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云南省玉溪市第一中学届高三数学下学期第七次月考试题 理-课件


2016 年玉溪一中高三第一次校统测试题 理 科 数 学
(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 第Ⅱ卷(客观题 60 分) 一 、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每个小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.设 A = {x ? Z| x ? 2},B= {y | y=x + 1,x ? A} ,则 B 的元素个数是


2



A.5 2.已知复数 z ? A.0

B.4

C.3

D.无数个 )

m 1? i ? (i 是虚数单位)的实部与虚部的和为 1,则实数 m 的值为( 1? i 2
B.1 C.2
2

D.3

3.在等比数列 {an } 中, a3 , a15 是方程 x ? 6 x ? 8 ? 0 的根,则 A. 2 2 B.4 C. ? 2 2 D. ? 4

a1a17 的值为( a9

)

4.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何 体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟 合)在一起的方形伞(方盖) .其直观图如图所示,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当 其正视图和侧视图完全相同时,它的俯视图可能是( )

A 5.若 ( ax ?
2

B

C

D )

直观图

b 6 ) 的展开式中 x 3 项的系数为 20,则 a 2 ? b 2 的最小值为( x

A.1 B.2 C.3 D.4 6. 如图 , 正弦曲线 f ( x) ? sin x 和余弦曲线 g ( x) ? cos x 在矩形 ABCD 内交于点 F,向矩形 ABCD 区域内随机投掷一点,则该点落在阴 影区域内的概率是( ) A.

1? 2

?

B.

1

?

C.

1? 2 2?

D.

1 2?

7. 在 半 径 为 1 的 球 面 上 有 不 共 面 的 四 个 点 A , B , C , D 且

AB ? CD ? x , BC ? DA ? y , CA ? BD ? z ,则 x2 ? y 2 ? z 2 等于(
A.16 B.8 C.4 D.2

)

-1-

8.执行如右图所示的程序框图,若 f ( x) ? 3x 2 ? 1,取

g?

1 ,则输出的值为( ) 5 19 9 A. B. 32 16 5 3 C. D. 8 4

9.已知函数 f ( x) =2cos(?x + ? ) (? ? 0,? 象

? ? ?? ? )图 2 2

的一个对称中心为(2, 0),直线 x ? x1 , x ? x2 是图象的 任意两条对称轴,且 | x1 ? x2 | 的最小值 3,且 f (1) ? f (3) 要得到函数 f ( x) 的图象可将函数 y=2cos?x 的图象( )

1 个单位长度 2 1 C.向左平移 个单位长度 2
A.向右平移

? 个单位长度 6 ? D.向左平移 个单位长度 6
B.向右平移
2 2 2 2

10.设点 P 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)与圆 x +y =a +b 在第一象限的交点,F1,F2 分别是双 曲 线的左、右焦点,且|PF1|=3|PF2|,则双曲线的离心率为( A. 5 B. 5 2 C. 10 D. 10 2 )

x2 y2 a b

D1

C1

E 在线段 BB1 和 11.如图正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 1,点
线段 A1B1 上移动, ?EAB ? ? ? ? (0,

?
2

A1

B1 D E

F C

) ,过直线 AE, AD 的平面

ADFE 将正方体分成两部分,记棱 BC 所在部分的体积为 V (? ) ,
则函数 V ? V (? ), ? ? (0,

?
2

A

?

) 的大致图像是(
y
1
1 2



B

y
1
1 2

y
1
1 2

y
1
1 2

O

?
4

?
2

x

O

?

?
2

A

A

B

4

x

O

?

?
2

A

C

4

x

O

?
4

?
2

x

A

D

A

12. 己知定义在 R 上的可导函数 f ( x ) 的导函数为 f ?( x ) ,满足 f ?( x) ? f ( x) ,且 f ( x ? 2) 为偶函

-2-

数, f (4) ? 1 ,则不等式 f ( x) ? ex 的解集为( A. ? ?2, ?? ? B. ? 4, ???

) C. ?1, ?? ? D. ? 0, ?? ?

第Ⅱ卷(主观题 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分. 13.某公司为确定明年投入某产品的广告支出,对近 5 年的广告支出 m 与销售额 t(单位:百万元) 进行了初步统计,得到下列表格中的数据:

m t

2 30

4 40

5 p

6 50
?

8 70 。

经测算,年广告支出 m 与年销售额 t 满足线性回归方程 t ? 6.5m ? 17.5 ,则 p 的值为

?x ? y ? 1 ? 0 1 2 ? 2 2 14.若不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域内的点都在圆 x ? ( y ? ) ? r (r ? 0) 内,则 r 的 2 ?y ? 0 ?
最小值是_______. 15.在△ABC 中, AB ? BA? BC , OA ? OC ? AB ? 0 ,且 | OA |?| AB |? 1 ,则 CA ? CB 等于 16.数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an ?
2

.

an ?1 ? 1 ,其前 n 项积为 Tn ,则 T2018 = an ?1 ? 1



三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 共 70 分. 17. (本小题满分 12 分) 如图,在△ABC 中, B ?

?
3

,BC=2,点 D 在边 AB 上,AD=DC,DE⊥AC,E 为垂足.

(I)若△BCD 的面积为

3 ,求 CD 的长; 3

(II)若 ED=

6 ,求角 A 的大小. 2

18. (本小题满分 12 分) 某校高三 4 班有 50 名学生进行了一场投篮测试,其中男生 30 人,女生 20 人.为了

-3-

了解其投篮成绩,甲、乙两人分别都对全班的学生进行编号(1-50 号),并以不同的方法进行数据 抽样,其中一人用的是系统抽样,另一人用的是分层抽样.若此次投篮测试的成绩大于或等于 80 分 视为优秀,小于 80 分视为不优秀,以下是甲、乙两人分别抽取的样本数据: 甲抽取的样本数据 编号 性别 投篮 成 绩 2 男 90 7 女 60 12 男 75 17 男 80 22 女 83 27 男 85 32 女 75 37 男 80 42 女 70 47 女 60

乙抽取的样本数据 编号 性别 投 篮 成 绩 1 男 95 8 男 85 10 男 85 20 男 70 23 男 70 28 男 80 33 女 60 35 女 65 43 女 70 48 女 60

(Ⅰ)在乙 抽取的样本中任取 3 人,记投篮优秀的学生人数为 X ,求 X 的分布列和数学期望. . (Ⅱ) 请你根据乙 抽取的样本数据完成下列 2×2 列联表, . 判断是否有 95%以上的把握认为投篮成绩和性别有关? (Ⅲ)判断甲、乙 各用何种抽样方法,并根据(Ⅱ)的 结论判断哪种抽样方法更优?说明理由. 男 女 合计 下面的临界值表供参考: 10 优秀 非优秀 合计

P( K 2 ? k )

0.15 2.072
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

n(ad ? bc)2 (参考公式: K ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,AB⊥AD,AB∥CD,CD=3AB, 平面 SAD ? 平面 ABCD,M 是线段 AD 上一点,AM=AB,

DM ? DC, SM ? AD .
(I)证明: BM ? 平面 SMC;

N

-4-

? ,N 为棱 SC 上的动点, 4 ? SN 当二面角 S ? BM ? N 为 时,求 的值。 4 NC
(II)若 SB 与平面 ABCD 所成角为

20. (本小题满分 12 分) 已知 F 为椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点,椭圆 C 上任意一点 P 到点 F 的距离与点 P 到直线 l : x ? m 4 3

1 。 2 (I)求直线 l 方程; (II)设 A 为椭圆 C 的左顶点,过点 F 的直线交椭圆 C 于 D 、 E 两点,直线 AD 、 AE 与直线 l 分别相交于 M 、 N 两点。以 MN 为直径的圆是否恒过一定点?若是,求出定点坐标;若不是,请
的距离之比为 说明理由。

21.(本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? x 2 ? ax, g ( x) ? ln x, h( x) ? f ( x) ? g ( x) . (I)若 f ( x) ? g ( x) 对于公共定义域内的任意 x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (II)设 h( x) 有两个极值点 x1 , x 2 ,且 x1 ? (0, ) ,若 h( x1 ) ? h( x2 ) ? m 恒成立,求实数 m 的最大 值.

1 2

请考生在第 22,23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分, 做答时请写清题号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4--4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点 ,以 x 轴正半轴为极轴,曲线 C 的极坐标方程为

??

sin ? cos 2 ?

(I)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (II)过点 P(0,2)作斜率为 l 直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,试求

1 1 的值. ? | PA | | PB |
-5-

23. (本小题满分 10 分)选修 4--5;不等式选讲. 已知函数

f ( x) ? x ?1 .

(I)解不等式 f ( x ? 1) ? f ( x ? 3) ? 6 ; (II)若 a <1, b <1,且 b ≠0,求证: f (ab) > b f ( )

a b

-6-

2016 届 5 月校统测参考答案 理科数学 一、选择题: 题号 1 2 选项 C B 二、填空题: 13. 60 ; 14. 3 A 4 B 5 B 6 C 7 B 8 B 9 A 10 D 11 C 12 D

5 2

;

15.

3

;

16.

-6

.

三、解答题: 17.【解】: (Ⅰ)由已知得 S ?BCD ? 在△BCD 中,由余弦定理得

? 2 1 3 ,又 BC=2, B ? ∴ BD ? , BC ? BD ? sin B ? 3 3 2 3

CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos B=
(Ⅱ)在 ?CDE 中

28 2 7 .∴ CD ? ............................. 6 分 9 3

CD DE ? ,? AD ? DC ,∴ A ? ?DCE sin ?DEC sin ?DCE

∴CD=AD=

DE 6 ? sin A 2 sin A
BC CD ? ,又∠BDC=2A,得 sin ?BDC sin B

在 ?BCD 中

2 CD 3 ? ,∴ CD ? ? sin 2 A sin 2 A sin 3
∴ CD ?

? 6 3 2 解得 cos A ? ,所以 A = ................ 12 分 ? 4 2 sin A sin 2 A 2

18.【解】 (Ⅰ)在乙 抽取的 10 个样本中,投篮优秀的学生人数为 4, . ∴ X 的取值为 0,1,2,3。
k 3? k C4 C6 , k ? 0,1,2,3 3 C10

P( X ? k ) ?

分布列为:

X

0

1

2

3

-7-

P

1 6

1 2

3 10

1 30

EX ? 0 ?

1 1 3 1 6 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ·················· 6 分 6 2 10 30 5

(Ⅱ)设投篮成绩与性别无关,由乙抽取的样本数据,得 2? 2 列联表如下: 优秀 男 女 合计 4 0 4 非优秀 2 4 6 合计 6 4 10

··································· 7 分

K 2 的观测值 k ?

10(4 ? 4 ? 0 ? 2) 2 ? 4.444 ? 3.841, ············ 9 分 4? 6? 6? 4

所以有 95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关. ············· 10 分 (Ⅲ)甲用的是系统抽样,乙用的是分层抽样. ??????????????11 分 由(Ⅱ )的结论知,投篮成绩与性别有关,并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显差异,因 此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优.????????????????12 分 19.(1) ? 平面 SAD ? 平面 ABCD, SM ? AD ∴ SM ? 平面ABCD ,又 BM ? 平面ABCD ∴ SM ? BM 又 AM=AB, DM ? DC ∴ ?BMA ? ?CMD ? ∴ ?BMC ?

z

?
4

N

y

?
2

,即 CM ? BM

又 SM , CM 为平面 SMC 内两相交直线。 ∴ BM ? 平面 SMC (2)由(1)可如图建系。 设 AB ? 1 ,则 AM ? 1 , MD ? DC ? 3 ????6 分

x

? SB 与平面 ABCD 所成角为

? ? ,∴ ?SBM ? ,∴ SM ? 2 。 4 4

设 SN ? ? SC , ? ? [0,1] ,得 N (3?,3?, 2 ? 2? ) 由(1) BM ? 平面 SMC,∴二面角 S ? BM ? N 的平面角为 ?SMA . ∴ ?SMA ?

? 4

-8-

∴ cos ?SMA ? 解得: ? ?

MS ? MN | MS | ? | MN |

,即

2(1 ? ? ) 2 ? 18? ? 2(1 ? ? )
2 2

?

2 2
????12 分

SN 1 1 ? 。 ? [0,1] ,∴ NC 3 4

法二:? MC ? 平面 SMB 平面 SMB 的一个法 向量为 m ? (1,1,0) 设 SN ? ? SC , ? ? [0,1] ,得 N (3?,3?, 2 ? 2? ) 可得平面 BMN 的一个法向量为 n ? (1,1,

6? 2 (? ? 1)

(或 n ? (? ? 1, ? ? 1,3 2? ) ) ),

cos

?
4

?

m?n | m |?| n |

,解得: ? ?

SN 1 1 ? ? [0,1] ,∴ NC 3 4

另解:? SB 与平面 ABCD 所成角为

? ? ,∴ ?SBM ? ,∴ SM ? MB ? 2 AB 。 4 4

由(1) BM ? 平面 SMC,∴二面角 S ? BM ? N 的平面角为 ?SMA . 当 ?SMA ?

? 时, MN 为 ?SMC 的内角平分线 。 4
1 ? . 2 DC 3
( x ? 1) 2 ? y 2 1 ? ?1 分 x?m 2



SN SM MB ? ? ? NC MC MC

2 AB

y) 为椭圆 C 上任意一点,依题意有 20.解析(1)设 P( x ,


4( x ?1)2 ? 4 y 2 ? ( x ? m)2 。将 4 y 2 ? 12 ? 3x2 代入,并整理得
????? 2 分

(8 ? 2m) x ? m2 ?16 ? 0

y) 为椭圆上任意一点知,方程 (8 ? 2m) x ? m2 ?16 ? 0 对 ?2 ? x ? 2 的 x 均成立。 由点 P( x ,


8 ? 2m ? 0 ,且 m2 ? 16 ? 0 解得 m ? 4 。
∴ 直线 l 的方程为 x ? 4 (2)易知直线 DE 斜率不为 0,设 DE 方程为 x ? ty ? 1 。 ????4 分 ?? 6 分

? x ? ty ? 1 ? 2 2 由 ? x2 y 2 ,得 (3t ? 4) y ? 6ty ? 9 ? 0 。 ? ? 1 ? 3 ? 4

-9-

设 D( x1 , y1 ) , E( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? 由 A(?2 , 0) ,知 AD 方程为 y ? 0 ?

?6t ?9 , y1 y2 ? 2 。 ?? 7 分 2 3t ? 4 3t ? 4

y1 ? 0 6y ( x ? 2) ,点 M 坐标为 M (4 , 1 ) 。 x1 ? 2 x1 ? 2
??????? 9 分

同理,点 N 坐标为 N (4 ,

6 y2 )。 x2 ? 2

0) 在以 MN 为直径的圆上。 由对称性,若定点存在,则定点在 x 轴上。设 G(n ,
则 GM ? GN ? (4 ? n ,

???? ? ????

6 y1 6y 36 y1 y2 ) ? (4 ? n , 2 ) ? (4 ? n) 2 ? ? 0。 x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)



(4 ? n)2 ?

36 y1 y2 36 y1 y2 ? (4 ? n)2 ? 2 ?0。 (ty1 ? 3)(ty2 ? 3) t y1 y2 ? 3t ( y1 ? y2 ) ? 9

即 (4 ? n) ?
2

36 ? (?9) ? 0 , (4 ? n)2 ? 9 ? 0 , n ? 1 或 n ? 7 。 ?9t ? 3t (?6t ) ? 9(3t 2 ? 4)
2

0) 和 (7 , 0) ∴ 以 MN 为直径的圆恒过 x 轴上两定点 (1 ,

???? 12 分

21.解:(1)由题意知 x ? ax ? ln x( x ? 0) ,∴ a ?
2

x 2 ? ln x ln x ? x? ( x>0), x x

设 ? ( x) ? x ?
2

ln x x 2 ? ln x ? 1 ( x ? 0) ,则 ? / ( x) ? , x x2

∵y=x +ln x-1 在(0,+∞)上是增函数,且 x=1 时,y=0. / ∴当 x∈(0,1)时, ? ( x) ? 0 ; / 当 x∈(1,+∞)时, ? ( x) ? 0 ;∴ ? ( x ) 在(0,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增. ∴ ? min ( x) ? ?(1) ? 1 ,∴a≤1,即 a 的范围为(-∞ ,1]. ........................ 5 分
2 (2)由题意知 h( x) ? x ? ax ? ln x (x>0),则 h ( x) ?
/

2 x 2 ? ax ? 1 (x>0), x

∴方程 2x -ax+1=0(x>0)有两个不相等的实根 x1,x2,且 x1∈(0, ), 又 x1 x 2 ?

2

1 1 ,∴ x2 ? ? (1,??) ,且 ax1=2 x12 ? 1 ,ax2=2 x12 ? 1 , 2 2 x1

而 h(x1)-h(x2)=( -ax1+ln x1)-( -ax2+ln x2) =[ -(2 +1)+ln x1]-[ -(2 +1)+ln x2]
- 10 -

=

- +ln x1-ln x2= x2 ?
2
2

1 ? 2 ln x2 ? ln 2 (x2>1). ....................... 9 分 2 4 x2

设 E ( x) ? x ?
/

1 ? 2 ln x ? ln 2 (x>1) 4x 2

(2 x 2 ? 1) 2 则 E ( x) ? >0, 2x3
∴ E ( x) )在(1,+∞)上是增函数, ∴ E ( x 2 ) ? E (1) ? ∴m ?

3 ? ln 2 即 4

3 ? ln 2 4
3 ? ln 2 . ................................................ 12 分 4
??5 分

∴m 的最大值为

22.解:(1)令 x ? ? cos? , y ? ? sin ? , 代入得 y ? x2

? 2 t ?x ? ? 2 (2)设 A,B 两点对应参数为 t1,t2,直线 l 方程 ? ,代入 y ? x2 得 ?y ? 2? 2 t ? ? 2

t 2 ? 2t ? 4 ? 0, t1t2 ? ?4, t1 ? t2 ? 2 ,
(t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 3 2 1 1 1 1 ? ? ? ? ? PA PB t1 t2 t1t2 4
23 解析: (Ⅰ)不等式解集为 ? ??, ?3? ??3, ??? ??10 分

??5 分

(Ⅱ)要证:

a ? 1 成立 b a 只需证: f (ab) f b f ( ) b 只需证: ab ?1 f a ? b ab ? 1 f b
只需证: a b ? 2ab ? 1 f a ? 2ab ? b
2 2 2 2

只需证: (a ?1)(b ?1) f 0
2 2

Q a p 1, b p 1 ? a 2 ? 1 p 0, b2 ? 1 p 0 ?(a2 ?1)(b2 ?1) f 0 成立 a ? f (ab) f b f ( ) 成立 b

??10 分

- 11 -


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