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高三理科数学综合练习


1.设复数 z1 , z 2 在复平面内的对应点关于虚轴对称, z1 ? 2 ? i ,则 z1 ? z2 ? ( ) A. ? 5 B.5 C. ? 4 ? i D. ? 4 ? i 2.已知集合 A ? { y | y ? ( ) , x ? R}, B ? {?2, ?1,1, 2} ,则下列结论正确的是(
x

1 2



A. A ? B ? {?2, ?1} C. A ? B ? (0, ??) 3.在区间 ? ?

B. ?CR A? ? B ? ?? ?,0?

D. ?CR A? ? B ? ?? 2,?1?

2 ? 1 1? 与 , ? 上随机取一个数 x ,则 cos ? x 的值介于 2 ? 2 2?

3 之间的概率为 ( ) 2

1 1 1 1 A. B. C. D. 3 4 5 6 4. 某流程图如图,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是( )

5.一个四面体的顶点在空间直角坐标系 o ? xyz 中的坐标分别是(1,0,1), (1,1,0), (0,1,1), (0,0,0), 画该四面体三视图中的主视图时, 以 zox 平 面为投影面,则得到主视图可以为( ) A. B. C. D.

2x ?1 2x ? 1 x C. f ( x ) ? x
A. f ( x ) ?

B. f ( x ) ?

cos x ? ? (? ? x ? ) x 2 2

D. f ( x) ? x2 ln( x2 ? 1)

6. 若 sin 2t ? A.

2? 3

,则 t=( ? cos xdx ,其中 t∈(0,π)
0

t

)

B.

? 2

C.

? 3

D. ?

7. 已知等差数列 ?a n ?的首项为 a1 , 公差为 d , 其前 n 项和为 Sn , 若直线 y ? 的两个交点关于直线 x ? y ? d ? 0 对称,则数列 ? A.

1 a1 x ? m 与圆 ?x ? 2?2 ? y 2 ? 1 2

9 10 B. 10 11 2 2 x y 9.已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 上一点 A 关于原点的对称点为点 B,F 为其右焦点,若 AF ? BF , a b ?? ? ? 设 ?ABF ? ? ,且 ? ? ? , ? ,则该椭圆离心率 e 的取值范围为( ) ?6 4? 2 2 2 3 3 6 A. [ B. [ C. [ D. [ , 3 ? 1] ,1) , ] , ] 2 2 2 2 3 3
11. 已知箱子里装有 4 张大小、形状都相同的卡片,标号分别为 1,2,3,4.从箱子中任意取出一张卡片,记下 它的标号 m ,然后再放回箱子中;第二次再从箱子中任取一张卡片,记下它的标号 n ,则使得幂函数

?1? ) ? 的前 10 项和=( ? Sn ? 8 C. D.2 9

f ?x ? ? ?m ? n? x n 图像关于 y 轴对称的概率为 3 12. 已知 OA ? 1 , OB ? m , ?AOB ? ? ,点 C 在 ?AOB 内且 OA ? OC ? 0 , 4
2

m

若 OC ? 2?OA ? ?OB(? ? 0) 则 m =
1

? ? ?0 ? x ? 13.若 ? , z ? x ? 2 y ,则 z 的取值范围是 2 ? ?sin x ? y ? cos x
16. 已知直线 l : ?



? x ? ?1 ? t cos? ( t 为参数,? 为 l 的倾斜角) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴 ? y ? t sin ? 建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 6 ? cos? ? 5 ? 0 . 若直线 l 与曲线 C 相切,则 ? 的值
为 .

17. 已 知 函 数 f(x) = sin(2x +

? ? 2 π ? ).(Ⅰ) 若 f ?? ? ? , 求 f ? ? ? ? 的 值 ; 6 12 ? 3 ?

(Ⅱ) 在 △ABC 中 , 若

f ( A) ?

3 ? ,∠B= ,AC=2,求△ABC 的面积. 2 4

19. 如图所示多面体中,AD⊥平面 PDC,ABCD 为平行四边形,E 为 AD 的中 点,F 为线段 BP 上一点,∠CDP=120° ,AD=3,AP=5,PC=2 7 (1)试确定点 F 的位置,使得 EF∥平面 PDC; 1 (2)若 BF= BP,求直线 AF 与平面 PBC 所成的角的正弦值. 3

A E B D F P

C

21. 已知椭圆 C1,抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上,从两条曲线上各取两个点,将其坐标混合记录于下表中: x y -2 2 ﹣ 2

6
-1

9 3

2

(1)求椭圆 C1 和抛物线 C2 的标准方程.. (2)过椭圆 C1 右焦点 F 的直线 l 与此椭圆相交于 A,B 两点,若点 P 为直线 x=4 上任意一点,试证: 直线 PA,PF,PB 的斜率成等差数列.

22. 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ?

f ?(1) 2 x ? 2 x 1 ?e ? x 2 ? 2 f (0) x , g ( x) ? f ( ) ? x 2 ? (1 ? a) x ? a . 2 2 4 ⑴ 求函数 f ( x) 的解析式;⑵ 求函数 g ( x) 的单调区间;

2

襄阳五中 2015 届高三年级五月模拟考试(二)

理科数学参考答案
1. A 11. 2. D 3. D 4.A 5.A 6.C 7.B 8.B 9.A 10. B

3 12. 2 2 13. 16 ? ? 5? 或 15. 16. 6 6 4
17.解:(1) ∵ cos? 2? ? ∴ f ?? ?

14. (I)4;(II)

? n ? 2 ?? n ? 3?
2

? ?

? 12 ?

? ?

5 ??? 6? 3 ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? sin 2? ? sin ?? 2? ? ? ? ? ? sin? 2? ? ? cos ? cos? 2? ? ? sin 6 ? 6? 6? 6 6? 6 ? ? ??
………………… …6 分 π 6 3 2 ∵0<A<π

? ?

??

?

2 3? 5 6

π π 13 ∴ <2A+ < π , 6 6 6 π π π 2 π π ∴2A+ = 或 2A+ = π,即 A= 或A= …………………………8 分 6 3 6 3 12 4 6- 2 π 2 当 A= 时,C= π,a=2 2sinA= · 2 2= 3-1 , 12 3 4 3- 3 1 S△ABC= absinC= ………10 分 2 2 π π 1 当 A= 时,C= , S△ABC= ab=2 …………………………………………12 分 4 2 2
(2) f(A)=sin(2A+ )=

18. 解:(1)依题意,有

(2)考查 而函数 当 n=1 或 2 或 3 时, d在 上为增函数, ; 当 n≥4 时,

∴仅当 n≥4 时, ∴至少经过 4 年,该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润. 19. 解(Ⅰ)取 F 为线段 BP 中点,取 PC 的中点为 O,连 FO,DO……………2 分
3

∥1BC∴ABCD 为平行四边形,ED∥BC 且 DE=1BC ∵F、O 分别为 BP、PC 的中点,∴FO= 2 2 ∴FO∥ED 且 DE=FO∴四边形 EFOD 是平行四边形…………………3 分 ∴EF∥DO……………………………4 分 ∵EF? / 平面 PDC∴EF∥平面 PDC……………5 分 (Ⅱ)以 DC 为 x 轴,过 D 点作 DC 的垂线为 y 轴,DA 为 z 轴建立空间直角坐标系…6 分 ∵D(0,0,0),C(2,0,0),B(2,0,3),P(-2,2 3,0),A(0,0,3)…………7 分 ?? 1?? 4 2 3 2 2 3 ∵设 F(x,y,z), BF =(x-2,y,z-3)= BP =(- , ,-1)∴F( , ,2)………8 分 3 3 3 3 3 ?? 2 2 3 AF =( , ,-1),设平面 PBC 的法向量→ n1 =(a,b,c) 3 3 则?

? ?n1 ? CB ? 0 ? ?n1 ? PC ? 0

?3z=0 ,? ……………………………9 分 ?4x-2 3y=0

3 令 y=1,可得→ n1 =( ,1,0)……………………………………10 分 2 ?? → ?? AF ? n1 6 21 cos< AF ,→ n1 >= ?? = ……………………………………………………11 分 35 | AF ||→ n1 | 6 21 ∴直线 AF 与平面 PBC 所成角的正弦值为 ………………………12 分 35 20. 解: (1)由题意,P(X<300)=0.3, P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4, P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2, P(X≥900)=1-0.9=0.1 X 的分布列为: D(Y)=(0-3)2× 0.3+(2-3)2× 0.4+(6-3)2× 0.2+(10-3)2× 0.1=9.8 ∴工期延误天数 Y 的均值为 3,方差为 9.8 。 (2)P(X≥300)=1-P(X<300)=0.7, P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.9-0.3=0.6 由条件概率可得 P(Y≤6|X≥300)= 。

6 ,m=1, 6 故抛物线方程为 y2=x;即点(2,- 2 )和(9,3)在抛物线上。因此(-2, 2 ) x2 y2 ( 6, -1) 两个点为椭圆 C1 上两点, 设椭圆方程为: 2 ? 2 ? 1 , 将上述两个点坐标代入解得: a b x2 y2 ? ? 1. b2=4, 故椭圆方程为: 4分 8 4
21. 解: (1)设抛物线方程为 y2=mx,分别将四个点代入解得 m= ?1 ,m=1,m= (2)(I)当直线 AB 的斜率为 0 时, 设 P?4, y0 ? ,则 kPA ? kPB ? y0 ? 2kPF ,直线 PA,PF,PB 的斜率成等差数列 当直线 AB 的斜率不为 0 时, 设 AB : x ? ty ? 2 ,代入 x ? 2 y ? 8 ? 0, 消去 x,可得 (t ? 2) y ? 4ty ? 4 ? 0,
2 2

a2=8,

5分

2

2

? y1 ? y2 ?

kPA ? kPB

? 直线 PA,PF,PB 的斜率成等差数列

?4t ?4 , y1 y2 ? 2 , 不妨令 P(4,y0 ), 则有: t ?2 t ?2 y ? y y ? y2 4 y0 ? (2 ? ty0 )( y1 ? y2 ) ? 2ty1 y2 ? 0 1? 0 ? ? y0 ? 2kPF 2 ? ty1 2 ? ty2 4 ? 2t ( y1 ? y2 ) ? t 2 y1 y2
2

7分
4

(II)因为 FA ? ? FB, ,所以

??? ?

??? ?

,且 λ<0.又
2 2 2

? y1 ? y2 ?

?

? y1 ? y2 ?2 ? ? 4t 2
y1 y2

?4t ?4 ? y ? y2 ? ? y1 ? 2 y1 y2 ? y2 ? ? ? 1 ? 2 , , y1 y2 ? 2 ,? 1 2 t ?2 t ?2 y1 y2 y1 y2 ?

t2 ? 2

?? ?

1

?

?2 ?

? 4t 2 t2 ? 2

5 ? 2? ?[? , ?2] ,? t 2 ? ?0, ? ? 2 ? 7? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 因为 PA ? ( x1 ? 4, y1 ), PB ? ( x2 ? 4, y2 ) ,所以 PA ? PB ? ( x1 ? x2 ? 8, y1 ? y2 ) ? (ty1 ? ty2 ? 4, y1 ? y2 ) ??? ? ??? ?2 ?4t 2 ?4t (8t 2 ? 8)2 ? 16t 2 2 2 故 PA ? PB ? (ty1 ? ty2 ? 4) ? ( y1 ? y2 ) ? ( 2 ? 4)2 ? ( 2 )2 ? t ?2 t ?2 (t 2 ? 2)2 ? 16? 2 令 m ? t ? 2 ( m ? ?2, ? ),则 ? 7? 2 ??? ? ??? ? 2 (8m ? 8)2 ? 16(m ? 2) 112 32 4 ? 1 7? 2 PA ? PB ? ? 64 ? ? ? 2( ? 7) ? 34 = 32? ? ? ? 34 m2 m m2 m ? m 4? ??? ? ??? ?2 1 7 2 14 2 y?2 。 当 ? 即 t ? 时, PA ? PB 的值最大, 此时方程为 x ? ? 13 分 m 16 7 7 22. 解: (1) f '( x) ? f '(1)e2 x?2 ? 2x ? 2 f (0) ,所以 f '(1) ? f '(1) ? 2 ? 2 f (0) ,即 f (0) ? 1 . 又 f ?(1) ?2 f (0) ? ? e , 所以 f '(1) ? 2e2 ,所以 f ( x) ? e2 x ? x2 ? 2 x . 4分 2 (2)? f ( x) ? e2 x ? 2 x ? x2 , x 1 1 1 ? g ( x) ? f ( ) ? x 2 ? (1 ? a) x ? a ? e x ? x 2 ? x ? x 2 ? (1 ? a ) x ? a ? e x ? a ( x ? 1) 2 4 4 4 x ? . 5分 ? g ( x) ? e ? a 6分 ①当 a ≤ 0 时, g ?( x) ? 0 ,函数 f ? x ? 在 R 上单调递增;
由 λ∈[﹣2,﹣1] ,得 ? ?

1

②当 a ? 0 时,由 g ?( x) ? e x ? a ? 0 得 x ? ln a , ∴ x ? ? ??,ln a ? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减;

x ? ? ln a, ??? 时, g ?( x )? 0 , g ( x) 单调递增. 综上,当 a ≤ 0 时,函数 g ( x) 的单调递增区间为 (??, ??) ;当 a ? 0 时, 8分 函数 g ( x) 的单调递增区间为 ? ln a, ??? ,单调递减区间为 ? ??,ln a ? . e x ?1 (3)解:设 p ( x) ? ? ln x, q ( x) ? e ? a ? ln x , x e 1 ? p '( x) ? ? 2 ? ? 0 ,? p( x) 在 x ? [1, ??) 上为减函数,又 p(e) ? 0 , x x ? 当 1 ? x ? e 时, p( x) ? 0 ,当 x ? e 时, p( x) ? 0 . 1 1 ? q '( x) ? e x ?1 ? , q ''( x) ? e x ?1 ? 2 ? 0 , x x ? q '( x) 在 x ? [1, ??) 上为增函数,又 q '(1) ? 0 , ? x ? [1, ??) 时, q '( x) ? 0 , ) a? 2 ?. 0 ? q( x) 在 x ? [1, ??) 上为增函数, ? q( x)? q( 1? e x ?1 ①当 1 ? x ? e 时, | p ( x) | ? | q( x) |? p( x) ? q( x) ? ? e ? a , x
5

e e ? e x ?1 ? a ,则 m '( x) ? ? 2 ? e x ?1 ? 0 , x x ? m( x) 在 x ? [1, ??) 上为减函数, ? m( x) ? m(1) ? e ? 1 ? a , e ? a ? 2 ,? m( x) ? 0 ,? | p( x) |?| q( x) | ,? 比 e x ?1 ? a 更靠近 ln x . x e x ?1 x ?1 ②当 x ? e 时, | p( x) | ? | q( x) |? ? p( x) ? q( x) ? ? ? 2 ln x ? e ? a ? 2 ln x ? e ? a , x 2 x ?1 2 x ?1 设 n( x) ? 2ln x ? e x?1 ? a ,则 n '( x) ? ? e , n ''( x) ? ? 2 ? e ? 0 , x x 2 ? n '( x) 在 x ? e 时为减函数,? n '( x) ? n '(e) ? ? ee ?1 ? 0 , e ? n( x) 在 x ? e 时为减函数,? n( x) ? n(e) ? 2 ? a ? ee?1 ? 0 , e ? | p( x) |?| q( x) | ,? 比 e x ?1 ? a 更靠近 ln x . x e x ?1 综上:在 a ? 2, x ? 1 时, 比 e ? a 更靠近 ln x . 12 分 x
设 m( x ) ?

6


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