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高一衔接教材 一元二次不等式解法 含绝对值的不等式


初高中衔接教材
1、一元二次不等式解法
二次函数 y=x2-x-6 的对应值表与图象如下:

x y

-3 6

-2 0

-1 -4

0 -6

1 -6

2 -4

3 0

4 6

由对应值表及函数图象(如图 2.3-1)可知 一元二次方程 x2-x-6=0 的解就是: 同样,结合抛物线与 x 轴的相关位置,可以得到 一元二次不等式 x2-x-6>0 的解是

一元二次不等式 x2-x-6<0 的解是 上例表明: 由抛物线与 x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一 元二次不等式的解集.
那么,怎样解一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)呢? 我们可以用类似于上面例子的方法,借助于二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象来解 一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0). 为了方便起见,我们先来研究二次项系数 a>0 时的一元二次不等式的解. 我们知道,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0),设△=b2-4ac,它的解的情形按照△ >0,△=0,△<0 分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解 和没有实数解,相应地,抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)与 x 轴分别有两个公共点、一个公 共点和没有公共点(如图 2.3-2 所示),因此,我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次 不等式 ax2+bx+c>0(a>0)与 ax2+bx+c<0(a>0)的解. (1)当 Δ>0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)与 x 轴有两个公共点(x1,0)和(x2,0), y y y

x1

O x2

x O x1= x2 x

O ③

x



② 图 2.3-2

方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根 x1 和 x2(x1<x2),由图 2.3-2①可知 不等式 ax2+bx+c>0 的解为: 不等式 ax2+bx+c<0 的解为: (2)当 Δ=0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)与 x 轴有且仅有一个公共点,方程 ax2 b +bx+c=0 有两个相等的实数根 x1=x2=- ,由图 2.3-2②可知 2a 不等式 ax2+bx+c>0 的解为: 不等式 ax2+bx+c<0 的解为: (3)如果△<0,抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)与 x 轴没有公共点,方程 ax2+bx+c =0 没有实数根,由图 2.3-2③可知 不等式 ax2+bx+c>0 的解为: 不等式 ax2+bx+c<0 的解为: 今后,我们在解一元二次不等式时,如果二次项系数大于零,可以利用上面的结论直接 求解;如果二次项系数小于零,则可以先在不等式两边同乘以-1,将不等式变成二次项系 数大于零的形式,再利用上面的结论去解不等式. 例 1、 解不等式: (1)x2+2x-3≤0; (2)x-x2+6<0; 2 (3)4x +4x+1≥0; (4)x2-6x+9≤0; (5)-4+x-x2<0.

例 2、 已知不等式 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解是 x ? 2, 或 x ? 3 求不等式
2

bx 2 ? ax ? c ? 0 的解.

例 3、 解关于 x 的一元二次不等式 x ? ax ? 1 ? 0(a 为实数). 分析 对于一元二次不等式 ,按其一般解题步骤,首先应该将二次项系数变成正数 ,本题 已满足这一要求,欲求一元二次不等式的解,要讨论根的判别式 ? 的符号,而这里的 ? 是关于 未知系数的代数式, ? 的符号取决于未知系数的取值范围,因此,再根据解题的需要,对 ? 的 符号进行分类讨论.
2

例 6 已知函数 y=x2-2ax+1(a 为常数)在-2≤x≤1 上的最小值为 n,试将 n 用 a 表示 出来. 分析:由该函数的图象可知,该函数的最小值与抛物线的对称轴的位置有关,于是需要 对对称轴的位置进行分类讨论.



习 (2)x2-x-12≤0; (4)16-8x+x2≤0.

1.解下列不等式: (1)3x2-x-4>0; (3)x2+3x-4>0;

2.解关于 x 的不等式 x2+2x+1-a2≤0(a 为常数) .

习题 2 A 组 1.解下列不等式: (1)3x2-2x+1<0; (2)3x2-4<0; (3)2x-x2≥-1;

(4)4-x2≤0.

B 组 1.解关于 x 的不等式 x2-(1+a)x+a<0(a 为常数) .

C 组 1.已知关于 x 不等式 2x2+bx-c>0 的解为 x<-1,或 x>3.试解关于 x 的不等式 bx2+cx+4≥0.

2.试求关于 x 的函数 y=-x2+mx+2 在 0≤x≤2 上的最大值 k.

答案练 习
2. (1)无解 (3)1- 2≤x≤1+ 2
2 3 2 3 ?x? 3 3 (4)x≤-2,或 x≥2

(2) ?

B 组
1.不等式可变形为(x-1)(x-a)<0. ∴当 a>1 时,原不等式的解为 1<x<a; 当 a=1 时,原不等式的无实数解; 当 a<1 时,原不等式的解为 a<x<1.

C 组
1.由题意,得 -1 和 3 是方程 2x2+bx-c=0 的两根, b c ∴-1+3=- ,-1× 3=- , 即 b=-4,c=6. 2 2 ∴等式 bx2+cx+4≥0 就为-4 x2+6x+4≥0,即 2 x2-3x-2≤0, 1 ∴- ≤x≤2. 2 m m2 2.∵y=-x2+mx+2=-(x- )2+2+ , 2 4 2 m m ∴当 0≤ ≤2,即 0≤m≤4 时,k=2+ ; 2 4 m 当 <0,即 m<0 时,k=2; 2 m 当 >2,即 m>4 时,k=2m-2. 2

m ? 0, ? 2, ? 2 ?m ? 2, 0 ? m ? 4, ∴k ? ? 4 ? m ? 4. ? ? 2m ? 2,

2、含绝对值的不等式
一【要点回顾】 1.绝对值 [1] 绝 对 值 的 代 数 意 义 : .即

| a |?

. 的距离. 的距离.

[2]绝对值的几何意义: [3]两个数的差的绝对值的几何意义:a ? b 表示

二、讲解新课: 1. x ? a(a ? 0) 与 x ? a(a ? 0) 型的不等式的解法 先看含绝对值的方程|x|=2 几何意义:数轴上表示数 x 的点离开原点的距离等于 2.∴x= ? 2 提问: x ? 2 与 x ? 2 的几何意义是什么?表示在数轴上应该是怎样的? 数轴上表示数 x 的点离开原点的距离小(大)于 2
王新敞
奎屯 新疆

-2

O

2

x

-2

O

2

x

即 不等式 x ? 2 的解集是:

不等式 x ? 2 的解集是.:

类似地,不等式 x ? a(a ? 0) |与 x ? a(a ? 0) 的几何意义是什么?解集又是什么? 即 不等式 x ? a(a ? 0) 的解集是: 不等式 x ? a(a ? 0) 的解集是: 小结:①解法:利用绝对值几何意义 ②数形结合思想 2. ax ? b ? c ,与 ax ? b ? c(c ? 0) 型的不等式的解法
王新敞
奎屯 新疆

把 ax ? b 看作一个整体时,可化为 x ? a(a ? 0) 与 x ? a(a ? 0) 型的不等式来求解 即 不等式 ax ? b ? c(c ? 0) 的解集为 : 不等式 ax ? b ? c(c ? 0) 的解集为 : 三、讲解范例: 例 1、解不等式 x ? 500 ? 5 . 例 2、解不等式 2 x ? 5 ? 7 .

课内练习 1.解不等式组 ?

?x ?1 ? x ?1 ? 1

2.求使

3? x 2x ? 1 ? 4

有意义的 取值范围(



3.若 3x ? 1 ? 3 则 9x 2 ? 24x ? 16 ? 9x 2 ? 12x ? 4 化简的结果为

例 3 解不等式 1 ? | 2x-1 | < 5.

练习:解下列不等式: 2 ? 2x ? 5 ? 7

例 2 解不等式:|4x-3|>2x+1.

例 3 解不等式:|x-3|-|x+1|<1.

练习:解不等式:| x+2 | + | x | >4.

例 4.解关于 x 的不等式① x ? a(a ? R) ,② x ? a(a ? R)

例 5.解关于 x 的不等式 2x ? 3 ?1 ? a(a ? R) .

练习: 1.解下列不等式:(1) 2 ? 2x ? 5 ? 7

2 2 (2) x ? 1 ? x ? 1

2.已知不等式 x ? 2 ? a ( a ? 0) 的解集为 ?x ? R | ?1 ? x ? c?,求 a ? 2c 的值. 3、 解下列不等式: ( 1) x ? 2 ? 1 (2) x ?1 ? x ? 3 >4.(3) x ? 3 ? x ? 2 ? 7


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