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第三章概率几何概型


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黎老师

几何概型
数学考试应试技巧顺口溜
选择题,并不难,题目当中有答案, 特值排除找方法,数形结合做对它。 上节知识点回顾:①古典概型的概念,特点。②古典概型的公式③古典概型的题 型。

知识点 1 几何概型的定义及特点
一:几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件的长度(面积或体积)成比例,则这样的概率模型 为几何概率模型,简称几何概型。

二:几何概型的特点
(一) 无限性:试验中所有可能出现的结果有无限多个; (二) 等可能性:每个结果出现的可能性相等。

注意:几何概型中,每个结果在一个区域内均匀分布,所以随机事件概率的大小与随机事
件所在区域的形状、位置无关,只与区域的大小有关。 例 1 下列概率模型: 1) 从区间[-10,10]内任取一个数,求取到 1 的概率; 2) 从区间[-10,10]内任取一个数,求取到绝对值不大于 1 的数的概率; 3) 从区间[-10,10]内任取一个整数,求取到大于 1 且小于 5 的数的概率; 4) 向一个边长为 4 ㎝的正方形 ABCD 内投一点 P,求点 P 离正方形的中心不超过 1 ㎝的概 率。 其中,几何概型的个数为 ( C ) A.1 B.2 C.3 D.4 1) 是,因为区间[-10,10]和[-1,1] ,内有无限多个数且取到“1”这个数的概率为 0 2) 是,因为区间[-10,10]和[-1,1]内都有无限多个数可取(无限性) ,且在这两 个区间内每个数取到的可能性相同(等可能性) 3) 不是,因为区间[-10,10]内的整数只有 21 个,不满足无限性; 4) 是,因为在边长为 4 ㎝的正方形和半径为 1 ㎝的圆内均有无数多个点(无限性) , 且这两个区域内的任何一个点都有可能被投到(等可能性) 。

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特别提醒:判断一个概率模型是否属于几何模型,关键是看它是否具备几何概型的两个
基本特征--无限性和等可能性。对基本事件中的“等可能性”的判断是很容易被忽略的。

三:几何概型与古典概型的异同
概率模型 不同点 试验中所有可能出现的结果 有无限个 几何概型 古典概型 试验中所有可能出现的结果 只有有限个 相同点 每个结果出现的可能性一样, 即满足等可能性

知识点 2 几何概型的概率计算
(一) 几何概型概率的计算公式
在几何概型中事件 A 的概率的计算公式如下: P A =

构成事件 A 的区域长度(角度、面积、体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(角度、面积、体积)

(二) 几何概型概率问题的一般步骤
1) 2) 3) 4)

选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能性) 把结果转化为与之对应的区域 D 吧所求的随机事件 A 转化为与之对应的区域 I 利用概率公式
2 3

例 2:在区间[-1,2]上随机取一个数 X.|x|≤1 的概率为﹙ ﹚
解析:∵区间[-1,2]的长度为 3, 有|x|≤1 得 x∈[-1,1],而区间[-1,1]的长度为 2, x 取每个值为随机的。 ∴在[-1,2]上去一个数 x, |x|≤1 的概率 P=
2 3

例 3:点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点,若该圆周上随机取一个点 B,则 劣弧AB的长度小于 1 的概率为( )

解析:如图 1,圆周上使AM的长度等于 1 的点 M 有两个,设为M1 ,M2 ,则过 A 的圆弧M1 AM2 的长为 2, 点 B 落在优弧M1 AM2 上就能使劣弧AB的长度小于 1,所 以劣弧AB 的长度小于 1 的概率为
2 3

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M1

M2

A

图 1

例题 3:一个路口的红灯亮的时间为 30 秒,黄灯亮的时间为 5 秒, 绿灯亮的时间为 40 秒,当你到达路口时,看见下列情况的概率各是 多少? 1) 红灯亮 2) 黄灯亮 3) 不是红灯亮. 解:在 75 秒内,每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的,属于几 何概型。 1) P= 2) P= 3) P=
红灯亮的时间 全部时间 全部时间 全部时间 黄灯亮的时间

=

30 5 1

30+40+5 5 75 15

=

2

= =

不是红灯亮的时间

= P=

黄灯亮或绿灯亮的时间 45 3 全部时间 75 5

= = 或 P=1-P(红灯亮)=1- =

2 3 5 5

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思维拓展:几何概型问题解决的关键是构造出事件对应的几何图形,利用几何图形的几
何度量来求随机事件的概率。

题型
类型 1 几何概型与不等式组的结合 例 1 已知函数f x = x 2 +bx+c,其中 0≤b≤4,0≤C≤4.记函数f x 满足条件 f 2 ≤ 12 f x = 为事件 A,求事件 A 发生的概率。 f ?2 ≤ 4 4 + 2b + c ≤ 12 2b + c ≤ 8 解:由题意得 即 又 2b+c=8 和 2b-c=0 的交点(2,4) 4 ? 2b + c ≤ 4 2b ? c ≥ 0 故该不等式组表示的区域如图 2 阴影所示。 阴影部分面积为
4×4 2

= 8,
0≤c≤4

试验的全部结果组成的区域为 0 ≤ b ≤ 4
面积为 4× 4 = 16 故事件 A 发生的概率为16 = 2 即学即练 1 在集合 (x, y) 0 ≤ x ≤ 5,0 ≤ y ≤ 4 内任取一个元素,能使 2x+y-4≥0 成立的概 率是多少?
8 1

题型 2 几何概型与方程的结合 例 2: 设关于 x 一元二次方程x 2 + 2ax + b2 = 0,若 a 从区间[0,3]上任取一个数,
b 从区间[0,2]上任取的一个数,求上述方程有实根的概率。 解析:

1) 切入点:方程有实根时,a,b 满足的条件(欲求方程有实根的概率,须转化 为 a,b 的关系式) 2) 思考点:方程何时有实根?“a≥b”包含的基本事件有多少个?(?= 4a2 ? 4b2 ≥ 0,即a ≥ b是一个区域,即无限多个 3) 思考点:如何求解?(用“a ≥ b”的区域面积除以总面积)

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4) 解题流程:判断概型 →找出总的基本事件与所求事件包含的基本事件→应 用公式求解

即学即练 2 方程x 2 + x + n = 0(n ∈ 0,1 )有实根的概率为(



变式: 已知关于 x 的一元二次方程x 2 ? 2 a ? 2 x ? b2 + 16 = 0 ① 若 a,b 是一枚骰子掷两次所得的点数,求方程有两正跟的概率; ② 若a ∈ 2,6 , b ∈ 0,4 ,求方程没有实根的概率。

类型 3 几何概型与会面问题 ①A 早到等 B 解题方法:设 A 为 x,B 为 y. A 早到:用 B 的时间减 A 的时间(x≥y) B 早到:用 A 的时间减 B 的时间(y≥x) ②A 后到等 B 解题方法:设 A 为 x,B 为 y. A 早到:A 比 B 早到t1 小时之内,B 必须等待。即x ? y ≤ t1 B 早到:B 比 A 早到t 2 小时之内,A 必须等待。即y ? x ≤ t 2 (x ? y ≥ ?t 2 ) 例 3:甲、乙两人约定晚上 6 点到 7 点之间在某个地方见面,并约定先到者要等 候另一个人半小时,过时即可离开。求甲、乙能见面的概率。 解析: 1) 切入点: 先到者要等候另一个人半小时→甲、 乙能见面即指在 1 小时内, 先到者等候时间不超过半小时 2) 思考点: ①这是什么概型→每个人的到达时间在 6~7 点内等可能, 且有

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无限多种可能,因此是几何概型 ②如何理解“先到者等候另一个人半小时”?→用 x,y 表示两人到达的 时间,则 x ? y ≤ 30 ③有其他约束条件吗?→x,y 都在 1 小时之内 3)解题流程:判断→转化成面积型几何概型问题→公式求解

30

30

即学即练 3 两艘轮船要停靠同一个泊位,它们可能在一昼夜中的任意时刻到达。甲、乙两船 停靠泊位的时间分别为 4 小时与 2 小时, 求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段 时间的概率。

即学即练 4 甲、 乙两人约定晚 6 点到晚 7 点之间的某处见面, 并约定甲若早到应等乙半小时, 而乙还有其他安排,若他早到则不需要等待。求甲、乙两人能见面的概率。

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