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2016届(新课标)高考数学(文)大一轮复习课件:第2章 第十一节 第三课时 导数与函数的综合问题


第三课时 考点一 导数与函数的综合问题 利用导数研究生活中的优化问题 (重点保分型考点——师生共研) [典题例析] (2013· 重庆高考 ) 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 ( 不计厚 度 ). 设该蓄水池的底面半径为 r 米, 高为 h 米, 体积为 V 立方米. 假 设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为 100 元/平方米,底 面的建造成本为 160 元/平

方米,该蓄水池的总建造成本为 12 000π 元(π 为圆周率). (1)将 V 表示成 r 的函数 V(r),并求该函数的定义域; (2)讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积 最大. 解:(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh=200πrh(元),底 面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成本为(200πrh+ 160πr2)元. 又根据题意200πrh+160πr2=12 000π, 1 所以h= (300-4r2), 5r π 从而V(r)=πr h= (300r-4r3). 5 2 因为r>0,又由h>0可得r<5 3, 故函数V(r)的定义域为(0,5 3). π (2)因为V(r)= (300r-4r3), 5 π 所以V′(r)= (300-12r2). 5 令V′(r)=0,解得r1=5,r2=-5(因为r2=-5不在定义域内, 舍去). 当r∈(0,5)时,V′(r)>0,故V(r)在(0,5)上为增函数; 当r∈(5,5 3)时,V′(r)<0,故V(r)在(5,5 3)上为减函数. 由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8. 即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大. [类题通法] 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模 型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x); (2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0; (3)比较函数在区间端点和f′(x)=0的点的函数值的大小,最 大(小)者为最大(小)值; (4)回归实际问题作答. [演练冲关] 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:千 a 克)与销售价格 x(单位:元/千克)满足关系式 y= +10(x-6)2, x-3 其中 3<x<6,a 为常数.已知销售价格为 5 元/千克时,每日可售 出该商品 11 千克. (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场 每日销售该商品所获得的利润最大. a 解:(1)因为x=5时,y=11,所以 +10=11,a=2. 2 2 (2)由(1)可知,该商品每日的销售量y= +10(x-6)2. x-3 所以商场每日销售该商品所获得的利润 ? 2 ? 2? ? f(x)=(x-3)?x-3+10?x-6? ? ? ? =2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6. 从而,f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)] =30(x-4)(x-6). 于是,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (3,4) + 4 0 极大值 (4,6) - 由上表可得,x=4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值 点. 所以,当 x=4 时,函数 f(x)取得最大值,且最大值等于 42. 当销售价格为 4 元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大. 考点二 利用导数研究

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