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天津南开中学2015届高三数学理科训练4(含答案)


一、选择题: 1. 已知集合 A ? {x | 若 A ? B, 则 m 的值为( x ? x 2 ? 2, x ? R} ,B ? {1, m} , )

A. 2
A.189 B.381

B . ?1
C.93 D.45

C . ? 1或 2


D. 2 或

2

2.执行如题(1)图所示的程序框图,则输出的结果为(

3.某几何体的三视图如题(2)图所示,则该几何体的体积为( A.



13 ? ? 3 3

B. 5 ?

? 2

C. 5 ?

? 3

D.

13 ? ? 3 2

图(2) 图(1)

4. 将函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移 应的解析式为( A. y ? sin(2 x ?
2

? 个单位,再向上平移 1 个单位,所得函数图象对 4
2

)

?
4

) ?1

B. y ? 2cos x
6

C. y ? 2sin x
2

D. y ? ? cos 2 x

? 2 a? 5.设 a ? ? (1 ? 2 x )dx ,则二项式 ? x ? ? 的常数项是( 0 x? ?
A. ? 240 B. 240 C. ? 160 D. 160

)

6. 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,满足 a2 ? 2, a3 ? 4, a1 ? a4 ? 4, 当 a4 取得最大值 时,数列 {an } 的公差为( )

A.1 B.4 C.2 D.3 7. 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 它 的 图 象 关 于 x ? 1 对 称 , 且

f ( x) ? x (0 ? x ? 1) .若函数 y ? f ( x) ?

1 ? a 在区间 [?10,10] 上有 10 个不同零点, 则实 x

a 数的取值范围是(



A.

4 4 [? , ] 5 5

B.

4 4 (? , ) 5 5

C. [ ?

1 1 , ] 10 10

D. ( ?

1 1 , ) 10 10

8. 如图,内外两个椭圆的离心率相同,从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线 AC , BD ,设 内层椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,若直线 AC 与 a 2 b2
) D.

y B D O C A x

1 BD 的斜率之积为 ? ,则椭圆的离心率为( 4 1 2 3 A. B. C. 2 2 2
二、填空题: 9. 已知复数 z ?

3 4


3?i ( i 为虚数单位),则 | z | 的值为 2?i

10.已知曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 2 cos t ? ? y ? 2 sin t

( t 为参数), C 在点 (1,1) 处的切线为 l ,以坐 .
D

标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则 l 的极坐标方程为 11. 如图, AB 是半圆 O 的直径, 延长 AB 到 C, 使 BC ? 3 , CD 切 半 圆 O 于 点 D , DE⊥AB , 垂 足 为 E . 若 AE∶EB ? 3∶1,求 DE 的长 .
A O E

B

C

12. O 是 平 面 上 一 点 , A, B, C 是 平 面 上 不 共 线 三 点 , 动 点 P 满 足 :

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 已知 O P? O ? A? ( A ? B )A ? ,C ? ?[ 1 , 2 ]? , ? 1 时, | AP |? 2 ,则 PA ? PB ? PA ? PC 的
.
2

最大值为

13.抛物线 y ? 4mx(m ? 0) 的焦点为 F,点 P 为该抛物线上的动点,又点 A(?m,0) ,则

PF 的最小值为 PA
x 2

.

14. 函数 f ( x ) 的导函数为 f ?( x ) ,对 ?x ? R,都有 2 f ?( x) ? f ( x) 成立,若 f (ln 4) ? 2 , 则不等式 f ( x) ? e 的解集是 三、解答题: .

15.设角 A,B,C 是△ABC 的三个内角,已知向量 m =(sinA+sinC,sinB-sinA),

??

? ?? ? n =(sinA-sinC,sinB),且 m ⊥ n .(1)求角 C 的大小;

? ? ? ? B (2)若向量 s =(0,-1), t =(cosA,2cos2 ),求| s + t |的取值范围. 2

16.生产 A,B 两种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于 82 为正品,小于 82 为次品,现随机抽取这两种元件各 100 件进行检测,检测结果统计如下:
测试指标 元件 A 元件 B

?70,76?
8 7

?76,82?
12 18

?82,88?
40 40

?88,94?
32
[来源:学科网 ZXXK]

?94,100?
8 6

29

(1)试分别估计元件 A、元件 B 为正品的概率; (2) 生产一件元件 A, 若是正品可盈利 50 元, 若是次品则亏损 10 元; 生产一件元件 B, 若是正品可盈利 100 元,若是次品则亏损 20 元,在(1)的前提下; (i)求生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 300 元的概率; (ii)记 X 为生产 1 件元件 A 和 1 件元件 B 所得的总利润,求随机变量 X 的分布列 和数学期望. P

17.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD//BC,∠ADC=90° ,平面 PAD⊥底面 ABCD,Q 为 AD 的 中点, M 是棱 PC 上的点, PA=PD=2, BC=

1 AD=1, CD= 3 . 2
D Q A

M

(1)若点 M 是棱 PC 的中点,求证:PA // 平面 BMQ; (2)求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (3) 若二面角 M-BQ-C 为 30° , 设 PM=tMC, 试确定 t 的值 .

C B

参考答案

一、 二、

选择题:AADCB BCC 填空题:9.

2

10.

? ? sin(? ? ) ? 2
4

11. 3 2

12. 24

13.

2 2

14. (ln 4, ??)

三、 解答题: 15. (1)由题意得 m· n=(sin2A-sin2C)+(sin2B-sinAsinB)=0, 即 sin2C=sin2A+sin2B-sinAsinB,设 a,b,c 为内角 A,B,C 所对的边长,由正弦 定理得 c2=a2+b2-ab, a2+b2-c2 1 π 再由余弦定理得 cosC= = ,∵0<C<π,∴C= . 2ab 2 3 B (2)∵s+t=(cosA,2cos2 -1)=(cosA,cosB), 2 ∴|s+t|2=cos2A+cos2B 2π =cos2A+cos2( -A) 3 4π 1+cos? -2A? 3 1+cos2A = + 2 2 1 3 = cos2A- sin2A+1 4 4 1 π =- sin(2A- )+1, 2 6 2π π π 7π 1 π ∵0<A< ,∴- <2A- < ,∴- <sin(2A- )≤1, 3 6 6 6 2 6 1 5 2 5 ∴ ≤|s+t|2< ,∴ ≤|s+t|< . 2 4 2 2 16. (Ⅰ)由题可知 元件 A 为正品的概率为

4 3 ,元件 B 为正品的概率为 。 5 4

(Ⅱ)(i)设生产的 5 件元件中正品件数为

x , 则 有 次 品 5 ?x 件 , 由 题 意 知

设 “生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 300 元” 100 x ? 20(5 ? x) ? 300 得到 x ? 4,5 ,
4 为事件 C ,则 P (C ) ? C5 ( )4 ?

3 4

1 81 5 3 5 。 ? C5 ( ) ? 4 4 128

(ii)随机变量 X 的所有取值为 150,90,30,-30,

4 3 3 1 3 3 4 1 1 , P ( X ? 30) ? ? ? , ? ? , P ( X ? 90) ? ? ? 5 4 5 5 4 20 5 4 5 1 1 1 , P( X ? ?30) ? ? ? 5 4 20 所以 X 的分布列为:
则 P ( X ? 150) ?

X

150

90

30

-30

P

3 5

3 20

1 5

1 20

3 3 1 1 ? 30 ? ? 30 ? ? 108 E ( X ) ? 150 ? ? 90 ? 5 20 5 20
17.证明:(Ⅰ)连接 AC,交 BQ 于 N,连接 MN. ∵BC∥AD 且 BC=

1 AD,即 BC // AQ. 2

∴四边形 BCQA 为平行四边形,且 N 为 AC 中点, 又∵点 M 在是棱 PC 的中点, ∴ MN // PA ∵ MN ? 平面 MQB,PA ? 平面 MQB, ∴ PA // 平面 MBQ. (Ⅱ)∵AD // BC,BC=

1 AD,Q 为 AD 的中点, 2

∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . ∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD. 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 又∵ BQ 在平面 ABCD 内 ∴BQ⊥平面 PAD. ∵BQ ? 平面 PQB, ∴平面 PQB⊥平面 PAD. 另证:AD // BC,BC= ∴ ∴ ∵ ∵ ∵

1 AD,Q 为 AD 的中点 2

BC // DQ 且 BC= DQ, 四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . ∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD. PA=PD, ∴PQ⊥AD. PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面 PBQ.

∵ AD ? 平面 PAD, ∴平面 PQB⊥平面 PAD. (Ⅲ)∵PA=PD,Q 为 AD 的中点, ∴PQ⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PQ⊥平面 ABCD. (不证明 PQ⊥平面 ABCD 直接建系扣 1 分) 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系. 则平面 BQC 的法向量为 n ? (0,0,1) ;

z P M D Q A x N B y C

?

Q(0,0,0) , P(0,0, 3) , B(0, 3,0) , C(?1, 3,0) .
设 M ( x, y, z ) , 则 P M ?(

???? ?

,x ? ,y z , 3 )

???? ? MC ? (?1 ? x, 3 ? y, ?z) ,
∵ PM ? tMC ,

???? ?

???? ?

? x ? t (?1 ? x) ? ∴ ? y ? t ( 3 ? y) , ? ? z ? 3 ? t (? z)

t ? ?x ? ? 1? t ? 3t ? ∴ ?y ? 1? t ? ? 3 ?z ? ? 1? t

在平面 MBQ 中, QB ? (0, 3,0) , QM ? (? ∴ 平面 MBQ 法向量为 m ? ( 3,0, t ) . ∵二面角 M-BQ-C 为 30° , ∴ t ?3.

??? ?

???? ?

t 3t 3 , , ), 1? t 1? t 1? t

??

? ?? n ?m t 3 c o s 3? 0 ? ? ?? ? ? , 2 2 n m 3? 0?t


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