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高中数学


数列中的数学思想
丁赛军

在数列综合问题中蕴含着许我重要的数学思想,如归纳思想、函数思想、方程思想、递 推思想、化归思想、分类讨论思想,在这些思想的指导下产生许多解决数列问题的方法,让 学生充分理解和掌握这些思想和方法,对提高解决数列综合问题的能力很为重要。 一. 归纳思想 通过对命题在特殊情况下的考察与探索, 发现并归纳出一般性的结论, 再运用数学的方 法对结论进行证明, 这种归纳思想形成了解决数列问题的一种重要方法; 观察、 归纳、 猜想、 证明。

例 1. 设 式为 成一个新数列

是数列

的前 n 项和,且 ,将数列 和

,数列

的通项公

的公共项按它们在原数列中的先后顺序排

,求



分析:由

,得

,直接求出它们的公共项比较困难,可列举它们

开始的若干项进行观察,发现规律后再进行证明。

解:

, 727,……,2187,……。

猜想:

,……是公共项,即



证明:若

是公共项,则存在

,使得



那么

这说明当 二. 方程思想

是公共项时,

不是公共项,

是公共项,



在等差与等比数列中,常常需要研究 程思想为指导,寻找未知数个数与方程个数间的关系。

之间关系,我们可以以方

例 2. 设

是等差数列

的前 n 项和, 已知



的等比中项为





的等差中项为 1,求



解:由题意知



解得





三. 递推思想 在数列问题中,学生往往很重视通项,但有时用递推关系给出数列比通项更简洁,这就 要求培养学生的递推思想。 例 3. 某林场原有森林木材量 a,木材以每年 25%的增长率生成,而每年要砍伐的木材 量为 x,为使经过 20 年木材存有量翻两番,求每年砍伐量 x( )

分析:设经过 n 年后木材量为

,则根据题意有



其中

于是数列

是首项为

,公比为

的等比数列,

由题意知

时,



四. 函数思想

数列是特殊的函数,因而许多数列问题的讨论可用函数方法解决。

例 4. 在 xOy 平面上有一点列

,……,

对每个自然数 n, 点 与点

位于函数 为顶点的等腰三角形。

的图象上, 且点

、 点

构成一个以

(1)求点

的纵坐标

的表达式;

(2)若对每个自然数 n,以 围。

为边长能构成一个三角形,求 a 的取值范

分析:(1)由点

、点(n,0)与点

构成以

为顶点的等腰三角形,知



又 点

在函数

的图象上

(2)

函数

是减函数

对每个自然数 n 都有

则以

为边长能构成三角形的充要条件是



解得



五. 分类讨论思想 数列中许多问题在不同的情形下可得到不同的结论,这时往往需分类讨论。

例 5. 3 个实数 公差为 1 的等差数列,求此时 a 的值。



适当排列,分别取常用对数后构成

分析: 此题关键是 3 个数以怎样的顺序构成等差数列?由公差为 1 可知, 所成等差数列 一定是递增的,所以需判断这 3 个数的大小关系,从而减少分类次数。

解:记

由题意知

解得

考虑差



(1)当

时,

(不舍题意)

(2)当

时,

,此时有

构成公差为 1 的等差数列,即



解得

(3)当

时,

,此时

构成公差为 1 的等差数列,即

上述方程组无解,即 a 不存在。

综合(1)(2)(3)知


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