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11-12(1)概率统计期末考试试题(附答案)


中国计量学院 2011 ~ 2012 学年第 1 学期 《 概率论与数理统计(A) 》课程考试试卷 B
开课二级学院: 理学院 ,考试时间: 2011 年 12_月 26 日 14 时 入场 班级: 六 七 八 九 总分

考试形式:闭卷√、开卷□,允许带 考生姓名: 题序 得分 评卷人
装 一、选择题(每题 2 分,共 20 分) 1.某人射击时,中靶的概率为

计算器 专业:

学号: 一 二 三 四



3 ,若射击直到中靶为止,则射击次数为 3 的概率为( 4 3 4
3

).

(A)( ) ?
2

1 4

3 4

(B)( )

(C) ( ) ?
2

3 4

1 4

(D) ( )
3

1 4

2. n 个随机变量 X i (i ? 1,2,3, ? , n) 相互独立且具有相同的分布并且 E ( X i ) ? a , Var ( X i ) ? b , 则这些随机变量的算术平均值 X ?
1 n ? X i 的数学期望和方差分别为( n i ?1

).

b b a b2 (A) a , 2 (B) a , (C) a , (D) , b 订 n n n n 3. 100 张奖券中有 5 张中奖, 个人分别抽取 1 张, 若 100 则第 100 个人能中奖的概率为 ( 0.01 0.03 (A) (B) (C) 0.05 (D) 0

) .

4. 设 F1 ( x), F2 ( x) 为两个分布函数,其相应的概率密度 f1 ( x), f 2 ( x) 是连续函数,则必为概率 密度的是( ). (B) 2 f 2 ( x) F1 ( x) (D) f1 ( x) F2 ( x) ? f 2 ( x) F1 ( x)
2

(A) f1 ( x) f 2 ( x) (C) f1 ( x) F2 ( x) 线

? x ?x2 1 Y ? ? 2 e 2a , x ? 0 X 的期望 5.已知随机变量 X 的概率密度函数为 f ( x) ? ? a ,则随机变量 ?0, x ? 0 ?

E (Y ) ? (

).
概率论与数理统计(A) 》课程试卷 B 第 1 页 共 6 页

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(A)

2? 2a

(B)

?

(C)

1 2a

(D)

2? a
).

6.设 F ( x), f ( x) 分别为某随机变量的分布函数和密度函数,则必有( (A) f (x) 单调不减 (C) (B) F (??) ? 0 (D) F ( x) ?

?

??

-?

F( x)dx ? 1

?

??

-?

f ( x)dx

( 7.设二维离散型随机变量 X,Y) 的联合分布律为
Y X 0 1 2 则 0 0.1 0.3 0.1 1 0.2 0.1 0 2 0 0.1 0.1

P{ X ? Y } ? (
(A) 0.8

). (B) 0.7 (C) 0.3 (D) 0.5 ).

8.设两个独立的随机变量 X , Y 分别服从正态分布 N (0,1) 和 N (1,1) ,则(

1 2 1 (C) P{ X ? Y ? 1} ? 2
(A) P{ X ? Y ? 0} ?

(B) (D)

P{ X ? Y ? 0} ?

1 2 1 P{ X ? Y ? 1} ? 2

?1 2 2 ? ,x ? y ?1 ( 9.设二维连续型随机变量 X,Y) 的联合概率密度函数为 f ( x,y ) ? ?? , ?0, 其它 ?
则 X 和 Y 为( )的随机变量. (A) 独立同分布 (C) 不独立同分布 (B) 独立不同分布 (D) 不独立不同分布

10.设总体 X 服从正态分布 N (?, ? ) ,其中 ? 2 已知, ? 为未知参数,则 ? 的等尾双侧置
2

信区间长度 L 与置信度 1 ? ? 的关系是( (A) 当 1 ? ? 减少时, L 变小 (C) 当 1 ? ? 减少时, L 不变

). (B) 当 1 ? ? 减少时, L 增大 (D) 当 1 ? ? 减少时, L 增减不定

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二、填空题(每空 2 分,共 20 分) 1. 已知 P( A) ? 0.5 , P( AB) ? 0.3 ,则 P( A ? B) ? . 时,

2. 设 X1 , X 2 , X 3 是 来 自 正 态 总 体 X ~ N ? ?,1? 的 样 本 , 则 当 k ?

? ??


1 1 X 1 ? X 2 ? kX 3 是总体均值 ? 的无偏估计. 4 3
.

3. 设 X ~ U [1,6] ,则方程 t 2 ? Xt ? 1 ? 0 有实根的概率为

4. 袋内有 3 个白球与 2 个黑球,从其中任取两个球,求取出的两个球都是白球的概 率 . 5. 设 Var( X ) ? 25,Var(Y ) ? 36, ? XY ? 0.4, 则 Var( X ?Y ) ? 6. 设总体 X 的概率密度为: f ( x ) ? ?

.

? ?1 ? ,0 ? x ? 1 ? ?x , ? ? 0是未知参数, ? ?0, 其它

? X 1 , X 2 ,??, X n 为X 的一个样本,则 ? 的矩估计量 ? ?
订 7. 设 X ~ N (0,1),Y ? e ? X ,则 Y 的密度函数 f Y ( y) ? .

8.设 X , Y 为两个随机变量,且 则 P{max(X , Y ) ? 0} ?

P{ X ? 0, Y ? 0} ?
.

3 4 , P{ X ? 0} ? P{Y ? 0} ? 7 7,

9. 设 X , Y 相互独立,且概率密度分别为: f X ( x) ? ?

?e ? y , y ? 0 ?1,0 ? x ? 1 , f Y ( y) ? ? ,则 ?0, 其它 ?0, y ? 0

线

Z ? X ? Y 的概率密度 f Z (z ) ?

.

10.将 n 只球(1~ n 号)随机地放进 n 只盒子(1~ n 号)中去,一只盒子装一只球,若一只 球装入与球同号的盒子中,称为一个配对,记 X 为总的配对数,则 E (X ) ? 三、 (本小题 10 分)设 A 和 B 是两个事件, P( A) ? 0.6, P( B) ? 0.8 ,试问: (1)在什么条件下 P( AB) 取到最大值,最大值是多少; (2) 在什么条件下 P( AB) 取到最小值, 最小值是多少. .

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四、 (本小题 10 分)已知随机变量 X 的概率分布如右表, 求随机变量: (1) X 的分布函数 F (x) . (2) Y ? ?2 X 的概率分布. X p -1 0.2 0 0.3 2 0.4 4 0.1

?0, x ? 1 ? 五、 (本小题 10 分)设连续型随机变量 X 的分布函数为 F ( x) ? ?ln x,1 ? x ? e ?1, x ? e ?
求:(1) 随机变量的概率密度函数 f (x) ; (2) P(0 ? X ? 2.5) ; (3) 期望 E (X ) .

六、 (本小题 10 分)某产品主要由三个厂家供货,甲、乙、丙三个厂家的产品分别占总数的 15%,80%和 5%,其次品率分别为 0.02,0.01 和 0.03.试计算: (1) 从这批产品中任取一件,是不合格品的概率为多大? (2) 已知从这批产品中随机地抽取一件是不合格品,问这件产品是甲厂生产的概率?


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七、 (本小题 6 分)设总体 X 密度函数为 f ( x, ? ) ? ?

??x ? ?1 ,0 ? x ? 1 ?0, 其它

,其中 ? ? 0 为未知参数,

如果取得样本观测值为 x1 , x2 ,??, xn ,求参数 ? 的极大似然估计值.

八、 (本小题 4 分)设随机变量 X 的分布函数 F (x) 连续且严格单调增加,求 Y ? F (X ) 的概 率密度.

( 九、 (本小题 10 分)设随机变量 X,Y) 的概率密度为 f ( x, y ) ? ?
(1)求常数 k ; (2) P{0 ? X ? 1,0 ? Y ? 2} ;

?ke ? (3 x ? 4 y ), x ? 0, y ? 0 , 0 , 其它 ?

( (3)求 X,Y) 的联合分布函数 F ( x, y) ; (4)判断 X , Y 的独立性.

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中国计量学院 2011 ~ 2012 学年第 1 学期 《 概率论与数理统计(A) 》课程 试卷 B 参考答案及评分标准
开课二级学院:理学院,学生班级:10 测控 1,2,3,4,5 等
一、选择题(20 分) 1 A 2 B 3 C 4 D 二、填空题(20 分) 1 0.2, 2 5/12 , 3 5 A 6 B 7C 8 D 9 C 10 A

教师: 邹海雷等

0.8

,

4 0.3,
2

5. 37

6



X 2 ) 1- X ,

(ln y ) ? 1 ? e 2 ,y ?0 ? f ( y ) ? ? 2? y ? 7 , ?0, y ? 0

8 5/7 ,

?e ? z (e ? 1), z ? 1 ? ? 0, z?0 , 9 f ( z) ? ? ,0 ? z ? 1 ?1 ? e ? z ? ?
三、 (10 分)

10, 1

1) A ? B 时,取得最大值 P( AB) ? 0.6 2) A ? B ? ? 时,取得最小值 P( AB) ? 0.4 四、 (10 分)

………………………5 分 ………………………10 分

? ? ? ? F ( x) ? ? ? ? ? ?
-2X p -8 0.1

0 0 .2 0.5 0 .9 1
-4 0.4 0 0.3

x ? -1 ?1 ? x ? 0 0? x?2 2? x?4 x?4
2 0.2 ………………………5 分

………………………10 分

五、 (10 分)
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解: (1)

?1 x ,1 ? x ? e f ( x) ? ? ?0, else
…………………4 分 (2) P(0 ? X ? 2.5) ? F (2.5) ? F (0) ? ln 2.5 (3)
?? e 1 E ( X ) ? ? xf ( x)dx ? ? x dx ? e ? 1 ?? 1 x

…………………7 分

…………………10 分 六、 (10 分) 设 B 表示取得不合格品事件, Ai (i ? 1,2,3) 表示取得的产品是甲、乙、丙次厂家的
3

1) P( B) ?

? P( A )P( B / A ) ? 0.15? 0.02 ? 0.80? 0.01? 0.05? 0.03 ? 0.0125
i ?1 i i

………………………5 分 2) P( A1 / B) ?

P( A1 ) P( B / A1 )

? P( A ) P( B / A )
i ?1 i i

3

? 0.24

…………………10



七、 分) (6

L(? ) ? ??xi? -1 ? ? n ? xi? -1
i ?1 i ?1

n

n

……2 分

ln L(? ) ? n ln ? ? ? - 1) ln xi ( ?
i ?1

n

……3 分

令:

d ln L(? ) n n ? ? ? ln xi ? 0 d? ? i ?1
解得极大似然估计值为:

……5 分

? ??

?

n

? ln x
i ?1

n

i

……………… 6 分

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八、 (本小题 4 分)当

0 ? y ? 1时,
……………2 分

FY ( y) ? P{Y ? y} ? P{F ( X ) ? y} ? P{X ? F ?1 ( y)} ? y
y ? 0时,F ( y) ? 0, y ? 1时,F ( y) ? 1,
综上,

…………………3 分

?0, y ? 0 ? F ( y ) ? ? y,0 ? y ? 1, ?1, y ? 1 ?

?1,0 ? y ? 1 f ( y) ? ? ?0, others 故:
?? ??

……………4 分

九、 (10 分)1)由 分 2)

?? ??

? ? f ( x, y)dxdy ? k ?

??

0

e ?3 x dx? e ?4 y dy ? 1
0

??

k=12

………3

P{0 ? X ? 1,0 ? Y ? 2} ? ?? f ( x, y )dxdy ? ? ? 12e ?(3 x ? 4 y ) dxdy ? (1 ? e ?3 )(1 ? e ?8 )
0 0 2 1

……………5 分

?(1 ? e ?3 x )(1 ? e ?4 y ) F ( x, y ) ? ? 3) 0 ?

x ? 0, y ? 0 其它

………………………7 分

4)由 f ( x, y ) 可分离变量,故 X 与 Y 独立。

…………………10 分

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