当前位置:首页 >> 数学 >>

高等数学-第七版-课件-10-6 三重积分在柱坐标和球坐标系下的计算


第六讲 三重积分 在柱坐标和球坐标系下的计算

三重积分在柱坐标和球坐标系下的计算

一、三重积分在柱坐标系下的计算
二、三重积分在球坐标系下的计算

三重积分在柱坐标和球坐标系下的计算

一、三重积分在柱坐标系下的计算
二、三重积分在球坐标系下的计算

一、三重积分在柱坐标系下的计算

(一)柱坐标系
(二)柱坐标系的适用条件 (三)三重积分计算公式

(四)化为累次积分的方法

一、三重积分在柱坐标系下的计算

(一)柱坐标系
(二)柱坐标系的适用条件 (三)三重积分计算公式

(四)化为累次积分的方法

?柱坐标系 平面极坐标系添加oz轴得到的空间坐标系 ?柱坐标

设 M ( x, y , z ) ? R 3 ,
点M的柱坐标

?直角坐标与柱坐标的关系

x ? ? cos ? y ? ? sin ?

z

z?z
规定 在柱坐标系下

z

M ( x, y , z )

? ? 常数 ? ? 常数
z ? 常数

圆柱面 半平面 平面

o y ? ( x, y,0) x ?

一、三重积分在柱坐标系下的计算

(一)柱坐标系
(二)柱坐标系的适用条件 (三)三重积分计算公式

(四)化为累次积分的方法

一、三重积分在柱坐标系下的计算

(一)柱坐标系
(二)柱坐标系的适用条件 (三)三重积分计算公式

(四)化为累次积分的方法

一般地 在 若



?Ω在xoy面的投影为圆或圆的一部分
y 2 2 ?f(x,y,z)中含有 x ? y 或 arctan 的项 x

Ω为圆柱体

则可以考虑用柱坐标计算三重积分

一、三重积分在柱坐标系下的计算

(一)柱坐标系
(二)柱坐标系的适用条件 (三)三重积分计算公式

(四)化为累次积分的方法

一、三重积分在柱坐标系下的计算

(一)柱坐标系
(二)柱坐标系的适用条件 (三)三重积分计算公式

(四)化为累次积分的方法

?将直角坐标系下三重积分化为柱坐标系下三重积分

1.体积元素的变化

z

d v ? ? d ? d? d z
2.被积函数的变化

? d?

z

?
o ?? x d? d?

d? dz

y

3.积分区域的变化 将Ω的边界曲面用柱坐标表示

?柱坐标系下三重积分计算公式

??? f ( x, y, z)dv ? ??? f ( ? cos? , ? sin ? , z) ?d?d? dz
? ?

一、三重积分在柱坐标系下的计算

(一)柱坐标系
(二)柱坐标系的适用条件 (三)三重积分计算公式

(四)化为累次积分的方法

一、三重积分在柱坐标系下的计算

(一)柱坐标系
(二)柱坐标系的适用条件 (三)三重积分计算公式

(四)化为累次积分的方法

?将柱坐标系下的三重积分化为累次积分 1.积分次序的选择:一般选择先z、后ρ、再θ的次序 2.积分限的确定:

??? f ( ? cos? , ? sin? , z )?d?d? dz ? ?? ? d ? d? ?
? D

z2 ( ? ,? ) z1 ( ? ,? )

f ( ? cos ? , ? sin ? , z )dz

(1)画出区域Ω的草图(或Ω的一部分). z (2)求区域Ω在xoy面的投影D. (3)定出z的上限和下限. 在D内作平行于z 轴的直线, 穿入区域时, Ω的边界曲面 F ( ? ,? , z ) ? 0 确定的 z ? z1 ( ? ,? )为z的下限. x 穿出区域时, Ω的边界曲面 G( ? ,? , z ) ? 0 确定的 z ? z2 ( ? ,? )为z的上限. (4)将二重积分化为极坐标系下的累次积分. o

z ? z2 ( ? , ? ) z ? z1 ( ? ,? )

y

利用柱坐标计算三重积分的步骤
考虑是否用柱坐标计算 Ω的投影为圆或圆的一部分
x ? y 或arctan f(x,y,z)中含有
2 2

??? f ( x, y, z )dxdydz
?

y x

化为柱坐标系下 三重积分

三 变 、 一 勿 忘

???
?

柱坐标表示 积分区域 Ω 被积函数 f ( x, y, z ) f ( ? cos ? , ? sin ? , z) 体积元素 dxdydz ? d? d? dz 一个勿忘 ? f ( ? cos ? , ? sin ? , z ) ? d? d? dz 一般先z后ρ再θ 积分次序:

化为累次积分

定限方法: 投影、发射
计算累次积分 注意 对一个变量积分时,将其余变量 视为常数

?例1 计算三重积分
其中?为由柱面 x 2 ? y 2 ? 2 x及平面

z a
o
y

z ? 0, z ? a (a ? 0), y ? 0
所围成的半圆柱体. ?例2 计算三重积分 其中?由抛物面 与平面 z

2 ? ? 2 cos ? x
2

x ? y ? 4z

2

z
h

? h (h ? 0) 所围成 .

x

o

y

三重积分在柱坐标和球坐标系下的计算

一、三重积分在柱坐标系下的计算
二、三重积分在球坐标系下的计算

三重积分在柱坐标和球坐标系下的计算

一、三重积分在柱坐标系下的计算
二、三重积分在球坐标系下的计算

二、三重积分在球坐标系下的计算

(一)球坐标系
(二)球坐标系的适用条件 (三)三重积分计算公式

(四)化为累次积分的方法

二、三重积分在球坐标系下的计算

(一)球坐标系
(二)球坐标系的适用条件 (三)三重积分计算公式

(四)化为累次积分的方法

?球坐标

r ?

?
(r , ? , ? )

OM OM与z轴正方向所夹的角

z z
M ?r o ? y x? P

x轴逆时针转到 OP的角
M的球坐标

?直角坐标与球面坐标的关系

z ? r cos ? 规定 0 ? r ? ??, 0 ? ? ? π,0 ? ? ? 2π
在球坐标系下
r ? 常数 ? ? 常数
M ( r ,? , ? )

x ? r sin ? cos? y ? r sin ? sin ?

球面
半平面 锥面

? ? 常数

二、三重积分在球坐标系下的计算

(一)球坐标系
(二)球坐标系的适用条件 (三)三重积分计算公式

(四)化为累次积分的方法

二、三重积分在球坐标系下的计算

(一)球坐标系
(二)球坐标系的适用条件 (三)三重积分计算公式

(四)化为累次积分的方法

一般地 在 若 ?Ω为球或球的一部分



2 2 2 ?f(x,y,z)中含有 x ? y ? z 的项

则可以考虑用球坐标计算三重积分

二、三重积分在球坐标系下的计算

(一)球坐标系
(二)球坐标系的适用条件 (三)三重积分计算公式

(四)化为累次积分的方法

二、三重积分在球坐标系下的计算

(一)球坐标系
(二)球坐标系的适用条件 (三)三重积分计算公式

(四)化为累次积分的方法

?将直角坐标系下三重积分化为球坐标系下三重积分z 1.体积元素的变化
d?

dr

d v ? r 2 sin ? d r d ? d ?
2.被积函数的变化

?
x o ?

r

d?

y
d?

3.积分区域的变化 将Ω的边界曲面用球坐标表示

?球坐标系下三重积分计算公式

???
?

f ( x, y, z )dv ? ??? f (r sin ? cos ? , r sin ? sin ? , r cos ? )r 2 sin ?drd?d?
?

二、三重积分在球坐标系下的计算

(一)球坐标系
(二)球坐标系的适用条件 (三)三重积分计算公式

(四)化为累次积分的方法

二、三重积分在球坐标系下的计算

(一)球坐标系
(二)球坐标系的适用条件 (三)三重积分计算公式

(四)化为累次积分的方法

?将球坐标系下的三重积分化为累次积分
1.积分次序的选择:一般选择先r、后φ、再θ的次序. 2.积分限的确定: 观察、想象.

利用球坐标计算三重积分的步骤
考虑是否用球坐标计算 Ω的球或球的一部分 f(x,y,z)中含有 x 2 ? y 2 ? z 2
三 变 、 一 勿 忘

??? f ( x, y, z )dxdydz
?

化为球坐标系下 三重积分

球坐标表示 积分区域 Ω 被积函数 f ( x, y, z ) F (r , ? ,? ) 体积元素 dxdydz r 2 sin ? drd? d? 一个勿忘 r 2 sin ?

???
?

f ( r sin ? sin ? , r sin ? cos ? , r cos ? )r 2 sin ? drd? d?

化为累次积分

一般先r后φ再θ. 积分次序:

定限方法:观察、想象.
计算累次积分 注意 对一个变量积分时,将其余变量 视为常数.

?例3
计算三重积分 其中?为锥面 与球面 所围立体.

z
?

r?R

4

x

o

y


相关文章:
§13-5 三重积分的柱坐标计算法与球坐标计算法
搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...三重积分的柱坐标计算与球坐标计算法_数学_自然...定理 13-6 在定理 13-5 的假设条件下,则有 ??...
柱坐标和球坐标系下拉普拉斯算符表达式的简单推导
[摘 要]:本文采用多元微积分,利用球坐标与柱坐标、柱坐标与直角坐标变量转换的相同关系, 以拉普拉斯算符为例,简化了在柱坐标和球坐标系下拉普拉斯算符表达式的...
利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分教案
高等数学教案课题 时间 第 20 讲:第五节利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 2003.4.28 教学 目的 要求 1. 掌握三重积分在柱坐标和球面坐标下的计算公式.;...
利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
高等数学第六版第十章 利... 32页 1下载券 (简...利​用​柱​面​坐​标​和​球​...利用柱面坐标计算三重积分 点 M 的直角坐标 ( x,...
9.3.3 三重积分在柱面坐标系下的计算
9.3.3 三重积分在柱坐标系下的计算_理学_高等教育_教育专区。高数9.3.3 三重积分在柱坐标系下的计算 设 为空间内一点 ,并设点 在 面上 的投影 P 的...
9.5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
9.5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分_高一数学_...?( ? ) 2 2 4 6 1 = 48 二、利用球坐标...三重积分在球面坐标系下的计算公式。 三重积分在...
第十章____重积分(高等数学教案)
【教学难点】 1.利用极坐标计算二重积分; 2.利用球坐标计算三重积分; 3.物理...[3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南(下)》,第六版.高等教育出版社 ...
《高等数学》2013.6.20
(同济大学)高等数学课件D8... 33页 免费如要投诉...1 ...(15) 10 ? 9 ? 7 ? 6 ? 4 ? 3 ...15 P.161 例 3、 利用柱面坐标计算三重积分 ??...
同济大学高数第10章 重积分
同济大学高数第10章 重积分_理学_高等教育_教育专区...重积分与三重积分的概念、性质、计算方法及其应用. ...10.3.3 柱坐标和球坐标系下三重积分的计算 1...
更多相关标签:
高等数学同济第七版 | 高等数学第七版 | 高等数学第七版pdf | 高等数学第七版上册 | 高等数学第七版答案 | 高等数学同济第七版上 | 高等数学第七版下册 | 高等数学第七版视频 |