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九年级数学下册


弧长和扇形的面积

知识回顾
圆的周长公式 o
r

p

C=2πr
圆的面积公式

2 S=πr

问题情景:
如图23.3.1是圆弧形状的铁轨示意图,其中铁轨 的半径为100米,圆心角为90°.你能求出这段 铁轨的长度吗? 解:∵圆心角900

1 图 23.3.1 ∴铁轨长度是圆周长的 4 1 ? 2? ? 100 ? 50?米 则铁轨长是
4

问题探究
上面求的是的圆心角900所对的弧长,若圆心角 为n0,如何计算它所对的弧长呢?

思考:

请同学们计算半径为 r,圆心角分别为1800、900、 450、n0所对的弧长。

图 23.3.2

圆心角占整个周角的
1800

所对弧长是

180 360 90 360 45 360 n 360

180 ? 2?r 360 90 ? 2?r 360 45 ? 2?r 360

900

450

n0

n ? 2?r 360

结论:
如果弧长为l,圆心角度数为n,圆的半径为r,那 么,弧长的计算公式为:

练一练:

n n?r l? ? 2?r ? 360 180

已知圆弧的半径为50厘米,圆心角为60°,求此 圆弧的长度。 n n?r 解: l ? ? 2?r ? 360 180 50 cm ? 答:此圆弧的长度为 50 3 ? cm =
3

扇形: 如图,由组成圆心角的两条半径
和圆心角所对的弧所围成的图形 叫扇形.

Q l n° r O
扇 形 面 积 S

怎样计算圆心角是n0 的扇形面积?

圆心角占整个周角的 所对扇形面积是
1800

180 360 90 360 45 360 n 360

180 2 ? ?r 360 90 2 ? ?r 360 45 2 ? ?r 360

900

450

n0

n 2 ? ?r 360

结论:

如果扇形面积为s,圆心角度数为n,圆半径是r, 那么 扇形面积计算公式为 Q 2

l n° r O
扇 形 面 积 S

n s? ? ?r 360

n?r r 1 ? ? ? lr 180 2 2

n 1 2 s? ? ?r 或s ? lr 360 2

小试牛刀: 1、如果扇形的圆心角是230°,那么这个扇形的 面积等于这个扇形所在圆的面积的____________; 2、扇形的面积是它所在圆的面积的 形的圆心角的度数是_________°.

2 3

,这个扇

3、扇形的面积是S,它的半径是r,这个扇形的弧 ; 长是_____________

23 答案: 36

240°,

2s r

例题讲解

例1 如图23.3.5,圆心角为60°的扇形的半径为 10厘米,求这个扇形的面积和周长.(π≈3.14) 解:因为n=60°,r=10厘米,所以扇形面积为

n?r 60? 3.14?10 S? ? ≈52.33(平方厘米); 360 360 扇形的周长为 n?r 60 ? 3.14 ? 10 l? ? 2r ? ? 20 180 180 ≈ 30.47(厘米)。 图 23.3.5
2 2

例2.

扇 形 AOB 的 半 径 为 12cm,

?AOB =120?,

求AB的 长 ( 精 确 到 0.1cm) 和 扇 形 AOB 的 面 积 ( 精 确 到 0.1c m2) . n?r 0 解:∵n=120 ,r=12厘米 ∴弧AB为 l ?

120 ? 3.14 ?12 ? ? 25.12 ? 25.1 cm 180 1 1 ∴扇形AOB面积为 s ? lr ? 2 ? 25.12 ?12 2 ? 150.7 cm2 =150.72

180

下面是圆弧形桥拱,其每拱的跨度为40m,拱形的半径为29m,求 拱形的高.

C

转化为数学模型为: 有一圆弧形桥拱,拱的 跨度AB=40m,拱形的半 径R=29m,求拱形的高.

D
A B

O

1 AB =20m 解:如图:由垂径定理得:BD= 2
在直角三角形BOD中: OD2 =OB2 - BD2 OD2 =292 - 202 OD=21 m 所以拱形的高CD=29-21=8m

一、弧长的计算公式

n n?r l? ? 2?r ? 360 180 1 或s ? lr 2

二、扇形面积计算公式

n 2 s? ? ?r 360


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