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专题一集合


集合
考纲导读 (一)集合的含义与表示 1.了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系. 2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题。 (二)集合间的基本关系 1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. 2.在具体情境中,了解全集与空集的含义. (三)集合的基本运算 1.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交

集。 2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. 3.能使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算。 知识网络 分类 集合的概念 集 合 元素的性质 无限集 有限集 空集 确定性 互异性 列举法 描述法 真子集 包含关系 集合与集合的关系 集合运算 子集 相 等 交集 并集 高考导航 无序性

集合的表示法

补集

根据考试大纲的要求,结合 2009 年高考的命题情况,我们可以预测 2010 年集合部分在选择、填空和解答题中 都有涉及,高考命题热点有以下两个方面:一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用等作基础 性的考查,题型多以选择、填空题的形式出现;二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体,以集合的语言 和符号为表现形式, 结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、 数学方法和数学能力, 题型常以解答题的形式出现. 基础过关 一、集合 1. 集合是一个不能定义的原始概念, 描述性定义为: 某些指定的对象 合中的每一个对象叫做这个集合的 . 2.集合中的元素属性具有: (1) 确定性; (2) ; (3) .
1

就成为一个集合, 简称

. 集

3.集合的表示法常用的有 、 和韦恩图法三种,有限集常用 ,无限集常用 ,图示法常用于表示集合之间的相互关系. 二、元素与集合的关系 4.元素与集合是属于和 的从属关系,若 a 是集合 A 的元素,记作 ,若 a 不是集合 B 的元 素,记作 .但是要注意元素与集合是相对而言的. 三、集合与集合的关系 5.集合与集合的关系用符号 表示. 6.子集:若集合 A 中 都是集合 B 的元素,就说集合 A 包含于集合 B(或集合 B 包含集合 A),记作 . 7.相等:若集合 A 中 都是集合 B 的元素,同时集合 B 中 都是集合 A 的元素,就说集合 A 等于集合 B,记作 . 8.真子集:如果 就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 . 9.若集合 A 含有 n 个元素,则 A 的子集有 个,真子集有 个,非空真子集有 个. 10.空集 ? 是一个特殊而又重要的集合,它不含任何元素, ? 是任何集合的 , ? 是任何非空集合的 ,解题时不可忽视 ? .

四、集合的运算 1.交集:由 2.并集:由

的元素组成的集合,叫做集合 A 与 B 的交集,记作 A∩B,即 A∩B= 的元素组成的集合,叫做集合 A 与 B 的并集,记作 A∪B,即 A∪B=

. .

3. 补集: 集合 A 是集合 S 的子集, 由 = . 五、集合的常用运算性质 1.A∩A= ,A∩ ? = A∪ ? = ,A∪B=B∪A 2. A ? CU A = 3. CU ( A ? B ) ? , A ? CU A = , CU ( A ? B ) ?

的元素组成的集合, 叫做 S 中子集 A 的补集, 记作 C S A , 即 CS A

,A∩B=

,B∩A,A∪A= , C (CU A) ? ,





4.A∪B=A ? A∩B=A ? 命题与逻辑连接词; 1.用语言、符号或式子表达的,可以判断真假、的陈述句称为命题. 其中判断为真的语句称为_______,判断为假的语句称为_________ 2.逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系,解题时注意类比; 3.不含逻辑联结词的命题称为__________;有时一个命题的叙述方式比较的简略,此时应先分清条件和结论,该 写成“若 p ,则 q ”的形式; 4.含有逻辑联结词的命题称为________,复合命题有三种形式 ____且__ 、____ 或 __、_____ p 对一个命题 p 的全盘否定, 就得到一个新的命题, 记作 ______,读作______通常复合命题的否定 “ p 或 q ”的否定为“ ?p 且 ?q ”、 “ p 且 q ”的否定为“ ?p 或 ?q ”、 “全为”的否定是“不全为”、 5.三种复合命题的真值表: (1)“p 且 q”: 一假即假(2)“p 或 q”: 一真即真(3)“非 p”: 真假相反
2

“都是”的否定为“不都是”等等

6.短语“_对所有的”、“对任意一个” 逻辑中称为全称量词,并用符号“___ ? __” 表示。 7.短语“存在一个”、“_至少有一个” 逻辑中称为存在量词,并用符号“ ? ” 表示。 8.含有全称量词的命题称为全称命题__;含有存在量词的命题称为__特称命题__. 9.全称命题形式: ?x ? M , p( x) ;特称命题形式: ?x ? M , p( x) 。 其中 M 为给定的集合, 10.充要条件; 判断方法:(1)定义法: ① p 是 q 的充分不必要条件 ? ?

?p ? q ? q ?p ?

② p 是 q 的必要不充分条件 ? ?

?p ? ? q ?p ? q ?p ? ? q ? q ?p ?

③ p 是 q 的充要条件 ? ?

?p ? q ?q ? p

④ p 是 q 的既不充分也不必要条件 ? ?

如果“若 p 则 q ”为真, 记为 p ? q , , 如果“若 p 则 q ”为假, 记为 p ? ? q. 若 p ? q , 则 p 是 q 的充分, q 是 p 的必要___

典型例题

例 1.( 2009 广 东 卷 理 ) 已知全集 U ? R ,集合 M ? {x ?2 ? x ? 1 ? 2} 和

N ? {x x ? 2k ? 1, k ? 1, 2,?} 的关系的韦恩(Venn)图如图 1 所示,则阴影部分所示的集合的元素共有
( )

A. 3 个 C. 1 个 答案

B. 2 个 D. 无穷多个

1,3?,有 2 个,选 B. B 解析 由 M ? {x ?2 ? x ? 1 ? 2} 得 ? 1 ? x ? 3 ,则 M ? N ? ?

例 2.下列集合中表示同一集合的是( C ) A.M = {(3,2)},N = {(2,3)} C.M = {4,5},N = {5,4} 答案:C
3

B.M = {(x,y)|x + y = 1},N = {y|x +y = 1} D.M = {1,2},N = {(1,2)}

解析:由集合中元素的特征(确定性、无序性、唯一性)即得。 例 4:(广东汕头达濠中学·2009 年高一月考)(本题满分 14 分)
2 已知: A ? x x ? 8 x ? 15 ? 0 , B ? x ax ? 1 ? 0 ,若 B ? A ,求:实数 a 组成的集合。

?

?

?

?

例 5 写出下述命题逆命题、否命题、逆否命题. (1)若 x ? y ? 0 ,则 x , y 全为 0 .
2 2

(2)若 a ? b 是偶数,则 a, b 都是偶数. (3)若 x ? 3 或 x ? 7 ,则 ( x ? 3)( x ? 7) ? 0

例 6“ x ? 1 ? 2 成立”是“ x( x ? 3) ? 0 成立”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条

)

课后考点训练
1、(2011?广东文数)已知集合 A={(x,y)|x,y 为实数,且 x +y =1},B=|(x,y)|x,y 为实数,且 x+y=1}, 则 A∩B 的元素个数为( ) A、4 B、3 C、2 D、1 2 2 2、(2011?广东理数)已知集合 A={(x,y)|x,y 为实数,且 x +y =1},B={(x,y)|x,y 为实数,且 y=x}, 则 A∩B 的元素个数为( ) A、0 B、1 C、2 D、3
2 2

1,2,4? 则集合 A ? B ? 3.(2010 广东文数)若集合 A ? ?0,1,2,3? , B ? ?
A. ?0,1,2,3,4?

1,2,3,4? B. ?

1,2? C. ?

D. {0} )

4.(2010 广东理数)若集合 A={ x -2< x <1},B={ x 0< x <2}则集合 A ∩ B=( A. { x -1< x <1} B. { x -2< x <1} C. { x -2< x <2}

D. { x 0< x <1}
2

5.(2009 广东文数).已知全集 U=R,则正确表示集合 M= {-1,0,1} 和 N= { x |x +x=0} 关系的韦恩(Venn) 图是

4

6. (2008 广东文数)第二十九届夏季奥林匹克运动会将于 2008 年 8 月 8 日在北京举行,若集合 A={参加北京奥 运会比赛的运动员},集合 B={参加北京奥运会比赛的男运动员}。集合 C={参加北京奥运会比赛的女运动员}, 则下列关系正确的是 A.A ? B B.B ? C C.A∩B=C D.B∪C=A

7.【广东省中山市一中 2014 届高三第二次统测】已知集合 M ? ?1, 2,3? , N ? ? x ? Z 1 ? x ? 4? ,错误!未找
到引用源。错误!未找到引用源。则 ( A. M ? N B. N ? M ) C. M ? N ? {2,3} D. M ? N ? (1, 4)

A ? ?1, 2? , B ? ??2, ?1, 2? , 8. 【广东省中山市实验高中 2014 届高三 11 月阶段考试】 设集合 U ? ??2, ?1, 0,1, 2? ,
则 A? ? U B 等于( A. ?1?

?

?

) B. ?1, 2? C. ?2? D. ?0,1, 2?

9.【广东省增城市 2014 届高三调研考试】设集合 U ? ?1, 2,3, 4,5, 6, 7? ,集合 A ? ?2, 4,5? ,集合 B ? ( ) ?1,3,5, 7? ,则 A ? ? ?U B ? ? A. ?5? B. ?2, 4? C. ?2, 4, 5? D. ?2, 4, 6? 10.【广东省惠州市 2014 届高三第二次调研考试】设集合 A ? {x ?3 ? 2 x ? 1 ? 3} ,集合 B 为函数
y ? lg( x ? 1) 的定义域,则 A ? B ? (
A. (1, 2) B. [1, 2] ) C. [1, 2) D. (1, 2]

11.【广东省执信中学2014届高三上学期期中考试】设全集 U ? R ,集合 A ? ? x x ? x ? 3? ? 0? ,集合
B ? ? x x ? ?1? ,则下图中阴影部分表示的集合为 (
A. x ?3 ? x ? ?1 ) C. x x ? 0

?

?

B. x ?3 ? x ? 0

?

?

?

?

D. x x ? ?1

?

?

5

12.【广东省深圳市宝安区 2014 届高三调研考试】已知集合 U ? ?1, 2,3, 4,5, 6? ,集合 P ? ?1, 2,3, 4? , Q ? ?3, 4,5? ,则 P ? ? ?U Q ? ? ( ) A. ?1, 2, 3, 4, 6? B. ?1, 2,3, 4,5? C. ?1, 2, 5? D. ?1, 2? 13.【广东省百 13 所高中 2014 届高三 11 月联考】已知集合 M ? ?0,1, 2,3, 4? , N ? ??2, 0, 2? ,则(
A. N ? M B. M ? N ? N C. M ? N ? ?2? D. M ? N ? ?0, 2? )

14.【广东省中山市一中 2014 届高三第二次统测】等差数列 ?an ? 中,“ a1 ? a3 ”是“ an ? an?1 ”的(
A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件



15.【广东省佛山市石门中学 2014 届高三第二次月考】已知 p : 2 x ? 3 ? 1 , q : log 2 ? x 2 ? x ? 5 ? ? 0 ,则 ? p 是
?

q的



) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

16.【广东省揭阳一中、潮州金山中学 2014 届高三 10 月期中联考】已知命题 p :对任意 x ? R ,有 cos x ? 1 ,
则( ) B. ?p : 对任意 x ? R ,有 cos x ? 1 D. ?p : 对任意 x ? R ,有 cos x ? 1 A. ?p : 存在 x ? R ,使 cos x ? 1 C. ?p : 存在 x ? R ,使 cos x ? 1

1 17. 【广东省揭阳一中、 潮州金山中学 2014 届高三 10 月期中联考】 已知 a ? R 且 a ? 0 , 则 “ ? 1” 是 “ a ? 1” a
的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

6


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