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圆锥曲线专题训练


专题训练 1:椭圆
椭圆的定义及方程:1、8 椭圆的几何性质:4、7、 椭圆的综合运用:2、3、5、6、9

一、选择题 1.中心在原点,焦点在 x 轴上,若长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴三等 分,则此椭圆的方程是( x2 y2 A.81+72=1 ) x2 y2 C.81+45=1 x2 y2 D.81+36=1

x2

y2 B.81+ 9 =1

1 解析:依题意知:2a=18,∴a=9,2c=3× 2a,∴c=3, x2 y2 ∴b2=a2-c2=81-9=72,∴椭圆方程为81+72=1. 答案:A x2 2.设 F1,F2 分别是椭圆 4 +y2=1 的左、右焦点,P 是第一象限内该椭圆上 的一点,且 PF1⊥PF2,则点 P 的横坐标为( A.1 8 B.3
2

) 2 6 D. 3

C.2 2
2

x2 2 解析:由题意知,点 P 即为圆 x +y =3 与椭圆 4 +y =1 在第一象限的交点, x2+y2=3, ? ? 2 6 解方程组?x2 2 得点 P 的横坐标为 3 . +y =1, ? ?4 答案:D y2 3.设 F1,F2 分别是椭圆 E:x +b2=1(0<b<1)的左、右焦点,过 F1 的直线 l
2

与 E 相交于 A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,则|AB|=( 2 A.3 B.1
2

)

4 C.3

5 D.3

y2 解析:由椭圆 E:x +b2=1(0<b<1)知,a=1,
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∵ |AF1|+|AF2|=2a=2,|BF1|+|BF2|=2a=2,两式相加得|AF1|+|AF2|+|BF1|+ |BF2|=4,∴ |AF2|+|BF2|=4-(|AF1|+|BF1|)=4-|AB|. ∵ |AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,∴ 2|AB|=|AF2|+|BF2|,于是 2|AB|=4-|AB|, 4 ∴ |AB|=3. 答案:C x2 y2 1 4.设椭圆a2+b2=1(a>b>0)的离心率 e=2,右焦点为 F(c,0),方程 ax2+bx-c =0 的两个实根分别为 x1 和 x2,则点 P(x1,x2)( A.必在圆 x2+y2=2 内 C.必在圆 x2+y2=2 外 )

B.必在圆 x2+y2=2 上 D.以上三种情形都有可能

c 1 a b c 2 解析:由已知得 e=a=2,则 c=2.又 x1+x2=-a,x1x2=-a,所以 x2 1+x2=
2 2 2 b2 2c b +2ca b +a 2a2 (x1+x2) -2x1x2=a2+ a = a2 = a2 < a2 =2,因此点 P(x1,x2)必在圆 x2+y2 2

=2 内. 答案:A x2 y2 5.已知 F1,F2 是椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左,右焦点,过 F1 的直线与椭圆相 交于 A,B 两点,若 A→ B· A→ F 2=0,|A→ B |=|A→ F 2|,则椭圆的离心率为( A. 6- 3 C. 3-1 B. 3- 2 D. 2-1 )

解析: 在 Rt△ ABF2 中, 设|AF2|=m, 则|AB|=m, |BF2|= 2m, 所以 4a=(2+ 2)m. 2 3 ? 2 ? 又在 Rt△ AF1F2 中, |AF1|=2a-m= 2 m, |F1F2|=2c, 所以(2c)2=? m?2+m2=2m2, 2 ? ? 6 2c 则 2c= 2 m.所以椭圆的离心率 e=2a= = 6- 3. 2 1+ 2 答案:A x2 y2 6.在等差数列{an}中,a2+a3=11,a2+a3+a4=21,则椭圆 C:a +a =1 的 6 5 离心率为________.
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6 2

解析:由题意得 a4=10,设公差为 d,则 a3+a2=(10-d)+(10-2d)=20-3d =11,∴ d=3,∴ a5=a4+d=13,a6=a4+2d=16>a5, ∴ e= 16-13 3 =4. 4

3 答案: 4

二、填空题 x2 y2 7.已知 F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆a2+b2=1 的两个焦点,若椭圆上一点 P 满 足|PF1|+|PF2|=4,则椭圆的离心率 e=________. 解析:由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=4,所以 2a=4,解得 a=2,又 c=1,所以 c 1 e=a=2. 1 答案:2 x2 y2 8.设 F1、F2 分别是椭圆25+16=1 的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是 F1P 的中点,|OM|=3,则 P 点到椭圆左焦点的距离为________. 1 解析:由题意知|OM|=2|PF2|=3,∴ |PF2|=6. ∴ |PF1|=2× 5-6=4. 答案:4 x2 y2 9.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:25+ 9 =1 的左、右焦点分别是 F1, F2,P 为椭圆 C 上的一点,且 PF1⊥ PF2,则△ PF1F2 的面积为________. 解析:∵ PF1⊥ PF2,∴ |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,由椭圆方程知 a=5,b=3,∴ c
2 2 2 ?|PF1| +|PF2| =4c =64, ? =4,∴ 解得|PF1||PF2|=18, ?|PF1|+|PF2|=2a=10,

1 1 ∴ △ PF1F2 的面积为2|PF1||PF2|=2× 18=9. 答案:9

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专题训练 2:双曲线
双曲线定义及方程:1、2、 双曲线几何性质:4、5 双曲线综合运用:3、6、7、8

一、选择题 1.已知双曲线的渐近线方程为 y=± 3x,焦点坐标为(-4,0),(4,0),则双曲 线方程为( ) x2 y2 B.12-14=1 x2 y2 C.24- 8 =1 x2 y2 D. 4 -12=1

x2 y2 A. 8 -24=1

解析:双曲线的渐近线方程为 y=± 3x,焦点在 x 轴上.设双曲线方程为 x2 y2 x2 y2 - 3 =λ(λ≠0), 即 λ -3λ=1, 则 a2=λ,b2=3λ.∵ 焦点坐标为(-4,0),(4,0),∴ c=4, x2 y2 ∴ c =a +b =4λ=16,解得 λ=4,∴ 双曲线方程为 4 -12=1.
2 2 2

答案:D x2 y2 2.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 4 -12=1 上一点 M 的横坐标为 3, 则点 M 到此双曲线的右焦点的距离为( A.4 B.2 C.3 ) D.6

解析:由题易知,双曲线的右焦点坐标为(4,0),点 M 的坐标为(3, 15)或(3, - 15),则点 M 到此双曲线的右焦点的距离为 4. 答案:A y2 3.设 F1,F2 分别是双曲线 x - 9 =1 的左、右焦点,若点 P 在双曲线上,且
2

→· → → → PF 1 PF2=0,则|PF1+PF2|=( A. 10 B.2 10

) C. 5 D.2 5

→· → → PF → ,又由向量加法的平行四边形法则 解析:如图,由PF 1 PF2=0 可得PF1⊥ 2 → +PF → |=|P→ 可知? PF1QF2 为矩形, 因为矩形的对角线相等, 故有|PF Q |=2c=2 10, 1 2 所以选 B.
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答案:B x2 y2 4.已知 A,B,P 是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)上不同的三个点,且 A,B 的 2 连线经过坐标原点,若直线 PA、PB 的斜率的乘积 kPA· kPB=3,则该双曲线的离心 率为( 5 A. 2 ) 6 B. 2 C. 2 15 D. 3

解析:因为 A,B 的连线经过坐标原点,所以 A、B 关于原点对称,设 P(x0, x2 y2 x2 y2 0 0 1 1 y0),A(x1,y1),B(-x1,-y1),由 A,B,P 在双曲线上得a2-b2=1,a2-b2=1,
2 2 2 2 y2 y0-y1 y0+y1 y2 c2-a2 2 0-y1 b 0-y1 b 两式相减并且变形得 2 2=a2.又 kPA· kPB= · = 2= 2= ,即 3 a2 x0-x1 x0-x1 x0+x1 x2 0-x1 a

2 15 =e2-1=3,故双曲线的离心率 e= 3 . 答案:D 二、填空题 x2 y2 5.在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 m- 2 =1 的离心率为 5,则 m m +4 的值为________. c2 m+m +4 解析:建立关于 m 的方程求解.∵ c2=m+m2+4,∴ e2=a2= =5, m ∴ m2-4m+4=0,∴ m=2. 答案:2 x2 → =e , 6.直线 x=2 与双曲线 C: 4 -y2=1 的渐近线交于 E1,E2 两点,记OE 1 1 → =e ,任取双曲线 C 上的点 P,若OP → =a e +b e ,则实数 a 和 b 满足的一个等 OE 2 2 1 2 式是________________. 解析: 该题综合考查直线与圆锥曲线的位置关系、向量线性表示及坐标运
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2

?2a+2b=x0 算.可先求出 e1=(2,1),e2=(2,-1),设 P(x0,y0),则? ?a-b=y0, 1 ∴ (a+b)2-(a-b)2=1,∴ ab=4, 1 答案:ab=4 b2+1 x2 y2 7. 若双曲线a2-b2=1(a>0, b>0)的离心率是 2,则 3a 的最小值为________. b2+1 3a2+1 c 解析:由双曲线的离心率 e=2 得,a=2,从而 b= 3a>0,所以 3a = 3a 1 =a+3a≥2 1 a· 3a=2 1 2 3 1 3 3= 3 ,当且仅当 a=3a,即 a= 3 时,“=”成立.

2 3 答案: 3 x2 y2 8.已知 P 是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)上的点,F1、F2 是其焦点,双曲线的 5 →· → 离心率是4,且PF 1 PF2=0,若△ PF1F2 的面积为 9,则 a+b 的值为________. 解析:设|PF1|=x,|PF2|=y,则由△ PF1F2 面积为 9 及 PF1⊥ PF2 可得 xy=18, 5 x2+y2=4c2,故(x-y)2=4c2-36=4a2,又 e=4,得 c=5,a=4, ∴ b=3,∴ a+b=7. 答案:7

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专题训练 3:抛物线
抛物线的定义及其运用:4、 抛物线的标准方程及几何性质:3、6、7、8 直线与抛物线的位置关系:1、2、5

一、选择题 1.过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y2=4x 仅有一个公共点,这样的直线有 ( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条

解析:结合图形分析可知,满足题意的直线共有 3 条:直线 x=0,过点(0,1) 且平行于 x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线 x=0). 答案:C 2.已知过抛物线 y2=6x 焦点的弦长为 12,则此弦所在直线的倾斜角是( π 5π A.6或 6 π 3π B.4或 4 π 2π C.3或 3 π D.2 )

2p 6 2 π 3π 解析:由焦点弦长公式|AB|=sin2θ得sin2θ=12,∴ sin θ= 2 ,∴ θ=4或 4 . 答案:B → +FB → +FC → 3. 设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点, A、 B、 C 为该抛物线上三点, 若FA → |+|FB → |+|FC → |=( =0,则|FA A.9 B.6 ) C.4 D .3

→ +FB → +FC → =0, → 解析: 由于抛物线 y2=4x 的焦点 F 的坐标为(1,0), 由FA 可取FB 3 ? → +FC → =(1,0),注意到对称性,可令 A 的坐标为? ?2, 6?,C 的 =(-1,0),此时,FA ? ? ?3 ? → |+ |FB → |+ |FC → |= 2 坐标为?2,- 6?.于是,可得|FA ? ? 选 B. 答案:B 4. 过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A, B 两点, O 为坐标原点. 若 |AF|=3,则△ AOB 的面积为( )
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?3 ? ?2-1?2+ 62+1=5+1=6. ? ?

2 A. 2

B. 2

3 2 C. 2

D.2 2

解析:利用抛物线的定义和直线与抛物线的位置关系求解. 如图所示,由题意知,抛物线的焦点 F 的坐标为(1,0), 又|AF|=3,由抛物线定义知:点 A 到准线 x=-1 的距离为 3,∴ 点 A 的横坐 标为 2.将 x=2 代入 y2=4x 得 y2=8, 由图知点 A 的纵坐标 y=2 2,

∴ A(2,2 2), ∴ 直线 AF 的方程为 y=2 2(x-1). ? 1 ?x= , ?y=2 2x- , 联立直线与抛物线的方程? 2 解之得? 2 ?y =4x, ? ?y=- 2 ?x=2, 或? ?y=2 2.

1 1 3 ?1 ? 由图知 B?2,- 2?,∴ S△ AOB=2|OF|· |yA-yB|=2× 1× |2 2+ 2|=2 2. ? ? 答案:C → 5.已知 A、B 为抛物线 C:y2=4x 上的不同两点,F 为抛物线 C 的焦点,若FA → ,则直线 AB 的斜率为( =-4FB 2 A.± 3 3 B.± 2 ) 3 C.± 4 4 D.± 3

→ =-4FB → ,∴ → |=4|FB → |,设|BF|=t,则|AF|=4t,如图所示,点 A、 解析:∵ FA |FA B 在抛物线 C 的准线上的射影分别为 A1、B1,过 A 作 BB1 的垂线,交线段 B1B 的 延长线于点 M,则|BM|=|AA1|-|BB1|=|AF|-|BF|=3t. 又|AB|=|AF|+|BF|=5t, 4 ∴ |AM|= |AB|2-|BM|2 =4t,∴ tan∠ ABM=3.由对称性可知,这样的直线 AB 有

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4 两条,其斜率为± 3.

答案:D 6.已知抛物线 y2=4x,过焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点,过 A,B 分别作 y 轴的垂线,垂足分别为 C,D,则|AC|+|BD|的最小值为________. 解析:由题意知 F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取 得最小值时当且仅当 |AB|取得最小值.依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p =4 时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为 2. 答案:2 二、填空题 7.已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆 x2+y2-6x-7=0 相切,则 p 的值为 ________. p 解析:依题意得,直线 x=-2与圆(x-3)2+y2=16 相切,因此圆心(3,0)到直 p p 线 x=-2的距离等于半径 4,于是有 3+2=4,即 p=2. 答案:2 →· → 取得最 8.已知点 A(2,0),B(4,0),动点 P 在抛物线 y2=-4x 上运动,则AP BP 小值时点 P 的坐标是________. 解析:
2 2 2 ?-y ? → ? y ? → ? y ? → → - - 2 , y - -4,y? , AP ? ? ? ? 设 P? 则 AP = , BP = · BP = ,y ? 4 ? ? 4 ? ? 4 ?

2 2 4 ? y ?? y ? 2 y 5 2 ?- 4 -2?· ?- -4?+y = + y +8≥8,当且仅当 y=0 时取等号,此时点 P 的坐 16 2 ? ?? 4 ?

标为(0,0). 答案:(0,0)

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