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椭圆2.2.1课件


2.1.1椭圆及其 标准方程

教学目标: 1. 理解椭圆、椭圆的焦点和焦距的定义; 2. 掌握椭圆标准方程的推导过程; 3. 会求一些简单的椭圆的标准方程. 4. 通过数形结合,让学生观察猜想归纳,培养学 生自主地获取知识的能力,开拓学生探究发现 能力. 教学重点与难点: 重点:椭圆定义的形成和标准方程的推导. 难点:椭圆标准方程的推导.

生 活 中 的 椭 圆 如何精确地设计、制作、建造出现实生活 中这些椭圆形的物件呢?

什么叫椭圆?

联想圆的定义: 在平面内,到定点的距离等于定长 的点的轨迹。

如果将圆的定义中的一个定点变成两个定 点,动点到定点距离的定长变成动点到两 定点的距离之和为定长。那么,将会形成 什么样的轨迹曲线呢?

几何画板

椭圆的定义
平面内,有两个定点F1,F2,动点P满 足到两定点的距离之和为定值(2a),则 动点P的轨迹是椭圆。

即:|PF1|+|PF2|=2a (2a>2c)
两个定点F1,F2叫椭圆的焦点, 两焦点间的距离叫焦距,记为2c。
P

如果2a=2c,其它条 件都不变,那么动 点P的轨迹是什么图 形?2a<2c呢?

F1

F2

椭圆的标准方程
1.椭圆的标准方程的推导
建 系 设 点 写 出 点 集 列 出 方 程 化 简 方 程 检 验

想 一 想 ?

如何求曲线的方 程呢?

椭圆的标准方程
椭圆的标准方程的推导 1)建系设点: 以F1、F2所在直线为x轴,线 段F1F2垂直平分线为y轴,建立 坐标系。
F1 O y P F2 x

设M(x,y)为椭圆上的任意一点, |F1F2|=2c(c>0), 则F1(-c,0)、F2(c,0) 又设M与F1、F2距离之和等于2a, 2)写出点集: 椭圆的集合为:
M ? {P || PF1 | ? | PF2 |? 2a}

椭圆的标准方程(一)
F1
O

y
P

F2

x

3)列出方程

( x ? c ) ? y ? ( x ? c ) ? y ? 2a
2 2 2 2

4)化简方程:

移项得 ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 2a ? ( x ? c ) 2 ? y 2 b?0 平方整理得 再平方得

(a ? c ) x ? a y ? a (a ? c )
2 2 2 2 2 2 2 2
2

? 2a ? 2c ,
令 a ?c ? b , 代入上式,得
2 2
2 2

即 a ? c ?a 其中 b ? 0

2

?c ? 0
2

b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2

即 y ? x ? 1 (a ? b ? 0) 2 2

a

b

若F1、F2在y轴上,且 F1(0,-c)、F2(0,c)
x y M F1 O F2 x y

y x ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b

2

2

椭圆的标准方程的再认识: y
y
P P

F2(0 , c) F2 (c,0) X
O F1(0,-c) X

F1 (-c,0)

O

⑴椭圆标准方程的形式:左边是两个分式的平方和,右边是1 ⑵椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。 ⑶由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。 ⑷椭圆的标准方程中,x2与y2的分母哪一个大,则焦点 在 哪一个轴上。

x y 则a= 5 ,b= 3 ; 1. 2 ? 2 ? 1, 5 3 2 2 x y 则a= 6 ,b= 4 ; 2. 2 ? 2 ? 1, 4 6 2 2 x y 3 2 则 a = , b = ; 3. ? ? 1, 9 4 2 2 x y 3 7 则 a = , b = ; 4. ? ? 1,

2

2

3

7

写出下列椭圆的焦点坐标

x y ? ?1 25 16
2 2

2

2

答:在x轴上 (-3,0),(3,0)

x y ? ? 1 答:在y轴上 (0,5),(0,-5) 144 169 2 2 x y 答:在x轴上 ? ? 1 (a ? 0) (-1,0),(1,0) a ?1 a
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则: x2与y2的分母哪一个大,则焦点在哪一个轴上。

例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0), 椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10; 解:(1)因为椭圆的焦点在X轴上,所以设它的标准方程为 x2 y2 ? ?1( a ?b ?0) a 2 b2 因为2a=10,2c=8,所以a=5,c=4, b2 ?a 2 ?c2 ?52 ?42 ?9

故所求的椭圆的标准方程为

2 x 25

?

2 y 9

?1

例2.两个焦点的坐标分别是(-4,0)(4,0), 椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10;
变题一:若将例2焦点改为(0,-4)、(0,4)

结果如何?

y2 x2 ? ?1 25 9
变题二:将例2改为两个焦点的距离为8,椭圆上 一点P到两焦点的距离和等于10,结果会怎样?

x2 25

?

y2 9

?1

2 y 25

?

2 x 9

?1

小结:求椭圆标准方程的步骤: ①定位:确定焦点所在的坐标轴; ②定量:求a, b的值。 练习: 求适合下列条件的椭圆的标准方程:

⑴a= 6 ,b=1, 焦点在x轴上。 ⑵焦点为F1(0,-3), F2(0,3),且a=5。 ⑶a=6,c=


课堂总结:
1、椭圆的定义 平面内点M与两个定点F1、F2的距离的和等 于常数(记|MF1|+|MF2|=2a)的点M的轨迹是: 椭圆 (1)当|MF1|+|MF2|>|F1F2|时点M的轨迹是为 _____; F1F2 . (2)当|MF1|+|MF2|=|F1F2|时点的轨迹为线段 _________; 不存在 。 (3)当|MF1|+|MF2|<|F1F2|时点M的轨迹________ 2、椭圆的标准方程 -----X型 ----Y 型

其中椭圆的焦点的位置由___________________ X2、y2项的分母的大小 来确定。

布置作业


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