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解三角形应用举例


1.2.1 应用举例

解斜三角形公式、定理
正弦定理: a

b c ? ? ? 2R sin A sinB sinC
2
b2 ? c2 ? a 2 cos A ? , 2bc

a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 b ? a ? c ? 2ac cos B c ?

a ? b ? 2abcosC
2 2 2

余弦定理: 2 2

a 2 ? b2 ? c2 cosC ? 。 2ab

c2 ? a2 ? b2 cos B ? , 2ca

三角形边与角的关系:

1、A ? B ? C ? 180 ?
2、 大角对大边,小角对小边 。

2.余弦定理的作用 (1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其它两角; (3)判断三角形的形状。 推论:
在?ABC中,

若a 2 ? b2 ? c 2,则C为直角;

若a 2 ? b2 ? c 2,则C为锐角;

若a 2 ? b2 ? c 2,则C为钝角;

三角形的面积公式

S? ? absin C ? bcsin A ? acsin B
1 2 1 2 1 2

斜三角形的解法 已知条件
定理选用

一般解法

一边和两角 由A+B+C=180?,求出另一角,再 正弦定理 用正弦定理求出两边。 (ASA或AAS)

两边和夹角 (SAS)
三边(SSS)

用余弦定理求第三边,再用余弦 余弦定理 定理求出一角,再由 A+B+C=180?得出第三角。 用余弦定理求出两角,再由 余弦定理 A+B+C=180?得出第三角。

用正弦定理求出另一对角,再由 两边和其中一 正弦定理 A+B+C=180?,得出第三角,然 边的对角(SSA) 后用正弦定理求出第三边。

正弦定理和余弦定理在实际测量中有许 多应用 :

(1)测量距离. (2)测量高度. (3)测量角度.

解斜三角形中的有关名词、术语:
– (1)坡度:斜面与地平面所成的角度。 – (2)仰角和俯角:在视线和水平线所成的角中, 视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下 方的角叫俯角。 – (3)方位角:从正北方向顺时针转到目标方向 的夹角。 – (4)视角:由物体两端射出的两条光线在眼球 内交叉而成的角

B 60o

C

45o 50m
A

例1.设A、B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离。
测量者在A的同测,在所在的河岸边选定一点C, 测出AC的距离是50cm,∠BAC=45o, ∠ACB =60o,求A、B两点间的距离.

分析:已知两角一边,可以用正弦定理解三角形

AB AC = sin C sin B

解:根据正弦定理,得

AB AC ? sin ?ACB sin ?ABC AC sin ?ACB 55sin ?ACB AB ? ? sin ?ABC sin ?ABC ? ? 55sin 75 55sin 75 ? ? ? 65.7(m) ? ? ? ? sin(180 ? 51 ? 75 ) sin 54
答:A,B两点间的距离为65.7米。

B

A

D

C

例2、如图, A, B两点都在河的对岸(不可到 达), 设计一种测量A, B两点间距离的方法.
解:如图,测量者可 以在河岸边选定两点 C、D,设CD=a, ∠BCA=α,∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠ADB=δ
A B

δ D

γ

a

β

α C

分析:用例1的方法,可以计算出河的这一岸的一 点C到对岸两点的距离,再测出∠BCA的大小, 借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。

解:测量者可以在河岸边选定两点C、D,测得CD=a,并 且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.在 ADC和 BDC ?中,应用正弦定理得 ?

a sin(? ? ? ) a sin(? ? ? ) AC ? ? ? sin ? ?180 ? ( ? ? ? ? ? ) ? ? sin( ? ? ? ? ? )
?

a sin ? a sin ? BC ? ? ? sin ? ?180 ? (? ? ? ? ? ) ? ? sin(? ? ? ? ? )
计算出AC和BC后,再在?ABC中,应用余弦定理计 算出AB两点间的距离

AB ? AC ? BC ? 2 AC ? BC cos?
2 2

变式训练:若在河岸选取相距40米的C、D两 ? ? ? 60 30 45 点,测得? BCA= , ?ACD= , ?CDB= , ?BDA= 60? 求A、B两点间距离 .

注:阅读教材P12,了解基线的概念

练习1.一艘船以32.2n mile / hr的速度向正 北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的 方向,30min后航行到B处,在B处看灯塔 在船的北偏东65o的方向,已知距离此灯塔 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域,这 艘船可以继续沿正北方向航行吗?
解:在?ASB中,?SBA=115?, ?S ? 45?,由正弦定理得 AB sin 20? 16.1sin 20? SB ? ? ? 7.787( n mile) sin 45? sin 45? 设点S 到直线AB的距离为h, 则 h ? SB sin 65? ? 7.06( n mile) ? h ? 6.5n mile ? 此船可以继续沿正北方向航行 答:此船可以继续沿正北方向航行

变式练习:两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都 等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o,灯塔B 在观察站C南偏东60o,则A、B之间的距离为多 少?

练习2.自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度.已知车厢的最大仰角是60°,油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为 6°20’,AC长为1.40m,计算BC的长(精确到0.01m). (1)什么是最大仰角?

(2)例题中涉及一个怎样的三角
形? 在△ABC中已知什么,要求什么?

最大角度

C A B

练习2.自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度.已知车厢的最大仰角是60°,油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为 6°20’,AC长为1.40m,计算BC的长(精确到0.01m). 已知△ABC中AB=1.95m,AC=1.40m, 夹角∠CAB=66°20′,求BC.

解:由余弦定理,得
BC 2 ? AB 2 ? AC 2 ? 2 ? AB ? AC ? cos A ? 1.952 ? 1.402 ? 2 ?1.95 ?1.40 ? cos 66? 20? ? 3.571

最大角度

? BC ? 1.89(m)

C A B

答:顶杆BC约长1.89m。

测量垂直高度
1、底部可以到达的
测量出角 C 和 BC 的长度,解直 角三角形即可求出AB的长。

2、底部不能到达的

例3. AB是底部B不可到达的一个建筑物, A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑 物高度AB的方法.
想一想 A

图中给出了怎样的一个 几何图形?已知什么,

求什么?

D G

?

C H

?

E B

例3 AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为建筑 物的最高点,设计一种测量建筑物高度AB的方法
分析:由于建筑物的底部B 是不可到达的,所以不能直 接测量出建筑物的高。由解 直角三角形的知识,只要能 测出一点C到建筑物的顶部 A的距离CA,并测出由点C 观察A的仰角,就可以计算 D 出建筑物的高。所以应该设 G 法借助解三角形的知识测出 CA的长。

A

?

C

?

E B

H

例3. AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为建筑物 的最高点,设计一种测量建筑物高度AB的方法 解:选择一条水平基线HG,使 H,G,B三点在同一条直线上。由 在H,G两点用测角仪器测得A的 仰角分别是α,β,CD=a,测角仪 ? 中, 器的高是h.那么,在 ACD 根据正弦定理可得

A

a sin ? AC ? sin(? ? ? )

D G

?

C H

?

E
B

a sin ? sin ? AB ? AE ? h ? AC sin ? ? h ? ?h sin(? ? ? )

例4.如图, 在山顶 铁塔上B处测得地 面上一点A的俯角

? ? 54 0 40' , 在塔底
C处测得A处的俯 角? ? 50 01'. 已知铁 塔BC 部分的高为 27.3m, 求出山高C D (精确到1m).
分析:根据已知条件,应该设 法计算出AB或AC的长
D A C B

?
?

解:在⊿ABC中,∠BCA= 90° +β, ∠ABC= 90° -α, ∠BAC=αβ, ∠BAD=α.根据正弦定理,
BC AB ? sin(? ? ? ) sin( 90? ? ? )
BC sin(90? ? ? ) BC cos ? 所以,AB ? ? sin(? ? ? ) sin(? ? ? )

B C

?
?

解Rt?ABD, 得 BC cos ? sin ? BD ? AB sin ?BAD ? sin(? ? ? )

D

A

27.3 cos 50?1' sin 54? 40' ? sin( 54? 40' ? 50?1' ) ? 177 (m) CD=BD-BC≈177-27.3=150(m)
答:山的高度约为150米。

例3:如图,一辆汽车在一条水平的公路上向 正西行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D 在西偏北150的方向上,行驶5km后到达B处,测 得此山顶在西偏北250的方向上,仰角为80,求 此山的高度CD 分析:要测出高CD,只要测出
高所在的直角三角形的另一条 直角边或斜边的长。根据已知 条件,可以计算出BC的长。

例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得 公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上,行驶5km后到 达B处,测得此山顶在东偏南25°的方向上,仰角8°,求此山 的高度CD.

解:在⊿ABC中, ∠A=15°,

?15°=10°. ∠C= 25°
根据正弦定理,

BC AB ? sin A sin C

AB sin A 5 sin 15? BC ? ? ? 7.4524(km). ? sin C sin 10

CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m) 答:山的高度约为1047米。

变式:某人在M汽车站的北偏西200的方 向上的A处,观察到点C处有一辆汽车 沿公路向M站行驶。公路的走向是M站 的北偏东400。开始时,汽车到A的距离 为31千米,汽车前进20千米后,到A的 距离缩短了10千米。问汽车还需行驶 多远,才能到达M汽车站?

正弦定理和余弦定理在实际测量中有许 多应用 :

(3)测量角度.

例6.如图, 一艘海轮从A出发, 沿北偏东750的方向 航行67.5nmile后到达海岛B, 然后从B出发, 沿北偏 东320的方向航行54.0nmile后到达海岛C.如果下次 航行直接从A出发到达C , 此船应该沿怎样的方向 航行, 需要航行多少距离(角度精确到0.10 , 距离精 确到0.01nmile ).

例6 一艘海轮从A出发,沿北偏东75°的方向航行67.5n mile 后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32°的方向航行54.0n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该 沿怎样的方向航行,需要航行多少距离(角度精确到0.1°,距 离精确到0.01n mile)?

解:在 △ABC中,∠ABC= 180°-75°+32°=137°, 根据余弦定理,

AC ? AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos ?ABC ? 67.52 ? 54.02 ? 2 ? 67.5 ? 54.0 cos137 ? ? 113.15

练习

1.如下图是曲柄连杆机构的示意图,当曲柄CB绕C点旋转

时,通过连杆AB的传递,活塞作直线往复运动,当曲柄在CB
位置时,曲柄和连杆成一条直线,连杆的端点A在A处,设连 杆AB长为340mm,由柄CB长为85mm,曲柄自CB按顺时针方

向旋转80°,求活塞移动的距离(即连杆的端点A移动的距
离 A0 A )(精确到1mm)

解 题 过 程
已知△ABC中, BC=85mm,AB=340mm,∠C=80°,

求AC. 解:(如图)在△ABC中, 由正弦定理可得: BC sin C 85 ? sin 80? sin A ? ? ? 0.2462 AB 340
因为BC<AB,所以A为锐角 , A=14°15′ ∴ B=180°-(A+C)=85°45′ 又由正弦定理: AB sin B 340 ? sin 85? 45? AC ? ? ? 344.3( mm ) sin C 0.9848

解 题 过 程

?

A0 A ? A0C ? AC ? ( AB ? BC ) ? AC ? ( 340 ? 85) ? 344.3 ? 80.7 ? 81( mm )

答:活塞移动的距离为81mm.

练习
2.我舰在敌岛A南偏西50°相距12海里的B处,发现敌舰正 由岛沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需 以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰? C

解:如图,在△ABC中由余弦定理得:
BC 2 ? AC 2 ? AB 2 ? 2 ? AB ? AC ? cos ?BAC 1 ? 20 ? 12 ? 2 ? 12 ? 20 ? ( ? ) 2 ? 784
2 2

10? A
50? 40?

   ?

BC ? 28

∴我舰的追击速度为14海里/小时,

B

又在△ABC中由正弦定理得:

AC BC ? sin B sin A

AC sin A 5 3 故 sin B ? ? BC 14

?

B ? 38?

故我舰航行的方向为北偏东 50? ? 38? ? 12?

3. 3.5m长的木棒斜靠在石堤旁,棒 的一端离堤足1.2m的地面上,另一 端沿堤上2.8m的地方,求地对地面 的倾斜角。

63.77

?

总 结

实际问题

抽象概括 示意图

数学模型 推 理 演 算

实际问题的解

还原说明

数学模型的解


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