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浙江省嘉兴市2014届高三4月第二次模拟考试数学(理)试题(纯word版)


浙江省嘉兴市 2014 届高三 4 月第二次模拟考试 数学理试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? x x ? 2? , B ? x x 2 ? 4 x? ,则 A ?R B ? A. ? ??,0? B. ? ??,0 ? C. ? ?1,1? D. ? 0, 2 ? ( )

?

?

( )

2.已知 a, b ? ? 0, ?? ? ,则“ ab ? 2 ”是“ log2 a ? log2 b ? 0 ”的 A.充分不必要条件 3. 如图, 这是计算 A. i ? 19? B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

1 1 1 1 的一个程序框图, 其中判断框内应填入的条件是 ( ) ? ? ? ??? ? 2 4 6 20
B. i ? 20? C. i ? 20? D. i ? 21?

4.下列函数中既有奇函数,又在区间 ? ?1,1? 上单调递增的是( ) A. f ? x ? ? sin 2 x C. f ? x ? ? x 3 ? x B. f ? x ? ? x ? tan x D. f ? x ? ? 2x ? 2? x

5.甲、乙、丙、丁、戊共 5 人站成一排,其中甲、乙两人中间恰 有 1 人的站法种数是 ( ) A.18 B.24 C.36 D.48 6.设 F1 、 F2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, a 2 b2
( )

若双曲线上存在点 P,使得 ?PF1F2 ? 30 , ?PF2 F1 ? 120 ,则双曲线的离心率为 A.2 B. 3 C.

3 ?1 2

D.

3 ?1 2

? 2 x ? 3, x ? 1 1 ? 7.已知函数 f ? x ? ? ? x ? 1,0 ? x ? 1 ,若数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,且 a1 ? , an?1 ? f ? an ? , 3 ? 2 x ? 1, x ? 0 ?
则 S2014 = A.895 B.896 C.897 D.898 ( )

8.函数 f ? x ? 的图像如图,则 f ? x ? 的解析式可能是 ( ) A. f ? x ? ? cos2x

?? ? B. f ? x ? ? ? sin ? x ? ? 4? ?

?? ?3 C. f ? x ? ? cos ? x ? ? 8? ?2

?? ?5 D. f ? x ? ? sin ? x ? ? 4? ?3

9.如图,梯形 ABCD 中,AD//BC,∠ABC= 90 ,AD:BC:AB=2:3:4,E、F 分别是 AB、 CD 的中点,将四边形 ADFE 沿直线 EF 进行翻折.给出四个结论: ①DF⊥BC; ②BD⊥FC; ③平面 DBF⊥平面 BFC; ④平面 DCF⊥平面 BFC. 在翻折过程中, 可能成立的结论是 ( ) A.①③ B.②③ C.②④ D.③④

y ?1 ? ? 10.若直线 ax ? by ? 1 与不等式组 ? 2 x ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域无公 ?2 x ? y ? 1 ? 0 ?
共点,则 2 a ? 3b 的取值范围是 A. ? ?7, ?1? B. ? ?3,5? C. ? ?7,3? ( D.R )

二、 填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.已知复数 z 满足 ? z ? 2? i ? 1 ? i (i 是虚数单位) ,则 z ? __________. 12.等比数列 ?an ? 前 n 项的乘积为 Tn ,且 2a3 ? a4 2 ,则 T9 =__________. 13.若 ? 2x ? 1? ? ? 2x ?1? ? a0 ? a1 x ? ??? ? a8 x8 ,则 a0 ? a2 ? a4 ? a6 ? a8 =__________.
8 8

14.已知某几何体的三视图如图,则该几何体的体积是_________.

15. 如图在等腰直角三角形 ABC 中,AB=AC=2, D、E 是线段 BC 上的两点, 且 DE ? BC , 则 AD ? AE 的取值范围是___________. 16.焦点为 F 的抛物线 y 2 ? 4 x 上有三点 A、B、C 满足:①△ABC 的重心是 F;②|FA|、|FB|、 |FC|成等差数列.则直线 AC 的方程是________________________.

1 3

? a2 2 2 ? 17 . 已 知 集 合 A ? ? f ? x, y ? ? 0 f ? x, y ? ? ? x ? a ? ? ? y ? a ? ? , a ? ?1, ?2, ?3? , 2 ? ?
A ? g ? x, y ? ? 0 g ? x, y ? ? x ? y ? b, b ? ?1, ?2, ?3? ,则 A 中方程的曲线与 B 中方程的曲线的

?

交点个数是_________. 三. 解答题: 本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 (Ⅰ)若 C ?

b sin 2C ? a sin A

5 ? ,求角 B 的大小; 12

(Ⅱ)若 b ? 2,

?
3

?C ?

?
2

,求△ABC 面积的最小值.

19. (本题满分 14 分) 如图, 四棱锥 P—ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, AD//BC, PA=AB=AD=2BC=2, ∠BAD= ? , E 是棱 PD 的中点. (Ⅰ)若 ? ? 60 ,求证:AE⊥平面 PCD; (Ⅱ)求 ? 的值,使二面角 P—CD—A 的平面角最小.

P

?

E

A D B
C
(第 19 题)

20. (本题满分 14 分) 有 A、B、C 三个盒子,每个盒子中放有红、黄、蓝颜色的球各一个,所有的球仅有颜 色上的区别. (Ⅰ)从每个盒子中任意取出一个球,记事件 S 为“取得红色的三个球”,事件 T 为“取得颜 色互不相同的三个球”,求 P(S)和 P(T) ; (Ⅱ)先从 A 盒中任取一球放入 B 盒,再从 B 盒中任取一球放入 C 盒,最后从 C 盒中任取 一球放入 A 盒,设此时 A 盒中红球的个数为 ? ,求 ? 的分布列与数学期望 E ? .

21. (本题满分 15 分) 如图,设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 长轴的右端点为 A,短轴端点分别为 B、C,另有抛 a 2 b2

物线 y ? x2 ? b . (Ⅰ)若抛物线上存在点 D,使四边形 ABCD 为菱形,求椭圆的方程; (Ⅱ) 若 a ? 2 ,过点 B 作抛物线的切线, 切点为 P, 直线 PB 与椭圆相交于另一点Q, 求
y

PQ QB

的取值范围.
P D
Q

C

O
B
(第 21 题)

A

x

21. (本题满分 15 分) 已知 a ? R ,函数 m ? x ? ? x2 , n ? x ? ? a ln ? x ? 2? .

? ?m ? x ? , x ? 0 (Ⅰ)令 f ? x ? ? ? ,若函数 f ? x ? 的图像上存在两点A、B满足 OA⊥OB(O 为 ? ? n? x?, x ? 0
坐标原点) ,且线段 AB 的中点在 y 轴上,求 a 的取值范围; (Ⅱ)若函数 g ? x ? ? m ? x ? ? n ? x ? 存在两个极值点 x1 、 x 2 ,求 g ? x1 ? ? g ? x2 ? 的取值范围.

2014 年高三教学测试(二) 理科数学 参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分) 1.A; 6.D; 2.A; 7.A; 3.D; 8.D; 4.B; 9.B; 5.C; 10.C.

第 9 题提示: 考虑①:因为 BC // AD , AD 与 DF 相交不垂直,所 以 BC 与 DF 不垂直,则①不成立; 考虑②:设点 D 的在平面 BCF 上的射 影为点 P ,当 BP ? CF 时就有 BD ? FC , 而 AD : BC : AB ? 2 : 3 : 4 可使条件满足, 所以②正确; 考虑③:当点 P 落在 BF 上时, DP ? 平面 BDF ,从 而平面 BDF ? 平面 BCF ,所以③正确. 考虑④:因为点 D 的射影不可能在 FC 上,所以④不成立. 第 10 题提示: B E P C F A D

b

? y ?1 ? 不等式组 ? 2 x ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域 ?2x ? y ? 1 ? 0 ?
是 由 A(1, 1), B( ?1, 1), C (0, ? 1) 围 成 的 三 角 形区域(包含边界) .
O

A1

l1 : a ? b ? 1 ? 0

a
C1 l 3 : b ? -1

? y ?1 ? 因 为 直 线 ax ? by ? 1 与 ? 2 x ? y ? 1 ? 0 ?2x ? y ? 1 ? 0 ?

B1

l2 : a ? b ? 1 ? 0

?a ? b ? 1 ? 0 ?a ? b ? 1 ? 0 ? ? 表示的平面区域无公共点, 所以 a , b 满足: ? ? a ? b ? 1 ? 0 或 ? ? a ? b ? 1 ? 0 . ?? b ? 1 ? 0 ?? b ? 1 ? 0 ? ?
.所以 2a ? 3b 的取值范围是 ( ?7, 3) . (a , b) 在如图所示的三角形区域(除边界且除原点) 二、填空题(本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分) 11. 10 ; 12.512; 13. 3 8 ? 1 (或 6562) ; 14.
8 ; 3

15. [

16 8 , ]; 9 3

16. 2 x ? y ? 1 ? 0 ;

17.14.
y

第 17 题提示: 集合 A 中的方程表示圆心在直线 y ? x 上的六个圆 , 由对称性只需考虑第一象限 . 记 a ? 1,2,3 对应的圆
l1 l3

C3 C2

l2

分别为⊙ C1 , ⊙ C 2 ,⊙ C 3 , 易知⊙ C1 与⊙ C 3 外切 , ⊙ C 2 与 ⊙ C1 , ⊙ C 3 相 交 , 且 经 过 ⊙ C1 的 圆 心. b ? 1,2,3 对应的三条直线 l1 , l 2 , l 3 ,l1 与⊙ C1 外切,

O

x

l 2 与⊙ C 2 外切且与⊙ C1 相交, l 3 与⊙ C1 与⊙ C 3 的外公切线且与⊙ C 2 相交,由图知在第

一象限共有 7 个交点,故共有 14 个交点.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分) 18. (本题满分 14 分) 在△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 (Ⅰ)若 C ?
5 ? ,求角 B 的大小; 12
b sin 2C . ? a sin A

(Ⅱ)若 b ? 2 ,

?
3

?C ?

?
2

,求△ ABC 面积的最小值.

18. (Ⅰ) (本小题 7 分) 由正弦定理,得
b sin B sin 2C . ? ? a sin A sin A

5 1 ∴ sin B ? sin 2C ? sin ? ? . 6 2

∴ B?

?
6

(B ?

5? 舍) . 6

(Ⅱ) (本小题 7 分) 由(Ⅰ)中 sin B ? sin 2C 可得 B ? 2C 或 B ? 2C ? ? . 又 B ? 2C 时,

?
3

?C ?

?
2

,B ?

2 ? ,即 B ? C ? ? ,矛盾. 3

所以 B ? 2C ? ? , ? ? A ? C ? 2C ? ? ,即 A ? C . 所以 S ?ABC ?
1 hb ? tanC ? 3 , 2

即当 C ?

?
3

时, S ?ABC 的最小值是 3 .

19. (本题满分 15 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , AD // BC , PA ? AB ? AD ? 2 BC ? 2 ,
?BAD ? ? , E 是棱 PD 的中点.

(Ⅰ)若 ? ? 60? ,求证: AE ? 平面 PCD ; (Ⅱ)求 ? 的值,使二面角 P ? CD ? A 的平面角最小. 19. (Ⅰ) (本小题 7 分) 当 ? ? 60? 时, ∵ AD // BC , AB ? AD ? 2 BC ? 2 . ∴ CD ? AD . 又 PA ? 平面 ABCD ,∴ PA ? CD . ∴ CD ? 平面 PAD . 又 AE ? 平面 PAD , ∴ CD ? AE . 又 PA ? AD , E 是棱 PD 的中点, ∴ PD ? AE . ∴ AE ? 平面 PCD .
x
B
C
(第 19 题)
?

z
P

E

A D

y

(Ⅱ) (本小题 8 分) 如图,建立空间直角坐标系 A ? xyz ,则 P (0,0,2) , B( 2 sin ? ,2 cos ? ,0) ,
C ( 2 sin ? ,2 cos ? ? 1,0) , D(0,2,0) .

∴ DP ? (0,?2,2) 、 DC ? ( 2 sin ? ,2 cos ? ? 1,0) . 设平面 PCD 的法向量为 n ? ( x , y , z ) ,
? ? n ? DP ? ? 2 y ? 2 z ? 0 则? ?? ? ? n ? DC ? ( 2 sin ? ) x ? ( 2 cos ? ? 1) y ? 0

取 y ? 1 ,得 n ? (

2 cos ? ? 1 ,1,1) . 2 sin ?

又易知平面 ABCD 的法向量为 m ? ( 0,0,1) . 设二面角 P ? CD ? A 的平面角为 ? , 则 cos ? ?

|m?n| | m |?| n|

? (

1 2 cos ? ? 1 2 ) ?2 2 sin ?
2 cos ? ? 1 ? 0, 2 sin ?

要使 ? 最小,则 cos ? 最大,即 ∴
cos ? ? 1 ? ,得 ? ? 2 3

20. (本题满分 14 分) 有 A、B、C 三个盒子,每个盒子中放有红、黄、蓝颜色的球各一个,所有的球仅有颜 色上的区别. (Ⅰ) 从每个盒子中任意取出一个球, 记事件 S 为 “取得红色的三个球” , 事件 T 为 “取 得颜色互不相同的三个球” ,求 P ( S ) 和 P (T ) ; (Ⅱ)先从 A 盒中任取一球放入 B 盒,再从 B 盒中任取一球放入 C 盒,最后从 C 盒 中任取一球放入 A 盒,设此时 A 盒中红球的个数为 ? ,求 ? 的分布列与数学期望 E? .

20. (Ⅰ) (本小题 6 分)
P( S ) ?
1 1 C 1C 2 C1 2 1 1 1 1 , P (T ) ? 3 ? ? ? ? . 1 1 1 3 3 3 27 C 3C 3C 3 9

(Ⅱ) (本小题 8 分)

? 的可能值为 0,1,2 .
①考虑 ? ? 0 的情形,首先 A 盒中必须取一个红球放入 B 盒,相应概率为 中有 2 红 2 非红;若从 B 盒中取一红球放入 C 盒,相应概率为 从 C 盒中只能取一个非红球放入 A 盒,相应概率为 相应概率为 为
1 ,此时 B 盒 3

1 ,则 C 盒中有 2 红 2 非红, 2

1 ;若从 B 盒中取一非红球放入 C 盒, 2

1 ,则 C 盒中有 1 红 3 非红,从 C 盒中只能取一个非红球放入 A 盒,相应概率 2

1 ?1 1 1 3? 5 3 .故 P (? ? 0) ? ? ? ? ? ? ? ? . 3 ? 2 2 2 4 ? 24 4

②考虑 ? ? 2 的情形,首先 A 盒中必须取一个非红球放入 B 盒,相应概率为 盒中有 1 红 3 非红;若从 B 盒中取一红球放入 C 盒,相应概率为 红, 从 C 盒中只能取一个红球放入 A 盒, 相应概率为 相应概率为

2 ,此时 B 3

1 ,则 C 盒中有 2 红 2 非 4

1 ; 若从 B 盒中取一非红球放入 C 盒, 2

3 ,则 C 盒中有 1 红 3 非红,从 C 盒中只能取一个红球放入 A 盒,相应概率为 4

2 ?1 1 3 1? 5 1 .故 P (? ? 2) ? ? ? ? ? ? ? ? . 3 ? 4 2 4 4 ? 24 4 5 5 7 ③ P (? ? 1) ? 1 ? . ? ? 24 24 12

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

5 24

7 12

5 24

? 的数学期望 E? ? 0 ?

5 7 5 ? 1? ? 2? ? 1. 24 12 24

21. (本题满分 15 分) 如图,设椭圆
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 长轴的右端点为 A ,短轴端点分别为 B 、 C ,另 a 2 b2

有抛物线 y ? x 2 ? b . (Ⅰ)若抛物线上存在点 D ,使四边形 ABCD 为菱形,求椭圆的方程; (Ⅱ)若 a ? 2 ,过点 B 作抛物线的切线,切点为 P ,直线 PB 与椭圆相交于另一点 Q , 求
| PQ | 的取值范围. | QB |
P

y

21. (Ⅰ) (本小题 6 分) 由四边形 ABCD 是菱形, 得 D( a , a 2 ? b ) ,
Q

D

C

O
B
(第 21 题)

A

x

? a 2 ? b ? 2b 3 1 且? 2 ,解得 a ? ,b ? , 2 3 3 ? a ? b ? 2b
所以椭圆方程为 3x 2 ? 9 y
2

?1.

(Ⅱ) (本小题 9 分) 不妨设 P ( t , t 2 ? b) ( t ? 0 ) , 因为 y' | x ? t ? 2 x | x ? t ? 2t , 所以 PQ 的方程为 y ? 2t ( x ? t ) ? t 2 ? b ,即 y ? 2tx ? t 2 ? b . 又因为直线 PQ 过点 B ,所以 ? t 2 ? b ? ?b ,即 b ? 所以 PQ 的方程为 y ? 2tx ?
t2 . 2

t

2

2



? t2 y ? 2tx ? ? ? 2 ,消去 y ,得 (t 2 ? 64 ) x 2 ? 32tx ? 0 . 联立方程组 ? 2 2 x 4 y ? ? 4 ?1 ? t ? 4

所以点 Q 的横坐标为 x Q ? 所以

32t , t ? 64
2

| PQ | x P ? x Q t2 ? ? ? 1. | QB | x Q ? x B2 32
| PQ | 9 的取值范围为 (1 , ) . | QB | 8

又 t 2 ? 2b ? (0 , 4) ,所以

22. (本题满分 14 分) 已知 a ? R ,函数 m ( x ) ? x 2 , n ( x ) ? a ln(x ? 2) .
?m ( x ) , x ? 0 (Ⅰ)令 f ( x ) ? ? ,若函数 f ( x ) 的图象上存在两点 A 、 B 满足 OA ? OB ? n(x ) , x ? 0

( O 为坐标原点) ,且线段 AB 的中点在 y 轴上,求 a 的取值集合; (Ⅱ)若函数 g ( x ) ? m ( x ) ? n ( x ) 存在两个极值点 x 1 、 x 2 ,求 g ( x 1 ) ? g ( x 2 ) 的取值 范围. 22. (Ⅰ) (本小题 6 分) 由题意,不妨设 A (t , a ln(t ? 2)) , B ( ?t , t 2 ) ,且 t ? 0 , ∴ OA ? OB ? 0 ,即 ? t 2 ? at 2 ln(t ? 2) ? 0 ,∴ a ?
1 . ln(t ? 2)

∵ ln(t ? 2) ? (ln 2,?? ) , ∴ a 的取值集合是 { x | 0 ? x ? (Ⅱ) (本小题 8 分)
g ( x ) ? x 2 ? a ln(x ? 2) , g '( x ) ?
2x 2 ? 4x ? a . x ?2
1 }. ln 2

要使 g ( x ) 存在两个极值点,则
g '( x ) ? 0 即 2 x 2 ? 4 x ? a ? 0 在 ( ?2,?? ) 上存在两不等的实根.

令 p (x ) ? 2x 2 ? 4x ? a , ∵ p ( x ) 的图象的对称轴为 ?1 ,∴ ? ? 16 ? 8a ? 0 且 p ( ?2) ? 0 . ∴0 ? a ? 2 .
? x 1 ? x 2 ? ?2 ? a . 由上知 ? x1 ? x 2 ? ? 2 ?
2 ∴ g ( x 1 ) ? g ( x 2 ) ? x 12 ? a ln(x 1 ? 2) ? x 2 ? a ln(x 2 ? 2)

? ( x 1 ? x 2 ) 2 ? 2 x 1x 2 ? a ln[x 1x 2 ? 2( x 1 ? x 2 ) ? 4]
? ( ?2 ) 2 ? 2 ? ? a ln a a ? a ln[ ? 2 ? ( ?2) ? 4] 2 2

a ?a ? 4. 2 x ? x ? 4 , x ? ( 0, 2 ) , 2

令 q ( x ) ? x ln ∴ q '( x ) ? ln ∴ 2 ? a ln

x ? 0 , q ( x ) 在 ( 0,2) 上单调递减, 2

a ?a ? 4 ? 4. 2

故 g ( x 1 ) ? g ( x 2 ) 的取值范围是 ( 2,4) .


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