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数字信号处理复习第一部分


数字信号处理复习
第一部分:离散时间 LTI 系统的时域分析 1.概念:
1.1 单位冲激响应和线性卷积 离散时间 LTI 系统的单位冲激响应 h[n]为系统对单位冲激序列 δ[n]的零状 态响应。 单位冲激响应的概念非常重要。在时域,LTI 系统可以由其单位冲激响应 h[n]唯一确定,因此, 我们常常用单位冲激响应描述 LTI 系统。 在这种情况下, LTI

系统的输入输出关系可以由卷积运算描述:
y[n] ?

k ? ??

? x[k ]h[n ? k ]

?

物理意义: 卷积和运算具有显式意义, 即可以用来确定系统的输出。 如果系 统确定,则其单位冲激响应是唯一的。由此,可求系统对任意输入的响应。 注意: 计算卷积和的关键是求和区间的确定。 因此, 常常需要绘制序列 x[k] 和 h[h-k]的图形。利用序列 x[k]和 h[h-k] 的图形可助我们方便地确定求和区 间。 要求: 理解冲激响应的概念,会运用卷积和运算求系统的响应。

例:
计算下述序列的线性卷积 y[n]=x[n]*h[n]: (a) (b)
x[ n] ? ? n ? [ n] h[ n] ? ? n ? [ n]

???

x[n] ? ? n ?[n] h[n] ? ?[n] ? ?[n ? N ]

N 为正整数

(b) (c)

x[n] ? {1,2,3,4,5,6} h[n] ? ?[n] ? ?[n ? 5]

x[n] ? 0.5n ?[n] h[n] ? ?[n ? 2] ? ?[n ? 3]

回答下述问题: (a) 怎么确定指定系统响应 y[n]的时间变量 n 的范围? (b) 怎样确定由卷积和计算的系统响应 y[n]的序列长度? 1.2 线性常系数差分方程及其求解 卷积和是一种 LTI 系统的数学模型,一般情况下,我们可以用差分方程描 述 LTI 系统的输入输出关系。

? ak y[n ? k ] ? ? bk x[n ? k ]
k ?0 k ?0

N

M

差分方程给出了系统响应 y[n]的内部关系。为得到 y[n]的显式解,必须求 解方程。 求解步骤: (a) 根据差分方程确定特征方程:

?a ?
k ?0 k

N

n

?0

(b) 求解特征根,然后可确定其齐次解(若无重根) :
n yc [n] ? C1?1 ? C2 ?n ? ? ? CN ?n 2 N

(c)特解具有系统输入相同的形式,例如,如果输入为 x[n] = αnμ[n], 则特解 为 yp[n] = Kαnμ[n], 将 yp[n]代入到差分方程,求出参数 K。 (d) 完全解为:
y[n] ? yc [n] ? y p [n]

(e) 将给定的初始条件 y[-1], y[-2], … , y[-N]通过递归方法得到另外一组条 件 y[0], y[1], … ,y[N-1]。 y[0], y[1],…,y[N-1]代入到完全解 y[n], 则可确定响应 将 系数 C1, C2, … , CN 。

例:
求解下列差分方程: (a) y[n] ? y[n ? 1] ? x[n] ,其输入为 x[n] = (1/2)nμ[n] ,且给定初始条件 y[-1] = 8。 (b) y[n] ? y[n ? 1] ? y[n ? 2] ? x[n] ,其输入为 x[n] = (2)nμ[n] ,给定初始条 件为 y[-1] = -1, y[-2] = 1。 (c) y[n]+0.1y[n ? 1] ? 0.06y[n ? 2] ? x[n] ? 2 x[n ? 1] , 给定初始条件 y[-1] = -1, y[-2] = 2, 系统输入为 x[n] = (0.4)nμ[n]。
1 4 1 8 1 4

求解(c):
首先确定其次解: 特征方程: 根: 齐次解为: 确定特解: 根据输入有特解为 y p [n] ? K (0.4) n 。显然, y p [n] 满足差分方程,将 y p [n] 代 入到差分方程得到:
K (0.4) n +0.1K (0.4) n?1 ? 0.06K (0.4) n?2 ? (0.4) n ?[n] ? 2(0.4) n?1 ?[n ? 1]

?2+0.1? ? 0.06 ? 0

?1 ? ?0.3 和 ?1 ? 0.2
yc [n] ? C1 (?0.3) n ? C2 (0.2) n

,当 n>0

当 n ≥ 1, 上述方程可以表示如下:
K (0.4) n +0.1K (0.4) n?1 ? 0.06K (0.4) n?2 ? (0.4) n [1 ? 2 ? 0.4 ?1 ] ? ?4(0.4) n

即有:

K+0.1K (0.4) ?1 ? 0.06K (0.4) ?2 ? ?4 →
16 ( 0. 4) n 3
16 (0.4) n 3

K ??

16 3

则特解为: y p [n] ? -

完全解为: y[n] ? C1 (?0.3) n ? C2 (0.2) n ? 根据初始条件可得:

y[0] ? -0.1y[?1]+0.06y[?2]+x[0] ? 2 x[?1] ? 1.22 y[1] ? -0.1y[0]+0.06y[?1]+x[1] ? 2 x[0] ? ?1.782

代入上述条件到完全解得到下述方程:
y[0] ? C1 ? C2 ? 16 ? 1.22 3 16 (0.4) ? ?1.782 3

y[1] ? C1 (?0.3) ? C2 (0.2) ?

有:

C1 ? 1.92 C2 ? 4.63
16 (0.4) n 3

则完全解: y[n] ? 1.92(?0.3) n ? 4.63(0.2) n ? 1.3 LTI 离散时间系统的性质 (a) 线性 (b) 时不变 (c) BIBO 稳定

n≥0

如果输入有界输出有界,则系统 BIBO 稳定。 因为常用单位冲激响应 h[n]描述 LTI 系统,则可利用下述条件确定 LTI 系 统的稳定性:

n ? ??

? h[n] ? ?

?

此条件被称为绝对可和条件。

(d) 因果性 系统满足因果性,是指系统在 n = n0 时刻的输出 y[n]决定于 n = n0 的输入

值 x[n0]和 n0 时刻之前的输入值, n<n0. 换言之,如果系统的单位冲激响应 h[n]因果,则系统因果。 要求: 理解 LTI 系统的上述性质。给定 LTI 系统的数学模型,确定系统拥有的性 质。 黄松柏 2011-12-05


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