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2014届高考数学(文)一轮复习课件:第3章 第1讲任意角、弧度制及任意角的三角函数


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第三章

三角函数、解三角形

第三章 第1讲

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第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数

第三章 第1讲

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不同寻常的一本书,不可不读哟!

第三章 第1讲

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1.了解任意角的概念. 2.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化.

3.了解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

第三章 第1讲

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1个重要规律 三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正 弦、三正切、四余弦.

第三章 第1讲

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2个必会技巧 1. 在利用三角函数定义时,点P可取终边上任一点,如有 可能则取终边与单位圆的交点,|OP|=r一定是正值.

2. 在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是
一个小技巧.

第三章 第1讲

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3项必须注意 1. 注意易混概念的区别:第一象限角、锐角、小于90°的

角是概念不同的三类角,第一类是象限角,第二类、第三类是
区间角. 2. 角度制与弧度制可利用180°=πrad进行互化,在同一个 式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用.

第三章 第1讲

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3. 有 扇 的 长 关形弧

l、 积 S的 目 解 的 键 灵 运 面 题,题关是活

1 1 2 用l=| r,S= lr= α r 两 公 , 时 意 元 和 数 α | | 个式同注消法函思 2 2 想运 的用 .

第三章 第1讲

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课前自主导学

第三章 第1讲

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1.角的有关概念 (1) 从 运 动 的 角 度 看 , 角 可 分 为 正 角 、 ________ 和

________.
(2)从终边位置来看,可分为________和轴线角. (3)若α与β是终边相同的角,则β可用α表示为S={β|β= ________}(或{β|β=________}).

第三章 第1讲

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2.象限角

象限角 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角

集合表示 π {α|2kπ<α<2+2kπ,k∈Z} π {α|2+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z} 3 {α|π+2kπ<α<2π+2kπ,k∈Z} 3 {α|2π+2kπ<α<2π+2kπ,k∈Z}
第三章 第1讲
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判断下列命题是否正确 ①终边相同的角一定相等 ( )

②第一象限的角都是锐角
③若α是锐角,180°-α为第二象限的角 ④若α=k·180°+30°,则α是第一象限的角

( )
( ) ( )

第三章 第1讲

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若α的终边落在第二象限角平分线上,则α的集合

__________,若α的终边落在第二、四象限角平分线上,则α的
集合________.

第三章 第1讲

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3.弧度与角度的互化 (1)1弧度的角 长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用

符号rad表示.
(2)角度与弧度之间的换算 360° = ________ rad,180° = ________ rad , n° = ________ rad,α rad=________,1 rad≈57°18′=57.3°.

第三章 第1讲

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3 弧、形积式 ( 长扇面公 ) ①半 为 r的 中 弧 为 径 圆,长 ________. ②扇 半 为 形径 r, 心 的 度 是 圆角弧数 α, 这 扇 的 长 则个形弧 ________. l的 所 圆 角 弧 是 弧对心的度

1 1 l=________, 积 S= lr= ________, 长 面 周= 2 2

第三章 第1讲

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1° (0 ) 2

的度为 弧数

________;495° 弧 数 的度为 4的 所 的 心 的 小 弧对圆角大是

________.

2 半 为 2的 中 弧 为 ( 径 ) 圆,长 ________. 3 已扇圆角 ( 知形心为 ) ________.

2 半为 5 π, 径

2c 0m

,扇的积 则形面

第三章 第1讲

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4.任意角的三角函数 (1) 定 义 : 设 角 α 终 边 与 单 位 圆 交 于 P(x , y) , 则 sinα =

________,cosα=________,tanα=________.
(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表 示.正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切线 的起点都是(1,0). 如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做角α的________,

________和________.

第三章 第1讲

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(3)诱导公式(一)

sin(α+k·2π)=________;cos(α+k·2π)=________;
tan(α+k·2π)=________.(k∈Z)

第三章 第1讲

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1 已 角 α终 上 点 ( 知 ) 边一

P(-6,8),则sinα=________,cosα

=________,tanα=________. (2)已知sinA>0且tanA<0,则A为第________象限角. 11 (3)cos(- π)的值是________. 3 π π (4)若4<θ<2则sinθ,cosθ,tanθ的大小关系为______.

第三章 第1讲

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1.负 角

零 角

象角 限

α+2kπ,k∈Z

α+k· 3° 6 0

,k∈Z

2. 一 : 判判 填填 一: 135° ,k∈Z} 3. 径 半 填填 一:

①× ②× ③√ ④× {α|α=k· 3° 6 0 +135° ,k∈Z} {α|α=k· 1° 8 0 +

2π π

nπ 180

180 [α( π ° ] ) 3 8 (m )π 0 c

l r

|α|r
2

|α|·2 |α|r+2r r

2 11 1 3π 4 π 2 ( ) ( )

第三章 第1讲

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4.y x a α n t 填填 一:

y 弦 x (x≠0) 正 线

余线 弦

正线 切

n α c α i s o s

4 1 5 ( )

3 -5

4 -3 θ> n i s θ> c o s θ

1 2 二 3 2 a ( ) ( ) n 4 t ( )

第三章 第1讲

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核心要点研究

第三章 第1讲

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例1

(1)[2012·郑州期末]若角α和角β的终边关于x轴对称,

则角α可以用角β表示为(
A.2kπ+β(k∈Z) C.kπ+β(k∈Z)

)
B.2kπ-β(k∈Z) D.kπ-β(k∈Z)

(2)已知点P(tanα,cosα)在第三象限,则角α的终边在第 ________象限.( )

A. 一
C. 三

B. 二
D. 四
第三章 第1讲
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[审题视点] (1)利用终边相同的角进行表示及判断. (2)利用三角函数在各象限的符号作判断.

[解析]

(1)因为角α和角β的终边关于x轴对称,所以α+β

=2kπ(k∈Z).所以α=2kπ-β(k∈Z).
?tanα<0 ? (2)因为点P(tanα,cosα)在第三象限,因此有? ?cosα<0 ?



∴α是第二象限角,故选B.
[答案] (1)B (2)B

第三章 第1讲

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1.研究角终边关系问题时可借助于图形分析,注意周期性. 2.熟记各个三角函数在每个象限内的符号是判断的关键,对

于已知三角函数式符号判断角所在象限,可先根据三角函数
式的符号确定三角函数值的符号,再判断角所在象限.

第三章 第1讲

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[变 探 式究 终相, 边同则 A.1 C.3

π ] 1 已 角 α=2kπ- 5 (k∈Z), 角 θ与 α的 ( 知 ) 若 角 n θ c θ| a θ i s o s | n t y=| θ|+ c θ +| θ|的 为 ( 值 n i s o s a n t B.-1 D.-3 )

k k (2)设集合M={x|x= 2 ×180° +45° ,k∈Z},N={x|x= 4 ×180° +45° ,k∈Z},那么( A.M=N C.N?M ) B.M?N D.M∩N=?
第三章 第1讲
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答案:(1)B (2)B

π 解析:(1)由α=2kπ- 5 (k∈Z)及终边相同角的概念知,α的 终边在第四象限,又θ与α的终边相同,所以角θ是第四象限 角,所以sinθ<0,cosθ>0,tanθ<0. 因此,y=-1+1-1=-1,故选B.

第三章 第1讲

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2 法:于 ( 一由 )

k M={x|x= ×180° +45° ,k∈Z}={?,- 2

45° ,45° ,135° ,225° ,?}, k N={x|x= 4 ×180° +45° ,k∈Z}={?,-45° ,0° ,45° , 90° ,135° ,180° ,225° ,?}, 显然有M?N,故选B. k 法二:由于M中,x= 2 · +45° 90° 180° =k· +45° =45°(2k+ · k 1),2k+1是奇数;而N中,x= 4 · +45° 45° 180° =k· +45° =(k+ 1)· ,k+1是整数,因此必有M?N,故选B. 45°
第三章 第1讲
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例2 已知角α的终边上一点P(- 3 ,m)(m≠0),且sinα= 2m 4 ,求cosα,tanα的值.
[审 视 题点 参 m的 程 出 数 方求 ] 由s α= n i 2m 结三函 合角数 4 的义立于 定建关

m的 , 根 定 求 值再据义

c α,t α的 . o s a n 值

第三章 第1讲

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[解]

由设 题知

x=- 3,y=m, 3+m2 .从而

∴r2=|OP|2=(- 3 )2+m2(O为原点),得r= m 2m m n α= = i s = , r 4 2 2

∴r= 3+m2=2 2,于是3+m2=8,解得m=± 5.

第三章 第1讲

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当m= 5时 r=2 2,x= , -

3,

- 3 6 15 ∴c α= o s = 4 ,t α= - a n - 3 ; 2 2 当m= - 5时 r=2 2,x= , - 3,

- 3 6 15 ∴c α= o s = 4 ,t α= 3 . - a n 2 2

第三章 第1讲

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定义法求三角函数值的两种情况 (1)已知角α终边上一异于原点的点P的坐标,则可先求出点P 到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解.

(2)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点
的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义来 求相关问题.若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写出角α的

三角函数值.

第三章 第1讲

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[变式探究] cosα,tanα的值.

已知角α的终边在直线3x+4y=0上,求sinα,

解:∵角α的终边在直线3x+4y=0上, ∴在角α的终边上任取一点P(4t,-3t)(t≠0), 则x=4t,y=-3t, r= x2+y2= ?4t?2+?-3t?2=5|t|, 当t>0时,r=5t, y -3t 3 sinα= = =- , r 5t 5
第三章 第1讲
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x 4t 4 c α= = = , o s r 5t 5 y -3t 3 a α= = n t = ; - x 4t 4 y -3t 3 当t<0时,r=-5t,sinα=r = = , -5t 5 x 4t 4 y -3t 3 cosα=r = =-5,tanα=x= 4t =-4. -5t 3 4 3 综上可知,sinα=-5,cosα=5,tanα=-4; 3 4 3 或sinα= ,cosα=- ,tanα=- . 5 5 4
第三章 第1讲
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例3 已知一扇形的圆心角是α,半径为R,弧长为l. (1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长l. (2)若扇形周长为20 cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时, 这个扇形的面积最大? [审题视点] (1)可直接使用弧长公式计算,但注意角需用

弧度制.
(2)可用弧长或半径来表达出扇形的面积,然后确定其最大 值.
第三章 第1讲
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π [解] 1 α=6 =3 a , ( ) 0 ° d r π 1 0 π ∴l=|α|· 3×1 = 3 c. R= 0 m 2 由题意得l+2R=2 , ( ) 0 ∴l=2 -2R( R<) . 0 0 < 1 0 1 1 ∴S扇=2l· 22 -2R)· R= ( 0 R =( -R)· 1 0 R=-R2+1 R. 0 ∴当且仅当R=5时,S有最大值2 5 . l 1 0 此时l=2 -2×5=1 ,α=R= 5 =2 0 0 a d r . ∴当α=2 a d r 时扇面取大. ,形积最值
第三章 第1讲
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奇思妙想:本例第(2)问改为“若扇形周长为10,面积是 4,求扇形的圆心角”.该如何解答?
?2R+Rα=10 ?R=4 ?R=1 ? ? ? 解:?1 2 ?? (舍去),或? 1 , ?α=8 R ? ?2α· =4 ?α=2 ? ? 1 ∴扇形圆心角为 . 2

第三章 第1讲

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(1)在弧度制下,计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方 便.

(2)在解决弧长问题和扇形面积问题时要注意合理利用圆心角
所在的三角形.

第三章 第1讲

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[变式探究]

一个扇形OAB的面积为1 cm2 ,它的周长是4

cm,求圆心角的弧度数和弦长AB.
解:设圆的半径为r cm,弧长为l cm, ?1 ?r=1, ? lr=1, ? 2 则? 解得? ?l=2. ? ?l+2r=4, ? l ∴圆心角α=r=2. 如图,过O作OH⊥AB于H.则∠AOH=1弧度, ∴AH=1· sin1=sin1(cm),∴AB=2sin1(cm).
第三章 第1讲
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课课精彩无限

第三章 第1讲

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【选 · 考 】 题 热秀 2· [1 0 全新标考 国课高 ]已 角 θ的 点 原 重 , 边 知 顶与点合始 y=2x上 则 c , o 2 s 3 B.-5 4 D.5
第三章 第1讲
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与x轴 正 轴 合 终 在 线 的半重,边直 4 A.-5 3 C.5

θ=(

)

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[规范解答] 方法1:设P(t,2t)(t≠0 为角θ终 上 意 ) 边任一 t 5 5 点,则c θ= o s .当t>0时,c θ= 5 ;当t<0时,c θ=- 5 . o s o s 5|t| 因此c o 2 s 2 c o s θ=
2

2 3 θ-1=5-1=-5.

y 方法2:t θ=x=2, a n c o 2 s c o s θ= c o s
2

θ-s n i 2 θ+s n i

2

θ 1-t a n 2 = θ 1+t a n

2

θ 3 2 =- . 5 θ

[答案] B
第三章 第1讲
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【备考·角度说】 No.1 角度关键词:易错分析

(1)误认为角θ的终边为第一象限,导致漏解;(2)直接在终
边y=2x上任取一些特殊点,根据三角函数的定义求值,而不分 情况讨论致误;(3)利用三角函数定义时,易把x,y的位置颠 倒,弄错正弦和余弦的定义.

第三章 第1讲

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No.2

角度关键词:备考建议

(1)利用定义来求任意角的三角函数,关键是求出角的终边

上点P的横、纵坐标及点P到原点的距离,再利用定义求解.
(2)若角的终边落在某条直线上,这时终边位置实际上有两 个,对应的三角函数值有两组,应分别求解. (3)多维思考,方法选择得当,可避免讨论,高效解题.

第三章 第1讲

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经典演练提能

第三章 第1讲

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1.[2013·怀化检测]sin2cos3tan4的值( A.小于0 B.大于0

)

C.等于0
答案:A

D.不存在

解析:∵sin2>0,cos3<0,tan4>0,∴sin2cos3tan4<0.

第三章 第1讲

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2.[1 23 0·

北东模 京城拟

]点P从( 0 1 ) ,

出,单圆 发沿位 (

x2+y2 )

=1逆 针 向 动 时方运 1 3 A.(-2, 2 )

2π 长达 3弧到

Q点 则 Q点 坐 为 , 的标 3 1 B.(- 2 , 2) - 3 1 D.(- , ) 2 2

1 3 C.(- , - ) 2 2

答案:A

第三章 第1讲

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解 : 设α=∠PQ , 三 函 定 可 , 析 O 由角数义知

Q点 坐 的标

1 3 (x,y)满 x=c α,y=s α,∴x= 2 ,y= 2 ,∴Q点 坐 足 o s n i - 的 1 3 标 (-2, 2 ). 为

第三章 第1讲

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3.[1 23 0· 的度是 弧数 π A . 3 π C - . 3 (

安质 庆检 )

]将 的 针 快 表分拨 π B . 6 π D - . 6

10分 , 分 转 钟则钟过

答案:C

第三章 第1讲

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解析:将表的分针拔快应按顺时针方向旋转为负角,∴ 1 A、B不正确,又∵拔快10分钟,应转圆周的 6 ,∴弧度数为- 1 π 6·2π=-3,∴选C.

第三章 第1讲

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4.设θ是 三 限 , 第象角且 A. 一 限 第象角 C. 三 限 第象角

c o s |

θ θ θ |= c , - o s 则 是( 2 2 2

)

B. 二 限 第象角 D. 四 限 第象角

答案:B

第三章 第1讲

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解 : 由 θ是 三 限 , 以 析 于 第象角所 π θ 3π Z),kπ+ < <kπ+ (k∈Z); c 又o s | 2 2 4

3π 2kπ+π<θ<2kπ+ (k∈ 2 θ |= c - o s 2 θ ,以 c 所 o s 2 θ 2

π θ 3π ≤0, 而 2kπ+ 2 ≤ 2 ≤2kπ+ 2 ,(k∈Z), 上 知 从 综可 3π θ <2kπ+ 4 ,(k∈Z), 2是 二 限 . 即 第象角

π θ 2kπ+ 2 < 2

第三章 第1讲

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5.[1 23 0·

大庆调研]已知扇形的周长是4 cm,则扇形面积 )

最大时,扇形的中心角的弧度数是( A.2 1 C.2 B.1 D.3

答案:A

第三章 第1讲

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解: 设扇的径 析 此形半为

r, 长 弧为

l, 2r+l=4则 积 S 则 面

1 1 = rl= r(4-2r)= r2+2r= (r-1)2+1, - - 2 2 ∴当r=1时S最 , 时 大这 l 2 从 α= = =2. 而 r 1 l=4-2r=2.

第三章 第1讲

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第三章 第1讲

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