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1.2 集合之间的关系(含答案)


第一章 集合和命题

1.2 集合之间的关系
【课堂例题】 例 1.设 A, B, C 是三个集合,若 A ? B 且 B ? C ,试证 A ? C .

例 2.试判定下列两个集合的包含关系或相等关系并简述理由. (1) ? (2) {x | x ? 5} (3) {n | n 是 12 的正约数 } (4) {n | n 是 4 的正整数倍 } 例 3.求出所有符合条件的集合 C (1) C ? {1, 2,3} ;

{x | ?2 ? x ? ?3} ;
{x | x ? 6} ; {1, 2,3, 4,6,8,12} ;

{n | n ? 2k , k ? Z ? } .

(2) C ? {a, b} ;

(3) {1, 2,3} ? C ? {1, 2,3, 4,5} .

(选用)例 4.已知 A ? {x | x ? 2k ? 1, k ? Z }, B ? {x | x 是被 4 除余 3 的整数 } ,判断 A, B 之间 的关系并证明之. .

第一章 集合和命题

1.2 集合之间的关系
【知识再现】 1.对于两个集合 A 与 B , (1)如果 ,那么集合 A 叫做集合 B 的子集, 记作________或________,读作 或者_________________; (2)如果 A 是 B 的子集并且___________________________________,那么集合 A 与集合 B 相等,记作 ; (3)如果 A 是 B 的子集并且___________________________________,那么集合 A 叫做集合 B 的真子集,记作____________或______________. 2.空集 ? 是__________________的子集;空集 ? 是__________________的真子集. 【基础训练】 1.(1)下列写法正确的是( ) (A) ? ? {0} (B) 0 ? ? (C) ??{0} (D) 0 ?? ) (2)下列四个关于空集的命题中:①空集没有子集;②任何集合至少有两个子集;③空集是 任何集合的真子集;④若 ? ? ? A ,则 A ? ?. 其中正确的个数是( (A)0 (B)1 2.用恰当的符号填空( ?, ? , ? ) (1) {1,3,5} (3) {x | x ? 2} (C)2 (2) {x | ( x ? 3)( x ? 2) ? 0} (D)3

{5,1,3} ;

{x | x ? 2} ; (4) {x | x ?
2

3.(1)已知 {x, y} ? {2 x,2 x 2} ,则 x ? (2) {1, 3, x} ? {1, x } ,则实数 x ?

n , n ? Z} 2 ,y?

x?3 ? 0} ; x?3 1 {x | x ? n ? , n ? Z } . 2 {x |
. .

4.指出下列各集合之间的关系,并用文氏图表示: A ? {x | x 是平行四边形 } , B ? {x | x 是菱形 } ,

C ? {x | x 是矩形 } , D ? {x | x 是正方形 }

5.类比“ ? ” 、 “? ? ”的定义,请给出符号“ ? ”的定义: 如果 ,则称集合 A 不是集合 B 的子集, 用符号“ A ? B ”表示,读作“ A 不包含于 B ”. 6.已知集合 M 满足 M ? {0,1, 2,3, 4} 且 M ? {0, 2, 4,8} , 写出所有符合条件的集合 M .

7.已知 A ? {1}, B ? {x | x ? 3x ? a ? 0} ,
2

①若 A ? B ,求实数 a 的值;②是否存在实数 a 使得 A ? B ?

第一章 集合和命题

【巩固提高】 8.已知 {0, a , a ? b} ? {a,
2

b ,1} ,求实数 a , b . a

9.已知集合 M ? {x | x2 ? x ? 6 ? 0} ,关于 y 的方程 ay ? 2 ? 0 的 解集为 N ,且 N ? M ,求实数 a 的值.

1 , n ? Z }, 6 m 1 s 1 Q ? {q | q ? ? , m ? Z }, R ? {r | r ? ? , s ? Z } , 2 3 2 6 判断集合 P, Q, R 之间的关系并证明.
(选做)10. 已知集合 P ? { p | p ? n ?

【温故知新】 11.用列举法表示“mathematics”中字母构成的集合; }. 用描述法表示集合 {?2, 2,6,10,14,18, ?

第一章 集合和命题

【课堂例题答案】 例 1.证:任取 x ? A ,因为 A ? B ,所以 x ? B ,因为 x ? B 且 B ? C ,所以 x ? C ,因此 A ? C 证毕. 例 2. ?, ?, ?, ? 例 3.(1) ?,{1},{2},{3},{1, 2},{2,3},{1,3},{1, 2,3} (2) ?,{a},{b} (3) {1, 2,3, 4},{1, 2,3,5},{1, 2,3, 4,5} 【知识再现答案】 1.(1)若集合 A 中的任意元素都属于集合 B , A ? B, B ? A , A 包含于 B , B 包含于 A (2) B 是 A 的子集, A ? B (3) B 中至少有一个集合不属于 A , A 茌B,B 2.任何集合;任何非空集合. 【习题答案】 1. A, B 2. ?, ?, ?, ?

A

1 ,1 ;(2) {? 3, 3,0} 2 4. D 苘C A, D 苘B A
3.(1)

A B D C

5.集合 A 中至少有一个元素不属于集合 B 6. ?,{0},{2},{4},{0, 2},{0, 4},{2, 4},{0, 2, 4} 7. a ? 2 ,不存在 8. a ? ?1, b ? 0

2 3 10. P ? Q ? R

9. a ? {0, ?1, }

6n ? 1 3m ? 2 3s ? 1 , n ? Z }, Q ? {q | q ? , m ? Z }, R ? {r | r ? , s ? Z} 6 6 6 6n ? 1 3(2n ? 1) ? 2 ? 任取 x ? P , x ? ,所以 x ? Q ,因此 P ? Q ; 6 6 3m ? 2 3( m ? 1) ? 1 ? 任取 x ? Q , x ? ,所以 x ? R ,因此 Q ? R ; 6 6 3s ? 1 3( s ? 1) ? 2 ? 任取 x ? R , x ? ,所以 x ? Q ,因此 R ? Q ; 6 6 因此 P ? Q ? R 2 2 2 6n ? 1 2 在集合 Q 中取 m ? 2 得 q ? ,因此 ? Q ,但是 ? 无整数解,所以 ? P 3 3 6 3 3 因此 P ? Q ? R 证毕
证明: P ? { p | p ? 11. {m, a, t , h, e, i, c, s},{x | x ? ?2 ? 2k , k ? N }


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