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2015-2016学年高中数学(人教版必修2)配套练习 :2.3.2平面与平面垂直的判定(含答案)


2.3.2
一、基础过关 1.过两点与一个已知平面垂直的平面 A.有且只有一个 C.一个或无数个

平面与平面垂直的判定

( B.有无数个 D.可能不存在 (

)

2.不能肯定两个平面一定垂直的情况是 A.两个平面相交,所成二面角是直二面角 B.一个平面经过另一个平面的一条垂线 C.一个平面垂直于另一个平面内的一条直线 D.平面 α 内的直线 a 与平面 β 内的直线 b 是垂直的 3.设有直线 m、n 和平面 α、β,则下列结论中正确的是 ①若 m∥n,n⊥β,m?α,则 α⊥β; ②若 m⊥n,α∩β=m,n?α,则 α⊥β; ③若 m⊥α,n⊥β,m⊥n,则 α⊥β. A.①② B.①③ C.②③

)

(

)

D.①②③ ( )

4.设 l 是直线,α,β 是两个不同的平面,下列结论中正确的是 A.若 l∥α,l∥β,则 α∥β B.若 l∥α,l⊥β,则 α⊥β C.若 α⊥β,l⊥α,则 l⊥β D.若 α⊥β,l∥α,则 l⊥β

5.过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 AP⊥平面 ABCD,且 AP=AB,则平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面 角的度数是________. 6.如图所示,已知 PA⊥矩形 ABCD 所在的平面,图中互相垂直的平面有________对.

7.在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是正方形,MA⊥平面 ABCD,PD∥MA,E、G、F 分别为 MB、 PB、PC 的中点,且 AD=PD=2MA.求证:平面 EFG⊥平面 PDC. 8. 如图所示,四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,∠BCD=60° ,E 是 CD 的中点,PA⊥底 面 ABCD,PA= 3.

(1)证明:平面 PBE⊥平面 PAB;

(2)求二面角 A—BE—P 的大小. 二、能力提升 9.在边长为 1 的菱形 ABCD 中,∠ABC=60° ,把菱形沿对角线 AC 折起,使折起后 BD= -AC-D 的余弦值为 1 1 A. B. 3 2 ( 2 2 C. 3 D. 3 2 ( A.BC∥面 PDF C.面 PDF⊥面 ABC A1D⊥B1C. 求证:(1)EF∥平面 ABC; (2)平面 A1FD⊥平面 BB1C1C. B.DF⊥面 PAE D.面 PAE⊥面 ABC 点 D 在 B1C1 上, ) ) 3 ,则二面角 B 2

10.在正四面体 P-ABC 中,D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点,下面四个结论中不成立的是

11.如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,E、F 分别是 A1B、A1C 的中点,

12.如图,在三棱锥 P—ABC 中,PA⊥底面 ABC,PA=AB,∠ABC=60° ,∠BCA=90° ,点 D、E 分别在 棱 PB、PC 上,且 DE∥BC.

(1)求证:BC⊥平面 PAC. (2)是否存在点 E 使得二面角 A—DE—P 为直二面角?并说明理由. 三、探究与拓展 13.如图所示,三棱锥 P—ABC 中,D 是 AC 的中点,PA=PB=PC= 5,AC=2 2,AB= 2,BC= 6.

(1)求证:PD⊥平面 ABC; (2)求二面角 P—AB—C 的正切值.

答案

1.C 2.D 3.B 5.45° 6.5

4.B

7.证明 因为 MA⊥平面 ABCD,PD∥MA,所以 PD⊥平面 ABCD. 又 BC?平面 ABCD,所以 PD⊥BC. 因为四边形 ABCD 为正方形, 所以 BC⊥DC. 又 PD∩DC=D,所以 BC⊥平面 PDC. 在△PBC 中,因为 G、F 分别为 PB、PC 的中点, 所以 GF∥BC,所以 GF⊥平面 PDC. 又 GF?平面 EFG, 所以平面 EFG⊥平面 PDC. 8.(1)证明 如图所示,连接 BD,由 ABCD 是菱形且∠BCD=60° 知, △BCD 是等边三角形. 因为 E 是 CD 的中点,所以 BE⊥CD. 又 AB∥CD,所以 BE⊥AB. 又因为 PA⊥平面 ABCD, BE?平面 ABCD, 所以 PA⊥BE.而 PA∩AB=A, 因此 BE⊥平面 PAB. 又 BE?平面 PBE, 所以平面 PBE⊥平面 PAB. (2)解 由(1)知,BE⊥平面 PAB,PB?平面 PAB, 所以 PB⊥BE.又 AB⊥BE,所以∠PBA 是二面角 A—BE—P 的平面角. PA 在 Rt△PAB 中,tan∠PBA= = 3,则∠PBA=60° . AB 故二面角 A—BE—P 的大小是 60° . 9.B 10.C 11.证明 (1)由 E、F 分别是 A1B、A1C 的中点知 EF∥BC. 因为 EF?平面 ABC,BC?平面 ABC. 所以 EF∥平面 ABC. (2)由三棱柱 ABC—A1B1C1 为直三棱柱知 CC1⊥平面 A1B1C1.又 A1D?平面 A1B1C1,故 CC1⊥A1D. 又因为 A1D⊥B1C,CC1∩B1C=C,故 A1D⊥平面 BB1C1C,又 A1D?平面 A1FD,所以平面 A1FD⊥平面 BB1C1C. 12.(1)证明 ∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥BC.又∠BCA=90° ,∴AC⊥BC. 又∵AC∩PA=A,∴BC⊥平面 PAC. (2)解 ∵DE∥BC,又由(1)知,BC⊥平面 PAC,∴DE⊥平面 PAC. 又∵AE?平面 PAC,PE?平面 PAC, ∴DE⊥AE,DE⊥PE. ∴∠AEP 为二面角 A—DE—P 的平面角.

∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥AC, ∴∠PAC=90° . ∴在棱 PC 上存在一点 E, 使得 AE⊥PC.这时∠AEP=90° , 故存在点 E,使得二面角 A—DE—P 为直二面角. 13.(1)证明 连接 BD, ∵D 是 AC 的中点,PA=PC= 5, ∴PD⊥AC. ∵AC=2 2,AB= 2,BC= 6, ∴AB2+BC2=AC2. ∴∠ABC=90° ,即 AB⊥BC. 1 ∴BD= AC= 2=AD. 2 ∵PD2=PA2-AD2=3,PB= 5, ∴PD2+BD2=PB2.∴PD⊥BD. ∵AC∩BD=D,∴PD⊥平面 ABC. (2)解 取 AB 的中点 E,连接 DE、PE,由 E 为 AB 的中点知 DE∥BC, ∵AB⊥BC,∴AB⊥DE. ∵PD⊥平面 ABC,∴PD⊥AB. 又 AB⊥DE,DE∩PD=D,∴AB⊥平面 PDE,∴PE⊥AB. ∴∠PED 是二面角 P—AB—C 的平面角. 1 6 在△PED 中,DE= BC= ,PD= 3,∠PDE=90° , 2 2 PD ∴tan∠PED= = 2. DE ∴二面角 P—AB—C 的正切值为 2.


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