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数系的扩充与复数的概念


3.1.1《数系的扩充 与复数的概念》

远古的人类,为了统计捕获的野兽和采集的野果,用手指或 石子数个数,历经漫长的岁月,创造了自然数1、2、3、4、5、… 自然数是现实世界最基本的数量,是全部数学的发源地. 古代印 度人最早使用了“0”。公元5世纪时,“0”已经传入罗马。但罗 马教皇凶残而且守旧。他不允许任何使用“0”。有一位罗马学者 在笔记中记载了关于使用“0”的一些好处和说明,就被教皇召去, 砍去了双手。

为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数法的需要,人类引进了负 数.负数概念最早产生于我国,东汉初期的“九章算术”中就有负数的说 法.公元3世纪,刘徽在注解“九章算术”时,明确定义了正负数:“两算得 失相反,要令正负以名之”.不仅如此,刘徽还给出了正负数的加减法运算法 则.千年之后,负数概念才经由阿拉伯传人欧洲。负数的引入,解决了在自然 数集中不够减的矛盾

随着生产、生活的需要,人们发现,仅仅能表示自然数是远 远不行的。如果分配猎获物时,5个人分4件东西,每个人人该得 多少呢?于是分数就产了中国对分数的研究比欧洲早1400多年! 自然数、分数和零,统称为算术数。

2500年古希腊的毕达哥拉斯学派认为, 世间任何数 都可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条. 有一天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1 的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究,终于证 明出它不能用整数或分数表示.但这打破了毕达哥拉斯 学派的信条,于是毕达哥拉斯命令他不许外传.但希伯斯 却将这一秘密透露了出去.毕达哥拉斯大怒, 将他扔入 了大海.



1

1

复习回顾

自然数

数 系 的 扩 充

用韦恩图表示包含关系:

整数
有理数 实数

R

Q

Z

N

思考?

一元二次方程

x ?1 ? 0
2

有没有根?

x ? ?1
2
引入一个新数:

i

满足

i ? ?1
2

现在我们就引入这样一个数 i ,把 i 叫做虚

数单位,并且规定:
(1)i2??1; (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行 四则运算时,原有的加法与乘法的运算律(包括 交换律、结合律和分配律)仍然成立。

我们把形如 a + bi(a、b∈R)的数叫做复数, 其中i叫做虚数单位。复数通常用字母Z表示。

复数的代数式: 通常用字母 z 表示,即

z ? a ? bi (a ? R, b ? R) 其中 i 称为虚数单位。 实部 虚部
?实数?b ? 0? 复数 ? ?纯虚数?a ? 0,b ? 0? ? Z=a+bi ?虚数?b ? 0?? ?非纯虚数?a ? 0,b ? 0? ?

复数相等的条件
如果两个复数的实部和虚部分别相等,那 么我们就说这两个复数相等.

若a, b, c, d ? R,

a ? bi ? c ? di

?a ? c ? ?b ? d ?

a+bi=0有a=0且b=0

例1.请说出下列复数的实部和虚部,
1)2+3i
3)

并判断它们是实数,虚数还是纯虚数。

2)
4)
1 ?3? i 2

?

? 3i

巩固练习
符合下列条件的复数一定存在吗?若存在,请举 出例子;若不存在,请说明理由。 1)实部为? 2 的虚数; 2)虚部为? 2 的虚数; 3)虚部为? 2 的纯虚数; 4)实部为? 2 的纯虚数。

例2: 实数m取什么值时,复数

z ? m ? 1 ? (m ? 1)i

(1)实数? (2)虚数?(3)纯虚数?
解: (1)当 m ? 1 ? 0,即 (2)当 m ? 1 ? 0 ,即 (3)当 ?m ? 1 ? 0

m ? 1时,复数z 是实数. m ? 1时,复数z 是虚数.
即 m ? ? 1时,复数z 是 纯虚数.

? ?m ? 1 ? 0

变式练习
已知集合M={1,2, (a
2

? 3a ?1) ? (a ? 5a ? 6)i
2

}

N={-1,3},若M ? N={3},则a=____.

例3.已知 (2 x ? 1) ? i ? y ? (3 ? y )i, 其中 x , y ? R


x与y.
5 解得 x ? , y ? 4 2

解:根据复数相等的定义,得方程组

?2 x ? 1 ? y ? ?1 ? ?( 3 ? y )

例4 :设


,
,求实数m的值



练习:若 m ? (m 实数m的值
2

2

? 3m)i ? 4 成立,求

选作题:
给出实数-1,1和0,你能构成哪些不同的复数?

1.虚数单位i的引入; 2.复数有关概念:
复数的代数形式: z ? a ? bi (a ? R, b ? R) 复数的实部 、虚部

虚数、纯虚数
复数相等

a ? bi

?a ? c ? c ? di ? ?b ? d ?

作业
1.当m为何实数时,复数Z ? m2 ? m ? 2 ? (m2 ? 1)i 1)实数 2)虚数 3)纯虚数

2.若x,y为实数,且

?

x ? y ? x ? yi ? 2 ? 4i
2 2

?

求x ,y
3.若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6) =0,求x的值.

i


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