仅报一所院校,则不同的报 名方法的种数是? ( (A)35. (B)53. )
A5 (C)?3.
C3 (D)? . 5

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【解析】第n名应届毕业生报考的方法有3种(n=1,2,3,4,5),根据分步 计数原理不同的报名方法共有3×3×3×3×3=35(种). 【答案】A

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2.(2012山东实验中学一模)二项式(x2+?)10的展开式中的常数项是
?(

2 x

) (B)第9项. (D)第7项.
r
r ? 10

(A)第10项. (C)第8项.

x 【解析】展开式的通项公式Tr+1=2 C ? ,令20-? r=0,得r=8,展开式中

5 20? r 2

5 2

常数项是第9项,故选B. 【答案】B

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3.(2012浙江镇海中学)若(1-3x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则|a0|+|a1|+
|a2|+|a3|+|a4|+|a5|等于? ( (A)1024. (B)243. ) (C)32. (D)24.

【解析】分析式子易得|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5. 故令x=-1即可得答案. 【答案】A

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4.(2012台州一模)用0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数中,相邻 两位数字的奇偶性都不同的有? ( (A)24个. (B)36个. (C)60个. ) (D)72个.

A3 ?3 A 【解析】个位数为偶数,则有?3 · 3=36个;
C A A3 ? ?2 个位数为奇数,则有?3 · 12· 2=24个.共有60个.

【答案】C

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5.(2012惠州二模)若(ax-1)5的展开式中x3的系数是80,则实数a的值为
?(

) (B)2?2 .
3 (C)?4 .

(A)-2.

(D)2.

2 C5 【解析】(ax-1)5的展开式中含x3的项为? (ax)3· 2=10a3x3,由题意得1 (-1)

0a3=80, 所以a=2.选D. 【答案】D

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6.(2012嘉兴二模)有6个人站成前后两排,每排3人,若甲、乙两人左 右、前后均不相邻,则不同的站法种数为? ( )

(A)240.

(B)384.

(C)480.

(D)768.

【解析】以甲为特殊元素分类考虑:
A4 甲在1位置时,乙可在3、5、6位置,则有3?4 =72种;
A4 甲在2位置时,乙可在4、6位置,则有2?4 =48种;

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A4 甲在3位置时,乙可在1、4、5位置,则有3?4 =72种;

A4 A4 A4 甲在4、5、6位置时,与以上三种相似,则有3?4 +2?4 +3?4 =192种.
A4 A4 A4 故共有2×(3?4 +2?4 +3?4 )=384种.

【答案】B

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7.(2012威海二模)设(x-?)6的展开式中x3的系数为A,二项式系数为B, 则A∶B等于? ( (A)4. (B) -4.
k ?6

2 x

) (C)26.
6-k

(D)-26.

【解析】Tk+1= C x

2 k k 6? 32k 3k C x C2 (-?) =?6 ? (-2)k,令6-?=3,即k=2,所以T3=?6 x3(-2)2 2 x

2 C6 =60x3,所以x3的系数为A=60,二项式系数为B=? =15,所以A∶B=60∶1

5=4,选A. 【答案】A

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8.(2x-?5的展开式中不含x-3的项的系数和为? ( )
(A)1. (B)10. (C)9.
1 1

1 x

)

(D)-9.

【解析】令x=1,则(2-?=1,∴各项系数和为1. )5
Cr C 展开式通项为Tr+1=?5 (2x)5-r(-?r=(-1)r·5-r· 5x5-2r,当r=4时,T5=10·-3.∴不 ) 2 ?r x

1 x

含x-3的项的系数和为1-10=-9. 【答案】D

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9.现有高三(1)班参加校文艺演出的3男3女共6位同学,从左至右站成 一排合影留念,要求3位女生有且只有两个相邻,则不同的排法有?

(

) (B)360种.
(D)480种.

(A)280种.
(C)432种.

【解析】先将3位女生分成2组,再将3个男生排成一排,用插空法将2
2 C3 A 2 A 3 A 4 组女生排入男生当中去,共有??2 ?3?2 =432种排法.

【答案】C

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二、填空题
? x 2 ? ? 10.在 ? ? 2 x? ?

?

6

的二项展开式中,x2的系数为

.
6? r

? x? Cr 【解析】该二项展开式的通项为Tr+1=?6 ? ? ? 2 ? 3 1 -r .令3-r=2,得r=1,∴x2的系数为-6×?=-? . 24 8

?

? 2 ? ·? ? ? x? ?

?

r

Cr ? x =(-1)r?6 · 6?2 r ·3

1

2

【答案】-?

3 8

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11.为了应对金融危机,某公司决定从10名办公室工作人员中裁去4 人,要求甲、乙两人不能全部裁去,则不同的裁员方案的种数为 .
3 4 C1 C8 C8 【解析】甲、乙中裁一人的方案有?? 种,甲、乙都不裁的方案有? 2 3 4 C1 C8 C8 种,故不同的裁员方案共有?? +? =182种. 2

【答案】182

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12.(2012北京西城区一模)有限集合P中元素的个数记作card(P).已知 card(M)=10,A?M,B?M,A∩B=?,且card(A)=2,card(B)=3.若集合X满

足A?X?M,则集合X的个数是
?Y,B?Y,则集合Y的个数是

;若集合Y满足Y?M,且A
.(用数字作答)

【解析】显然card(M)=10表示集合M中有10个元素,card(A)=2表示 集合A中有2个元素,而A?X?M,故集合X中可以只含A中的2个元素, 也可以除了A中的2个元素外,在剩下的8个元素中任取1个,2个,3个,
1 7 0 C8 C8 …,8个,共有? +? +…+? +? =256种情况,即符合要求所求的集合X有 C8 C8 8

256个.满足条件Y?M的集合Y的个数为210,其中不满足条件A?Y的 集合Y的个数为28,不满足条件B?Y的集合Y的个数为27,同时满足A

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?Y,B?Y的集合Y的个数为25,故满足条件的集合Y的个数是210-28-27
+25=672. 【答案】256 672

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三、解答题
C0 13.(2012南京、盐城三模)已知数列{an}的首项为1,p(x)=a1? (1-x)n+a2 n

Cn ? x(1-x)

1

n-1

Cn C2 Cn +a3? x2(1-x)n-2+…+an??1 xn-1(1-x)+an+1? xn. n n n

?a (1)若数列?n ?是公比为2的等比数列,求p(-1)的值;
?a (2)若数列?n ?是公差为2的等差数列,求证:p(x)是关于x的一次多项

式.

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【解析】(1)方法一:由题设知,an=2n-1.
C C p(-1)=1· 0(-1)0·n+2· 1n(-1)1·n-1+22·C(-1)2·n-2+…+2n· Cn n·0 ?n 2 ? 2 ?2 2 ? (-1) 2 n n

C0 Cn =? (-2)0·n+?n(-2)1·n-1+?2(-2)2·n-2+…+?n(-2)n·0 2 C1 2 Cn 2 2 n

=(-2+2)n =0.

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C0 方法二:若数列{an}是公比为2的等比数列,则an=2n-1,故p(x)=? (1-x)n+ n

Cn ? (2x)(1-x)

1

n-1

Cn C2 Cn +? (2x)2· n-2+…+?n?1(2x)n-1(1-x)+?n(2x)n (1-x) n

=[(1-x)+2x]n=(1+x)n. 所以p(-1)=0.

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(2)若数列{an}是公差为2的等差数列,则an=2n-1.
Cn 1 C0 C Cn p(x)=a1?(1-x)n+a2?1nx(1-x)n-1+…+an?x?n-1(1-x)+an+1?xnn n n

C0 C Cn =?(1-x)n+(1+2)?1nx(1-x)n-1+…+(1+2n)?xn n n

C0 C C2 Cn C1 =[?n(1-x)n+?1nx(1-x)n-1+?x2(1-x)n-2+…+?xn]+2[?x(1-x)n-1+2?C22(1-x)n-2+… xn n n n
Cn +n?xn]. n

Cn C C2 (1-x) Cn 由二项式定理知,?0(1-x)n+?1nx(1-x)n-1+?x2· n-2+…+?xnn=[(1-x)+x]n= n

1.
C =k· 因为k?kn ?=n· =n?, ?

n! k !( n ? k )!

( n ? 1)! ( k ? 1)!( n ? k )!

?1 Ck ?1 n

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C1 Cn Cn 所以?nx(1-x)n-1+2?2x2(1-x)n-2+…+n?xn n
n-1 ?1 Cn?1 =nx[?0(1-x)n-1+?C1n?1 n-2+…+?xCn]=nx[(1-x)+x]n-1=nx, x(1-x) n ?1

所以p(x)=1+2nx. 即p(x)是关于x的一次多项式.

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限时训练卷(二) 一、选择题 1.为了了解某地区10000名高三男生的身体发育情况,抽查了该地区 100名年龄为17~18岁的高三男生体重(kg),得到频率分布直方图如 图.根据图示,请你估计该地区高三男生中体重在[56.5,64.5]的学生 人数是? ( )

(A)40.

(B)400.
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(C)4000.
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(D)4400.
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【解析】依题意得,该地区高三男生中体重在[56.5,64.5]的学生人数 是10000×(0.03+2×0.05+0.07)×2=4000. 【答案】C

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2.从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度,其茎叶图如图.根 据茎叶图,下列描述正确的是? ( )

(A)甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度,且甲种树苗比乙 种树苗长得整齐. (B)甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度,但乙种树苗比甲 种树苗长得整齐.

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(C)乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,且乙种树苗比甲 种树苗长得整齐. (D)乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,但甲种树苗比乙 种树苗长得整齐.

【解析】根据茎叶图计算得甲种树苗的平均高度为27,而乙种树苗
的平均高度为30,但乙种树苗的高度分布不如甲种树苗的高度分布 集中. 【答案】D

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3.某学校为调查高三年级的240名学生完成课后作业所需时间,采取 了两种抽样调查的方式:第一种由学生会的同学随机抽取24名同学

进行调查;第二种由教务处对高三年级的学生进行编号,从001到240,
抽取学号最后一位为3的同学进行调查,则这两种抽样方法依次为? ( )

(A)分层抽样,简单随机抽样. (B)简单随机抽样,分层抽样. (C)分层抽样,系统抽样. (D)简单随机抽样,系统抽样.

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【解析】结合简单随机抽样、系统抽样与分层抽样的定义可知D项 正确. 【答案】D

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4.甲、乙两名射击运动员在某次测试中各射击20次,两人的测试成 绩画成频率分布条形图如下:

x1 、 x 2 若? ?分别表示甲、乙两名运动员这次测试成绩的平均环数,s1、s
2

?

?

分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差,则有? (
?
?

)

x1 = x 2 (A)? ? ,s1>s2.

x1 > x 2 (B)? ? ,s1<s2.

?

?

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x1 > x 2 (C)? ? ,s1=s2. x1 【解析】?=?
2 1 ?

?

?

x1 < x 2 (D)? ?,s1<s2.

?

?

?

4 ? 7 ? 3 ? 8 ? 6 ? 9 ? 7 ? 10 =8.8, 20

4 ? (7 ? 8.8) 2 ? 3 ? (8 ? 8.8) 2 ? 6 ? (9 ? 8.8) 2 ? 7 ? (10 ? 8.8) 2 s =? =1.26; 20
?

(7 ? 9) ? 4 ? 5 ? 8 ? 7 ? 10 x 2 =? ? =8.7, 20
2 2 ?

4 ? [(7 ? 8.7) 2 ? (9 ? 8.7) 2 ] ? 5 ? (8 ? 8.7) 2 ? 7 ? (10 ? 8.7) 2 s =? =1.31,选B. 20

【答案】B

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5.下列四组样本数据的方差最小的一组是? ( (A)5,5,5,5,5,5,5,5,5. (B)4,4,4,5,5,5,6,6,6. (C)3,4,4,4,5,6,7,7,7. (D)2,2,2,2,5,8,8,8,8.

)

【解析】画出样本数据的条形图或结合方差公式可知,选A. 【答案】A

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6.某学校共有20个班级,每班各有40位学生,其中男生25人,女生15人. 若从全校800人中以简单随机抽样的方式抽出80人,则下列选项正确 的是? ( )

(A)每班至少会有一人被抽中. (B)抽出来的男生人数一定比女生人数多. (C)若学生甲和学生乙在同一班,学生丙在另外一班,则甲、乙两人同

时被抽中的概率跟甲、丙两人同时被抽中的概率一样.
(D)若学生A和学生B是兄弟,则他们同时被抽中的概率小于? . 100
1

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【解析】在抽样的过程中,每个个体被抽到的概率都是一样的,均是
1 80 1 ? =? ,且任何两个个体同时被抽中的概率是? . 100 800 10

【答案】C

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7.(2012惠州二模)已知回归直线的斜率的估计值是1.23,样本点的中 心为(4,5),则回归直线的方程是? (
y =1.23x+4. (A)?


)

y =1.23x-0.08. (B) ?



y =1.23x+0.8. (C) ?
?



y =1.23x+0.08. (D) ?
? ^ ?



y =1.23x+a,则a=? y -1.2 x =4, y =5,设回归直线方程为? 【解析】由条件知,? ?
x =0.08.选D. 3?
?

【答案】D

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8.(2012武威模拟)在100个零件中,有一级品20个、二级品30个、三 级品50个,从中抽取20个作为样本: ①采用随机抽样法,将零件编号为00,01,02,…,99,抽出20个; ②采用系统抽样法,将所有零件分成20组,每组5个,然后每组中随机 抽取1个; ③采用分层抽样法,随机从一级品中抽取4个,二级品中抽取6个,三级 品中抽取10个.则? ( )

(A)不论采取哪种抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率都是
1 ? . 5
名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考

(B)①②两种抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率都是? ,③ 并非如此. (C)①③两种抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率都是? ,② 5 并非如此.
1

1 5

(D)采用不同的抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率各不相
同. 【解析】抽样方法的性质知,抽样过程中每个个体被抽到的概率都 相等,这个比例只与样本容量和总体有关. 【答案】A
名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考

9.已知一个样本为x、1、y、5,其中点(x,y)是直线x+y=2和圆x2+y2=10 的交点,则这个样本的标准差是? ( (A)2. (B)?2 . (C)5.
5 (D)? .

)

【解析】样本平均数为?
1 ?[( x ? 2) 4
2

x ?1? y ? 5 =2,标准差为 4

? (1 ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? (5 ? 2) 2 ] =?5 ,选D.

【答案】D

名师诊断

专案突破

对点集训

决胜高考

二、填空题

10.(2012北京海淀期末)甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气 温(单位:℃)用茎叶图记录如下,根据茎叶图可知,两城市中平均温度 较高的城市是 ,气温波动较大的城市是 .

名师诊断

专案突破

对点集训

决胜高考

【解析】根据茎叶图可知,甲城市的平均温度为?
6

9 ? 13 ? 17 ? 17 ? 18 ? 22 = 6

96 114 12 ?,乙城市的平均温度为?? 14 ? 17 ? 20 ? 24 ? 27 =? ,故乙城市的平均温

6

6

度高.由茎叶图观察可知,甲城市的温度更加集中在峰值附近,故甲城 市比乙城市温度波动较小,乙城市温度波动较大. 【答案】乙 乙

名师诊断

专案突破

对点集训

决胜高考

11.(2012临沂二模)为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体 重情况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图).已知图 中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3,第2小组的频数为1 2,则抽取的学生人数是 .

名师诊断

专案突破

对点集训

决胜高考

【解析】后两个小组的频率为(0.0375+0.0125)×5=0.05×5=0.25,所以 前3个小组的频率为0.75.又前3个小组的频率比为1∶2∶3,所以第二 小组的频率为? 【答案】48
2 12 ×0.75=0.25,所以抽取的总人数为? =48. 1? 2 ? 3 0.25

名师诊断

专案突破

对点集训

决胜高考

12.随机抽取某校甲、乙两个班各10名同学,测量他们的身高(单位: cm)后获得身高数据的茎叶图如图所示,在这20人中,记身高在[150,1

60),[160,170),[170,180),[180,190]的人数依次为A1,A2,A3,A4,则框图中
输出的数据为 .

名师诊断

专案突破

对点集训

决胜高考

【解析】由框图知输出S表示这20人中身高在160 cm以上的人数,通 过茎叶图可得S=(4+4+1)+(3+5+1)=18. 【答案】18

名师诊断

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决胜高考

三、解答题

13.某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,
随机抽取了100名电视观众,相关的数据如下表所示:
文艺节目 20至40岁 大于40岁 40 15 新闻节目 18 27 总计 58 42

总计

55

45

100

名师诊断

专案突破

对点集训

决胜高考

(1)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名,大于40 岁的观众应该抽取几名? (2)在上述抽取的5名观众中任取2名,求恰有1名观众的年龄为20至4 0岁的概率.

【解析】(1)从题中所给条件可以看出收看新闻节目的共45人,随机
抽取5人,则抽样比为?=? ,故大于40岁的观众应抽取27×? =3(人).
5 45

1 9

1 9

名师诊断

专案突破

对点集训

决胜高考

(2)抽取的5名观众中大于40岁的有3人,在20至40岁的有2人,记大于4 0岁的人为a1,a2,a3,20至40岁的人为b1,b2,则从5人中抽取2人的基本事 件有(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),(b1,b2),(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),
6 共10个,其中恰有1人为20至40岁的有6个,故所求概率为?=3 . ? 10
5

名师诊断

专案突破

对点集训

决胜高考

限时训练卷(三) 一、选择题 1.从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于160 cm的概 率为0.2,该同学的身高在[160,175]的概率为0.5,那么该同学的身高 超过175 cm的概率为( (A)0.2. (B)0.3. ) (C)0.7. (D)0.8.

【解析】因为必然事件发生的概率是1,所以该同学的身高超过175 cm的概率为1-0.2-0.5=0.3. 【答案】B

名师诊断

专案突破

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决胜高考

2.据传俄罗斯布拉瓦导弹发射的事故率为0.01,若发射10次,其出事 故的次数为X,则下列结论正确的是? ( )

(A)EX=0.1.
(B)DX=0.1. (C)P(X=k)=0.01k· 10-k. 0.99
C10 (D)P(X=k)=?k 0.99k×0.0110-k.

【解析】∵X~B(10,0.01),

∴EX=10×0.01=0.1.∴选A.
【答案】A

名师诊断

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对点集训

决胜高考

3.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:
广告费用x(万 4 2 3 5

元)
销售额y(万元) 49 26


39

54

y =bx+a中的b为9.4,据此模型预报广告 根据上表可得回归方程?

费用为6万元时销售额为? ( (A)63.6万元. (C)67.7万元.

) (B)65.5万元.

(D)72.0万元.

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对点集训

决胜高考

4? 2?3?5 7 49 ? 26 ? 39 ? 54 =?y =? ,? =42,因回 4 2 4 7 7 归方程过样本中心点(? ,42),故42=9.4×? +a,∴a=9.1,故回归直线方程 2 2
x 【解析】由给定的数据可知?=?

为? y =9.4x+9.1,当x=6时,? y =9.4×6+9.1=65.5. 【答案】B





名师诊断

专案突破

对点集训

决胜高考

4.一个质地均匀的骰子,现将这个骰子向桌面上先后投掷两次,记和 桌面接触的面上的数字分别为a、b,则曲线? ? + =1所围成区域的面 积大于50的概率是? ( (A)?. 36
7

x a

y b

)
1 9

(B)?. 36

5

(C)? .

(D)? .
x

1 12

【解析】基本事件的总数是36,曲线? ? + =1所围成区域的面积是2 a ab,即求ab>25的概率,基本事件只能是(5,6),(6,5),(6,6),故所求的概率 是?=? ,选D. 【答案】D
3 1 36 12

y b

名师诊断

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对点集训

决胜高考

5.如图,Rt△ABC中有一内接矩形MNPQ,两直角边分别为AB=3,AC= 4.向三角形内随机撒一些豆子,若豆子落在矩形内的概率最大,则MQ 的长为? ( (A)? .
3 2

) (C)? .
12 5

(B)2.

(D)? .

5 2

【解析】设MQ=x,MN=h,由三角形相似可知h=??x,矩形MNPQ的 5 25
5 5 面积S=-?(x-?2+3,当x=? ) 时,S有最大值. 2 2
12 25

12 12

【答案】D

名师诊断

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对点集训

决胜高考

6.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1内任取一点P,则点P到点A的

距离小于等于a的概率为? (
(A)?.
2 2

)
(D)? π.
1 6

(B)?π.

2 2

(C)? .

1 6

1 4 3 ? ?a ? 8 3 【解析】P= a 3 =? . 6

?

【答案】D

名师诊断

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对点集训

决胜高考

2 σ12 σ2 7.设两个正态分布N(μ1,?)(σ1>0)和N(μ2,?)(σ2>0)的密度函数图像如

图所示,则有? (

)

(A)μ1<μ2,σ1<σ2. (C)μ1>μ2,σ1<σ2.

(B)μ1<μ2,σ1>σ2. (D)μ1>μ2,σ1>σ2.

名师诊断

专案突破

对点集训

决胜高考

【解析】根据正态分布N(μ,σ2)函数的性质:正态分布曲线是一条关 于x=μ对称,在x=μ处取得最大值的连续钟形曲线.σ越大,曲线的最高 点越低且弯曲较平缓;反过来,σ越小,曲线的最高点越高且弯曲较陡 峭,选A. 【答案】A

名师诊断

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对点集训

决胜高考

8.安排包括甲在内的4人到A、B、C三个单位去实习,每个单位至少 1人,则甲在A单位且C单位只安排1人的概率是? ( (A)? .
1 3

)

(B)? .

1 4

(C)? .

1 5

(D)? .

2 5

C1 C2 C1 【解析】安排4人到3个单位实习,每个单位至少1人,共有??? =36 3 4 2 C1 C1 C3 种方法,其中甲在A单位且C单位只安排1人有??2+?2 =9种方法,其概 3

1 率P=?=? . 4

9 36

【答案】B

名师诊断

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对点集训

决胜高考

9.已知过三棱柱任意两个顶点的直线共15条,则任选两条为异面直 线的概率是? ( (A)? .
12 35

) (C)? .
18 35

(B)? .

3 7

(D)?. 35

24

2 C15 【解析】全部情况有? =105种,记“15条直线中任选两条为异面直

线”为事件A,而要使两直线异面,只需四点不共面,且不共面的四点
C4 可连成3组异面直线,则事件A的可能情况有3(?6 -3)=36种,故P(A)=?
36 105

12 =? ,选A. 35

【答案】A

名师诊断

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决胜高考

二、填空题

10.(2012南京二模)某单位从4名应聘者A、B、C、D中招聘2人,如果 这4名应聘者被录用的机会均等,则A,B两人中至少有1人被录用的概 率是 .

【解析】从题目来看,所有的可能性共有6种,但A,B都没被录取的情 况只有一种,即满足条件的有5种,所以结果为? . 【答案】?
5 6 5 6

名师诊断

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对点集训

决胜高考

11.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),且函数f(x)=x2+4x+X没有零点 的概率为? ,则μ的值为
1 2

.

【解析】函数f(x)=x2+4x+X没有零点,即二次方程x2+4x+X=0无实根

得X>4,∴P? ? 4 ?=? ,由正态曲线的对称性知μ=4. ?X
【答案】4

1 2

名师诊断

专案突破

对点集训

决胜高考

12.(2012嘉兴二模)甲、乙两人进行“石头、剪子、布”游戏.开始

时每人拥有3张卡片,每一次“出手”(双方同时):若分出胜负,则负
者给对方一张卡片;若不分胜负,则不动卡片.规定:当一人拥有6张卡 片或“出手”次数达到6次时游戏结束.设游戏结束时“出手”次数

为X,则EX=

.
1 3
2

【解析】P(X=3)=2·?=?, ( )3 27
4 C P(X=4)=2· 13·?=?, ? ( ) 27

1 3

2

P(X=5)=2·? 2·?+? 13·?]=?, [ C4 ( )5 C ( )5 27

1 3

1 3

2

名师诊断

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对点集训

决胜高考

P(X=6)=1-P(X≤5)=?, 27
EX=3×?+4×?+5×?+6×?=?. 27 27 27 27 9 【答案】? 9
50
2 2 2 21
50

21

名师诊断

专案突破

对点集训

决胜高考

三、解答题

13.甲、乙两人进行围棋比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分(无平

局),比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中
1 获胜的概率为p(p>? ),且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时 2 5 比赛停止的概率为? . 9

(1)若如右图为统计这次比赛的局数n 和甲、乙的总得分S、T的程序 框图.其中如果甲获胜,输入a=1,b=0; 如果乙获胜,则输入a=0,b=1.请 问①、②两个判断框中应分别填写什么条件?
名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考

(2)求p的值. (3)设X表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量X的分布列和数学 期望EX. 【解析】(1)程序框图中的条件框①应填M=2,②应填n=6. 注意:答案不唯一. 如:条件框①填M>1,条件框②填n>5,或者①、②条件互换.都可以.

名师诊断

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对点集训

决胜高考

(2)依题意,当甲连胜2局或乙连胜2局时,第二局比赛结束时比赛停 止. ∴有p2+(1-p)2=?. 解得p=?或p=?.∵p>?,∴p=?.
2 3
1 3

5 9

1 2

2 3

(3)依题意知,X的所有可能值为2,4,6.
设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为?. 若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮比赛中必是各得一分, 此时,该轮比赛结果对下轮是否停止没有影响.
5 9

名师诊断

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对点集训

决胜高考

从而有P(X=2)=?,

5 9

P(X=4)=(1-?)×?=?,
P(X=6)=(1-?)×(1-?)×1=?. ∴随机变量X的分布列为:
X P
5 9

5 9

5 9

20 81

5 9

5 9

16 81

2
? 5 9

4
? 20 81

6
? 16 81

故EX=2×?+4×?+6×?=?.

20 81

16 81

266 81

名师诊断

专案突破

对点集训

决胜高考

?
一、选择题 1.2011年上海春季高考有8所高校招生,如果某3位同学恰好被其中2 所高校录取,那么录取方法的种数为? ( ) (A)84. (B)168. (C)192. (D)224.
2 C8 【解析】分步考虑:从8所高校中选2所,有? 种选法.依题意必有2位 2 C3 C1 同学被同一所学校录取,则有?? 种录取方法;另一位同学被剩余的 2 2 2 C8 C3 C1 一所学校录取.所以共有??? =168. 2

【答案】B

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决胜高考

2.(2x+?x )4的展开式中x3的系数是? ( (A)6. (B)12.
r ?4

)

(C)24.
4-r
1 2

(D)48.
4-r

x 【解析】Tr+1= C (2x) (?) =2
r

C ? x
r ? 4

1 4? r ? r 2

=2

4-r r

C4 ? ?x

1 4? r 2

,令4-? r=3?r=2,

1 2

C2 x3的系数为24-2? =24.故选C. 4

【答案】C

名师诊断

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对点集训

决胜高考

3 3.若(2x+? )4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为? (

)

(A)1.

(B)-1.

(C)0.

(D)2.

【解析】(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4),分别令x
=1,x=-1即得答案. 【答案】A

名师诊断

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决胜高考

4.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),P(X≤4)=0.84,则P(X≤0)等
于? ( (A)0.84. ) (B)0.32. (C)0.16. (D)0.08.

【解析】由正态分布曲线关于x=2对称知P(X>0)=P(X≤4)=0.84. 故P(X≤0)=0.16. 【答案】C

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决胜高考

5.(2012南昌模拟)某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关,则

其回归方程可能是? (
y =-10x+200. (A)?


)

y =10x+200. (B)? y =-10x-200. (C)? y =10x-200. (D)?
^ ^



【解析】因为销量与价格负相关,由函数关系考虑为减函数,又因为 x,y不能为负数,再排除C,故选A.

【答案】A
名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考

6.已知某运动员每次投篮命中的概率都相同.现采用随机模拟的方 法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器算出0到

9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命
中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生 了20组随机数: 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为? ( (A)0.35. (B)0.25. (C)0.20. (D)0.15. )

名师诊断

专案突破

对点集训

决胜高考

【解析】由随机数可估算出三次投篮命中两次概率P=?=0.25,故选 20 B. 【答案】B

5

名师诊断

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对点集训

决胜高考

7.(2012浙江镇海中学)甲和乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C 、D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者,则甲和乙不

在同一岗位服务的概率为? ( (A)? .
1 10

) (D)? . 625
48

(B)? .

9 10

(C)? .

1 4

4 4 2 4 C1 A 4 ? C1 A 4 ? C3 A 4 9 3 3 C A4 【解析】P= =? .第一个?13 ?4 表示甲与除乙外的某一 2 4 10 C5 A 4

?

C1 A 4 位志愿者一起去同一个岗位服务,第二个??4 表示乙与除甲外的某 3
2 C3 A 4 一位志愿者一起去同一个岗位服务,??4 表示甲与乙都一个人去某

一岗位服务. 【答案】B

名师诊断

专案突破

对点集训

决胜高考

8.(浙江省2012届重点中学协作体高三4月联考)在三次独立重复试

验中,事件A在每次试验中发生的概率相同.若事件A至少发生一次的
概率为?,则事件A恰好发生一次的概率为? ( (A)? .
1 4
63 64

)

(B)? .

3 4

(C)?. 64

9

(D)?. 64

27

【解析】设事件A发生的概率为P,事件A不发生的概率为P',

则有1-(P')3=??P'=? .故P=? , 64
C 则事件A恰好发生一次的概率为?13(?2· =?. ) ? 64

63

1 4

3 4

1 4

3 4

9

【答案】C

名师诊断

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决胜高考

9.(2012台州一模)把2对孪生兄弟共4人随机排成一排,记随机变量X 为这一排中孪生兄弟相邻的对数,则随机变量X的期望EX等于? (

) (A)? .
2 3

(B)? .

3 4

(C)1.

(D)? .

3 2

【解析】设2对孪生兄弟分别为A1、A2、B1、B2,X的可能取值有0,1, 2.
C1 C1 C1 1 C1 C1 C1 1 2 2 2 P(X=0)= A 4 =? ,P(X=2)= 2A24 2 =? , 3 3 4 4

?

?
1

P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=? , 3

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决胜高考

EX=0×? ? ? +1× +2× =1. 【答案】C

1 3

1 3

1 3

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决胜高考

10.在2012年伦敦奥运会期间,奥运村某餐厅供应盒饭,每位顾客可以 在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了 5种不同的荤菜,若要保证每位顾客有200种以上的不同选择,则餐厅 至少还需准备不同的素菜品种为?( )

(A)9种.

(B)8种.

(C)7种.

(D)6种.

5? 4 2 x( x C C2 (种),若选择方式至少为200种,设素菜为x种,则?2x ?5 ≥200,? ? 1) ≥20, 2

C2 【解析】在5种不同的荤菜中取出2种的选择方式应有?5 =? =10

x(x-1)≥40,x≥7, ∴至少应为7种素菜,选C. 【答案】C

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决胜高考

11.(2012临沂二模)已知Ω={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},A是由直线y=0,x =a(0<a≤1)和曲线y=x3围成的曲边三角形区域,若向区域Ω上随机投

一点,点落在区域A内的概率为?,则a的值是? (
(A)?. 64
1

1 64

)

(B)? .

1 8

(C)? .

1 4

(D)? .
a

1 2

1 【解析】曲边三角形的面积为?x dx=?4 x ?0 4
3

1 ?? ,区域Ω的面积为1,若 = a 4
4
0

a

向区域Ω上随机投一点,点落在区域内的概率?4=?,所以a4=? a ,所以
1 a=? ,选D. 2

1 4

1 64

1 16

【答案】D

名师诊断

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对点集训

决胜高考

12.有红、黄、蓝三种颜色的球各7个,每种颜色的球都标有数字1,2, 3,4,5,6,7.从中任意取3个球,则取到的3个球颜色互不相同且所标数 字互不相邻的概率是? ( (A)? .
6 133

)
9 133

(B)? .

8 133

(C)? .

(D)? .

11 133

C3 【解析】从21个球中任取3个球,共有取法? 种,3个球颜色互不相同 21

且所标数字互不相邻的取法先考虑数字互不相邻,后考虑颜色.若取
C1 1,7,则第3个数可为3,4,5中一个,有取法? 种;若取1,6,则第3个数可为 3

3,4中一个,有取法? 种;其余取法列举为(1,3,5);(2,4,7);(2,5,7);(3,5,7); C1 2

(2,4,6).共有取法10种.而对于每种取法考虑颜色都有方法?3种,故满 A3

名师诊断

专案突破

对点集训

决胜高考

足条件的取法有60种,则P=?=? . C3 133
21

60

6

【答案】A

名师诊断

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决胜高考

二、填空题

13.高三(2)班在一次数学考试中,对甲、乙两组各12名同学的成绩进 行统计分析,两组成绩的茎叶图如图所示,成绩不少于90分为及格,现 从两组成绩中按分层抽样抽取一个容量为6的样本,则不及格分数应 抽 个.

【解析】从茎叶图可知及格分数与不及格分数各占一半,所以不及 格分数应抽3个. 【答案】3

名师诊断

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14.某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9.已知 这组数据的平均数为10,若要使这组数据的方差最小,则|x-y|= . 【解析】由已知得x+y=20,s2=? [(x-10)2+(y-10)2+2],要使方差最小,则(x
1 5

-10)2+(y-10)2取最小值, (x-10) +(y-10) =x +y
|x-y|=0. 【答案】0
2 2 2 2

( x ? y)2 -200≥?2 -200=0,当且仅当x=y时,等号成立,故

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15.某市高三数学抽样考试中,对90分以上(含90分)的成绩进行统计, 其频率分布图如下图所示.已知130~140分数段的人数为90人,90~10 0分数段的人数为a人,则程序框图的运算结果为 .

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【解析】由题意可知:a=810,S=? +1=406. 【答案】406

810 2

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16.甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球、3个 白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A
3

表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件;再从乙罐中随机 .

取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件,则P(B)= 【解析】显然A1,A2和A3是两两互斥的事件,故P(B)=P(B|A1)+P(B|A2)+ P(B|A3)=? ? ? ? ? ? ?. × + × + × =
5 5 2 4 3 4 9 10 11 10 11 10 11 22

【答案】?

9 22

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三、解答题

17.在对人们休闲方式的一次调查中,共调查120人,其中女性70人,男 性50人.女性中有40人主要的休闲方式是看电视,另外30人主要的休 闲方式是运动;男性中有20人主要的休闲方式是看电视,另外30人主 要的休闲方式是运动.

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(1)根据以上数据建立一个2×2的列联表:
休闲方式 性别 女性 看电视 运动 总计

男性
总计

(2)有多大的把握认为休闲方式与性别有关? 参考公式及数据:

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K

2

n(ad ? bc) 2 = (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

?

①当K2>2.706时,有90%的把握认为A、B有关联. ②当K2>3.841时,有95%的把握认为A、B有关联. ③当K2>6.635时,有99%的把握认为A、B有关联.

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【解析】(1)2×2的列联表为
休闲方式 性别 女性 男性 总计 40 20 60 30 30 60 70 50 120 看电视 运动 总计

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(2)假设H0:休闲方式与性别无关. 计算K 的值为K
2 2

120 ? (40 ? 30 ? 20 ? 30) 2 24 =?=?≈3.428,而2.706<3.428<3.84 7 70 ? 50 ? 60 ? 60

1, 所以,在犯错误的概率不超过0.10的前提下,认为H0不成立,即在犯错
误的概率不超过0.10的前提下,认为休闲方式与性别有关. 所以我们有90%以上的把握,认为H0不成立,即我们有90%以上的把 握,认为休闲方式与性别有关.

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18.某单位最近组织了一次健身活动,活动分为登山组和游泳组,且每 个职工至多参加其中一组.在参加活动的职工中,青年人占42.5%、 中年人占47.5%、老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的
1 ? ,且该组中,青年人占50%、中年人占40%、老年人占10%.为了了 4

解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度,现用分层抽样 方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本.试确定: (1)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别所占的比例; (2)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数.

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【解析】(1)设登山组人数为x,游泳组中青年人、中年人、老年人

各占比例分别为a、b、c,则有:?
解得b=50%,c=10%,则a=40%,

x ? 40% ? 3 xb x ?10% ? 3xc =47.5%, ? =10%, 4x 4x

即游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50%、10%. (2)游泳组中,抽取的青年人人数为
3 200×?×40%=60(人); 4 3 抽取的中年人人数为200×?×50%=75(人); 4 3 抽取的老年人人数为200×?×10%=15(人). 4

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19.假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)统计数 据如下:
使用年限x 2 3 4 5 6

维修费用y

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0

若根据上述数据的散点图可知y对x呈线性相关关系,解答下列问题:

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y =bx+a的回归系数?? a ,b ; (1)填写下表并求出线性回归方程?



^ ^

序号

x

y

xy

x2

1
2 3

2
3 4

2.2
3.8 5.5

4
5 ∑

5
6

6.5
7.0

(2)使用10年时,估计所支出的维修费用是多少.

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【解析】(1)填表:
序号 1 2 x 2 3 y 2.2 3.8 xy 4.4 11.4 x2 4 9

3
4 5

4
5 6

5.5
6.5 7.0

22.0
32.5 42.0

16
25 36


?

20
?

25

112.3

90

x =4, y =5,将其代入公式得: ∴? ?

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? ^ ? ^ 112.3 ? 5 ? 4 ? 5 12.3 b= a = y -b ? ?? =? =1.23,? ??x =5-1.23×4=0.08. 90 ? 5 ? 4 2 10


y (2)由(1)可知:线性回归方程为?=1.23x+0.08, y 当x=10时,?=1.23×10+0.08=12.38(万元),




即使用10年维修费用是12.38万元.

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20.(惠州市2013届高三第一次调研考试)某班从6名干部(其中男生4 人、女生2人)中选3人参加学校的义务劳动. (1)设所选3人中女生人数为X,求X的分布列及EX; (2)求男生甲或女生乙被选中的概率; (3)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率. 【解析】(1)X的所有可能取值为0,1,2,依题意得:
C3 1 4 P(X=0)= C3 =? ; 5 6

? ? ?

C 2 C1 3 4 P(X=1)= C3 2 =? ; 5 6 C1 C 2 1 4 P(X=2)= C3 2 =? . 5 6
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∴X的分布列为
X P
1

0
? 1 5

1
? 3 5

2
? 1 5

∴EX=0×? ? ? +1× 5 +2× 5 =1. 5

3

1

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C3 4 (2)设“甲、乙都不被选中”为事件C,则P(C)= 3 C6
C ∴所求概率为P(?)=1-P(C)=1-?=?.

4 ?=?=1?. 20 5

1 5

4 5

(3)记“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B,
2 C5 P(A)= 3 C6

?

C1 10 1 4 =?=?,P(AB)=3 20 2 C6

?1=?, 5 ?
C1 4 2 4 =?=?). 2 C5 10 5

P ( AB ) 2 P(B|A)=?=?(或直接得P(B|A)= P ( A) 5

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21.(2013届浙江省重点中学协作体高三摸底测试)浙江省某示范性 高中为了推进新课程改革,满足不同层次学生的需求,决定从高一年 级开始,在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学 、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座,每位有兴趣的同学可以 在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座,也可以放弃任何 一门科目的辅导讲座.(规定:各科达到预先设定的人数时称为满座, 否则称为不满座)统计数据表明,各学科讲座各天的满座概率如下 表:

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信息技术 周一 周三 周五
? 1
4

生物
? 1
4

化学
? 1
4

物理
? 1
4

数学
? 1
2

? 1
2

? 1
2

? 1
2

? 1
2

? 2
3

? 1
3

? 1
3

? 1
3

? 1
3

? 2
3

(1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率; (2)设周三各辅导讲座满座的科目数为X,求随机变量X的分布列和数 学期望.

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【解析】(1)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事 件A,则P(A)=(1-? ? ? ? )×(1- )×(1- )= .
1 2

2 3

2 3

1 18

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(2)X可能取值为0,1,2,3,4,5, P(X=0)=(1-?)4· ?)=?, (1C? P(X=1)=?14· (1-?)3· ?)+(1-?)4· =?, (1?
C4 ( P(X=2)=?2·?)2(1-?)2· ?C14 ?· · ?)3· =?, (1- )+ ? (1? C4 ( P(X=3)=?3·?)3(1-?)· ?C2 ?·?)2· ?)2· =?, (1- )+ ( (1? 4

1 2

2 3

1 48

1 2

1 2

2 3

1 2

2 3

1 8

1 2

1 2

2 3

1 2

1 2

2 3

7 24

1 2

1 2

2 3

1 2

1 2

2 3

1 3

P(X=4)=(?)4· ?)+?·?)3· ?)· =?, (1- C3 ( (1? 4 P(X=5)=(?)4· =?. ?
1 2

1 2

2 3

1 2

1 2

2 3 3 16

2 3

1 24

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所以,随机变量X的分布列如下
X P 0
? 1 48

1
? 1 8

2
? 7 24

3
? 1 3

4
? 3 16

5
? 1 24

EX=0×?+1×?+2×?+3×?+4×?+5×?=?.

1 48

1 8

7 24

1 3

3 16

1 8 24 3

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22.为鼓励企业科学发展,真正实现“低消耗,高产出”,市环保部门 实施奖罚制度.通过制定评分标准,对本市50%的企业抽查评估,评出 优秀、良好、合格和不合格四个等次,并根据等级给予相应的奖惩 (如下表).某企业投入100万元改造,由于自身技术原因,能达到以上
1 1 四个等次的概率分别为?1 ,?1 ,且由此增加的产值分别为60万元、 ,? ,? 2 3 8 24

40万元、20万元,-5万元.设该企业当年因改造增加的利润为X.

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(1)在抽查评估中,该企业能被抽到且被评为合格及以上等次的概率
是多少? (2)求X的数学期望.
评估得分 评定等级 (0,60) 不合格 [60,70) 合格 [70,80) 良好 [80,100] 优秀

奖惩(万元)

-80

30

60

100

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【解析】(1)设该企业能被抽中的概率且评为合格以上等次的概率 为P, 则P=(? ?? ? ?. + + )× = 48
1 2
1 3 1 8

1 2

23

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(2)依题意,X的可能取值为-185,-105,-80,-60,-50,-40,0,60,
1 1 1 则P(X=60)=?×?=?, 2 2 4

P(X=0)=?×?=?,
1 3

1 2

1 6

P(X=-50)=?×?=?,
1 8

1 1 2 16

P(X=-185)=?×?=?,
1 24
1 2
1 48

1 1 1 P(X=-40)=?×?=?, 2 2 4

P(X=-60)=?×?=?,
1 3

1 2

1 6

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P(X=-80)=?×?=?,
1 8

1 1 2 16 1 2

P(X=-105)=?×?=?.
1 24
1 48

则其分布列为
X P -185
? 1 48

-105
? 1 48

-80
? 1 16

-60
? 1 6

-50
? 1 16

-40
? 1 4

0
? 1 6

60
? 1 4

∴EX=(60-40)×?+(-60)×?+(-50-80)×?+(-185-105)×?=-?(万 元).

1 4

1 6

1 16

1 48

115 6

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