2015-2016学年高中数学(人教版必修2)配套练习 ：2.3.2平面与平面垂直的判定(含答案)

2.3.2
一、基础过关 1．过两点与一个已知平面垂直的平面 A．有且只有一个 C．一个或无数个

平面与平面垂直的判定

( B．有无数个 D．可能不存在 (

)

2．不能肯定两个平面一定垂直的情况是 A．两个平面相交，所成二面角是直二面角 B．一个平面经过另一个平面的一条垂线 C．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线 D．平面 α 内的直线 a 与平面 β 内的直线 b 是垂直的 3．设有直线 m、n 和平面 α、β，则下列结论中正确的是 ①若 m∥n，n⊥β，m?α，则 α⊥β； ②若 m⊥n，α∩β＝m，n?α，则 α⊥β； ③若 m⊥α，n⊥β，m⊥n，则 α⊥β. A．①② B．①③ C．②③

)

(

)

D．①②③ ( )

4．设 l 是直线，α，β 是两个不同的平面，下列结论中正确的是 A．若 l∥α，l∥β，则 α∥β B．若 l∥α，l⊥β，则 α⊥β C．若 α⊥β，l⊥α，则 l⊥β D．若 α⊥β，l∥α，则 l⊥β

5．过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 AP⊥平面 ABCD，且 AP＝AB，则平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面 角的度数是________． 6．如图所示，已知 PA⊥矩形 ABCD 所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．

7．在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是正方形，MA⊥平面 ABCD，PD∥MA，E、G、F 分别为 MB、 PB、PC 的中点，且 AD＝PD＝2MA.求证：平面 EFG⊥平面 PDC. 8. 如图所示，四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，∠BCD＝60° ，E 是 CD 的中点，PA⊥底 面 ABCD，PA＝ 3.

(1)证明：平面 PBE⊥平面 PAB；

(2)求二面角 A—BE—P 的大小． 二、能力提升 9．在边长为 1 的菱形 ABCD 中，∠ABC＝60° ，把菱形沿对角线 AC 折起，使折起后 BD＝ －AC－D 的余弦值为 1 1 A. B. 3 2 ( 2 2 C. 3 D. 3 2 ( A．BC∥面 PDF C．面 PDF⊥面 ABC A1D⊥B1C. 求证：(1)EF∥平面 ABC； (2)平面 A1FD⊥平面 BB1C1C. B．DF⊥面 PAE D．面 PAE⊥面 ABC 点 D 在 B1C1 上， ) ) 3 ，则二面角 B 2

10．在正四面体 P－ABC 中，D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是

11．如图，在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，E、F 分别是 A1B、A1C 的中点，

12．如图，在三棱锥 P—ABC 中，PA⊥底面 ABC，PA＝AB，∠ABC＝60° ，∠BCA＝90° ，点 D、E 分别在 棱 PB、PC 上，且 DE∥BC.

(1)求证：BC⊥平面 PAC. (2)是否存在点 E 使得二面角 A—DE—P 为直二面角？并说明理由． 三、探究与拓展 13．如图所示，三棱锥 P—ABC 中，D 是 AC 的中点，PA＝PB＝PC＝ 5，AC＝2 2，AB＝ 2，BC＝ 6.

(1)求证：PD⊥平面 ABC； (2)求二面角 P—AB—C 的正切值．

答案

1．C 2.D 3.B 5．45° 6．5

4.B

7．证明 因为 MA⊥平面 ABCD，PD∥MA，所以 PD⊥平面 ABCD. 又 BC?平面 ABCD，所以 PD⊥BC. 因为四边形 ABCD 为正方形， 所以 BC⊥DC. 又 PD∩DC＝D，所以 BC⊥平面 PDC. 在△PBC 中，因为 G、F 分别为 PB、PC 的中点， 所以 GF∥BC，所以 GF⊥平面 PDC. 又 GF?平面 EFG， 所以平面 EFG⊥平面 PDC. 8．(1)证明 如图所示，连接 BD，由 ABCD 是菱形且∠BCD＝60° 知， △BCD 是等边三角形． 因为 E 是 CD 的中点，所以 BE⊥CD. 又 AB∥CD，所以 BE⊥AB. 又因为 PA⊥平面 ABCD， BE?平面 ABCD， 所以 PA⊥BE.而 PA∩AB＝A， 因此 BE⊥平面 PAB. 又 BE?平面 PBE， 所以平面 PBE⊥平面 PAB. (2)解 由(1)知，BE⊥平面 PAB，PB?平面 PAB， 所以 PB⊥BE.又 AB⊥BE，所以∠PBA 是二面角 A—BE—P 的平面角． PA 在 Rt△PAB 中，tan∠PBA＝ ＝ 3，则∠PBA＝60° . AB 故二面角 A—BE—P 的大小是 60° . 9．B 10．C 11．证明 (1)由 E、F 分别是 A1B、A1C 的中点知 EF∥BC. 因为 EF?平面 ABC，BC?平面 ABC. 所以 EF∥平面 ABC. (2)由三棱柱 ABC—A1B1C1 为直三棱柱知 CC1⊥平面 A1B1C1.又 A1D?平面 A1B1C1，故 CC1⊥A1D. 又因为 A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故 A1D⊥平面 BB1C1C，又 A1D?平面 A1FD，所以平面 A1FD⊥平面 BB1C1C. 12．(1)证明 ∵PA⊥底面 ABC，∴PA⊥BC.又∠BCA＝90° ，∴AC⊥BC. 又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面 PAC. (2)解 ∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面 PAC，∴DE⊥平面 PAC. 又∵AE?平面 PAC，PE?平面 PAC， ∴DE⊥AE，DE⊥PE. ∴∠AEP 为二面角 A—DE—P 的平面角．

∵PA⊥底面 ABC，∴PA⊥AC， ∴∠PAC＝90° . ∴在棱 PC 上存在一点 E， 使得 AE⊥PC.这时∠AEP＝90° ， 故存在点 E，使得二面角 A—DE—P 为直二面角． 13．(1)证明 连接 BD， ∵D 是 AC 的中点，PA＝PC＝ 5， ∴PD⊥AC. ∵AC＝2 2，AB＝ 2，BC＝ 6， ∴AB2＋BC2＝AC2. ∴∠ABC＝90° ，即 AB⊥BC. 1 ∴BD＝ AC＝ 2＝AD. 2 ∵PD2＝PA2－AD2＝3，PB＝ 5， ∴PD2＋BD2＝PB2.∴PD⊥BD. ∵AC∩BD＝D，∴PD⊥平面 ABC. (2)解 取 AB 的中点 E，连接 DE、PE，由 E 为 AB 的中点知 DE∥BC， ∵AB⊥BC，∴AB⊥DE. ∵PD⊥平面 ABC，∴PD⊥AB. 又 AB⊥DE，DE∩PD＝D，∴AB⊥平面 PDE，∴PE⊥AB. ∴∠PED 是二面角 P—AB—C 的平面角． 1 6 在△PED 中，DE＝ BC＝ ，PD＝ 3，∠PDE＝90° ， 2 2 PD ∴tan∠PED＝ ＝ 2. DE ∴二面角 P—AB—C 的正切值为 2.