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用相对运动解一竞赛题


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中学 物理

v  1 9   No . 1  

2 0 0 1年 1月 

凰袒l I 香   动鼹!衰 避  
重  夸川一中( 4 0 1 5 2 0 )   张  斌 

第 十 七 届 全 国 中学 生 物

理 竞 赛 预 赛 试 卷  中 的第 八 题 是 一 道 较 为 典 型且 有 一 定 难 度 的 动 
力学赛题 . 原 题是这样 的 :   如 图 甲 所示 , 在 水 平 桌 面 上 放 有 长 木 板 C,  

作为整 个试 卷最后 一 道“ 把关 ” 、 拉 开 档 次 

的题 , 命 题者在构题设计 、 考 查 知 识 要 点 和 解 决  问题 的 能 力 诸 方 面 是 花 了 心 血 的 . 但 原 参 考 解 
答 是 采 用 动 量 守恒 和 动 能 定 理 联 合 求 解 的 . 数 

c 上 右 端 是 固 定 挡 板 P, 在 c 上 左 端 和 中点 处  各 放 有 小 物 块 A 和 B, A、 B 的 尺 寸 以 及 P 的 厚  度 皆可忽 略不计 , A、 B 之 问 和 B、 P之 间 的距 离 
皆 为 L. 设 木板 C 与桌 面之 问无摩 擦 , A、 C 之  间 和 B、 C 之 间 的 静 摩 擦 系 数 及 滑 动 摩 擦 系 数 

学运算较 繁杂 . 如 果我 们 对 此题 巧 选 参 照 系 , 利 
用 相对 运 动 的知 识 求 解 , 便 会简捷得多 .   解  l 、 以 m 表 示 A、 B 和 C 的质 量 , 当 物  块 A 以初 速 度 口 。 向右运动 时 . A、 B和 C在 水 平  方 向 的受 力 及 加 速 度 如 图 乙所 示 .   则 由牛 顿 第 二 定 律 有 :  
】  

均 为  ; A、 B、 c( 连 同 挡 板 P)的 质 量 相 同 开  始时 . B 和 c静 止 , A  某 一 初 速 度 口 。向 右 运 
动, 试 问下列情 况是否 能发生? 要 求 定 量 求 出能 

2m a 2  
1  

发 生 这 些 情 况 物块 A 的初 速 度 。 应 满 足 的条 
件, 或定量说 明不能发生 的理 由.  

即: n 【 =   , d 2= 音 
若 以术 板 c 为 参 照 系 , 则 B相 对 c 静 止 不 
动. 而 A 相 对 B 的 初 速 度 为 。 , 加 速 度 的 大 小 

1 、 物块 A 与 B发 生碰撞 ;   2 、 物块 A 与 B 发生碰撞 ( 设 为 弹性 碰 撞 )   后, 物 块 B 与 挡 板 P 发 生 碰撞 ;  
3 、 物 

为: n ^ =n l 十n 2 =鲁  , 则由 运动 学公式有:  
2 口 ^ L = 

块 B 与 挡 
板P 发 生 碰  撞( 设 为 弹 

由 以上 各 式 解 得 :   甲 

= ̄ / 3 , a g L  

即 物 块 A 的 初 速 度 。=   3   L时 , A 刚 好不   与 B 发生碰撞 , 故 A 与 B发 生碰撞 的条件是 :  

善 后 ,   物 块   B ,   _ =  — — — — 口 : = =   L  
与 A 在 木 刀  刀7 7 7 7 7 7  7 7  
板 C 上 再 

口n>   3 , a gL  

2 、 物 块 A 与 B相 撞 后 交 换 速 度 ( 困 A、 B质  量 相 等 且 属 弹 性碰 撞 ) 即 A 相 对 c 静 止 不 动 ,   而 B 相 对 c 的初 速 为 口   (   是 A 与 B相 撞 前 A 
0 

发 生 碰撞 ;   4 、 物 
块 A 从 木 
丙 
c 

相对 C 的速度 ) , 加 速度 戈 为 : n   =  ̄  - , a g, 则 

板 C 上 掉  下来 ;  

碰 撞 问题研 究 

2 n ^ L=  j 一口   2 。 B L= 口  
由 以上 各 式 解 得 :口  =   6 , a g L   即 物块 A 的 初 速 度 


5、 物 块 B 从 木 板 C 上 掉 下 来 

25 —  

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2 0 0 1年 1月 

Vo 1 . 1 9   No . 1  

中学 物理 

口 o=v ,  

时, A 与B碰撞 , 但 B与P刚好 不 
。>  6 , u g L  



( M +   ) g h  

( 2 )  

发生 碰 撞 . 故 A 与 B碰 撞 后 . 物 块 B 与 挡 板 P发  生 碰 撞 的条 件 是 :  

由( 2 )式 解 得  , 并代人 ( 1 )式 得 :  


( m +M) √2 g h / m.  

3 、 设 B 与 挡 板 P发 生 碰撞 时 相 对 C的 速 度  为  . 则 B与 P相 撞 后 , B、 C速 度 交 换 , 而 A 相  对地的 速 度不 变 . 即 A 与 B 相 对 地 的 速 度 相  同, 相对 C 均有 向 左 的 初 速  : . 且 所 受 摩 擦 力  均为 p mg. 因 此 物 块 B 与 A 在 木 板 C上 不 可 能 
再 发 生 碰撞 .  

[ 例2 ] 有一个 质量是  的小球 I用 长度 
是 L的绳 子 悬挂 在 。 点 . 把球 I 拉 到 A 点 ,  
OA 水 平 , 如 图 2所 示 . 另 一 质 量 相 等 的小 球 Ⅱ  

静止放 在 B 点 , ( B 点 在 。 点 的竖 直 下方 , O B 

: L) , B C是半 径R = L I 2 的一段 圆弧轨道 ( 圆   心 在 OB 的 中 点 ) . 当 在 A 点 的小 球 I 从 静 止  下落到 B 时 , 跟 小球 Ⅱ 作 弹 性 碰撞 使小 球 Ⅱ   沿 轨 道 BC滑 出 ( 不 考虑摩擦 ) . 求 小 球 Ⅱ 经 过 
D 点 时 对 轨道 的 压 力 . ( 圆弧 轨 道 B D 所 对 的 圆 

4 、 B 与P 相 撞 后 , A、 B、 C 在水 平 方 向 上 的  受 力 和 加 速 度 方 向如 图 丙 所 示 :  

则 由牛 顿 第 二 定 律 有 : p mg = 卅n   I=  
2 pi ng   1 卅n   3  

2  

心角  = 6 0   , m =l k g , g= 1 0   解


)  

即: 口   1= 口   2= u . g. d   3= 2 p . g  

( 1 ) 球 I从 A 到B, 机械能守 恒 :  
 

若 以木 板 c为 参 照 系 . 则 A、 B相 对 c的 初  速 为  , 加速 度的大小 为 a   ^= d   。= 3 , u g. 由  
运动学公式有 :  
2a ^ L =  一   ,  

. .

I gL 

1  

1   】  

2  

口l= √ 2g L 

A   — — — —  0 
:   C 

( 2 ) 球 I、 Ⅱ 在 B作 
弹 性 碰撞 , m】= m2 , . ‘ .  

2 口 B L=  

—  ; , 2 a   A L=   .  

进行速 度交换 : 口   2=  l  


由 以 上各 式 解 得 :  o= √ 1 2 , u g L   即 当 物 块 A 的 初 速 度 。= VT 2  ̄ , g L时 , A 刚 好 
不 会 从 木 板 C上 掉 下 , 故 A 从 C上 掉 下 的 条 件  是: 口 D> √ 1 2 , u g L.  

√2 g L.  

g 

( 3 ) 球 Ⅱ从 B 到 D ,  
根据 机械能守恒 :  
1   m 1  

图 2 弹 性 碰 撞 

  2 2口    +  m  ̄g ho   2 =  : 百 m2 百 m2

2  , 2

5 、 当 A 从 c上掉下时 , B 相 对 木 板 c 的 速  度 为  3 , 加 速 度 的 大小 为 口   =2 , u g. 且 此 时 B  在木 板 C 的中点( 由第 4问很 易 判 断 ) , 则 

l _ l ^ 。 =R ( 1 — 0 。 8 口 ) = 导( 1 一 c e s 6 0 。 ) =L I 4 ,  

2 n ^ L=  

一   , 2 a B L=  
。=  

一  ;  

代 人   1   m 2 g L =   1   m   ?  + m   g 鲁  


2 a ' e L=  : 一  ; ,2 a " e L=口  
由以上各式可得 :  





口  =3 g L 1 2 .   ( 4 ) 球 Ⅱ 经 D 点时 , 在法 向上有 :  
N — m2 g ?c o s O = m2 口  
? .

即 当 。= √ 1 6   罾L时 , 物 块 B 刚好 不 能从 木 板 
C上掉 下 , 故 物 块 B从 木 板 C上 掉 下 的条 件 是 :  



N = m: g / 2+ m  2  

吐 : 3 5mg


=  

L 

口 。>  ̄ / 1 6  L  

( 收 稿 目期 : 2 0 0 0—0 9一 l 1 )  

3 5 ( N)  

( 5 ) 根据 牛顿 第 三定律 . 球 Ⅱ 在 D 点对轨 

【 上 接 第 2 4 页 )  吉 ( m + M )   ;  
— —

道压 力为 3 5 N.  

( 收稿 日期 : 2 0 0 0—0 9—2 9 )  

2 6 — —  


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