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2014年人教B版数学(理)一轮复习精品训练 第2章 函数、导数及其应用3 Word版含解析]


[命题报告· 教师用书独具] 考查知识点及角度 基础 单调性的判断 单调区间的求法 单调性的应用 一、选择题 1.已知函数 y=f(x)满足:f(-2)>f(-1),f(-1)<f(0),则下列结论正确的是 ( ) A.函数 y=f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,在区间[-1,0]上单调递增 B.函数 y=f(x)在区间[-2,-1]上单调递增,在区间[-1,0

]上单调递减 C.函数 y=f(x)在区间[-2,0]上的最小值是 f(-1) D.以上的三个结论都不正确 解析:仅由几个函数值的大小关系无法确定函数的单调性.故选 D. 答案:D 2.函数 y=-x2+2x-3(x<0)的单调增区间是( A.(0,+∞) C.(-∞,0) ) B.(-∞,1] D.(-∞,-1] 1 2 3 题号及难度 中档 10 4、6 5、7、8、9、11 12 稍难

解析:二次函数的对称轴为 x=1,又因为二次项系数为负数,抛物线开口 向下,对称轴在定义域的右侧,所以其单调增区间为(-∞,0). 答案:C 3.已知实数 a>0,且 a≠1,函数 f(x)=loga |x|在(-∞,0)上是减函数,函 1 数 g(x)=ax+ax,则下列选项正确的是( A. g(-3)<g(2)<g(4) C.g(4)<g(-3)<g(2) ) B.g(-3)<g(4)<g(2) D.g(2)<g(-3)<g(4)

解析:由函数 y=loga |x|在(-∞,0)上为减函数,可得 a>1,故 g(-3)-g(2)

a5-1 a7-1 =(a-1)× a3 >0?g(-3)>g(2),又 g(4)-g(-3)=(a-1)× a4 >0?g(4)> g(-3),故有 g(4)>g(-3)>g(2). 答案:D 4.(2013 年安庆模拟)函数 f(x)=ln (4+3x-x2)的单调递减区间是( 3? ? A.?-∞,2? ? ? 3? ? C.?-1,2? ? ? 解析:函数 f(x)的定义域是(-1,4), ? 3? 25 ?3 ? u(x)=-x2+3x+4=-?x-2?2+ 4 的减区间为?2,4?, ? ? ? ? ?3 ? ∴函数 f(x)的单调减区间为?2,4?. ? ? 答案:D
2 ?x +4x,x≥0, 5.已知函数 f(x)=? 若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的取值范围 2 ?4x-x ,x<0,

)

?3 ? B.?2,+∞? ? ? ?3 ? D.?2,4? ? ?

是(

) A.(-∞,-1)∪(2,+∞) C.(-2,1) B.(-1,2) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

解析:当 x≥0 时 f(x)=x2+4x,可知 f(x)在[0,+∞)上递增,当 x<0 时 f(x) =4x-x2,可判断 f(x)在(-∞,0)上递增,故 f(2-a2)>f(a)?2-a2>a,即 a2+a -2<0.解得-2<a<1. 答案:C 二、填空题 6.函数 y=-(x-3)|x|的递增区间是________. 解析:y=-(x-3)|x|
2 ?-x +3x ?x>0?, =? 2 ?x -3x ?x≤0?.

3? ? 作出该函数的图象,观察图象知递增区间为?0,2?. ? ? 3? ? 答案:?0,2? ? ? 7.若函数 f(x)=a|x-b|+2 在[0,+∞)上为增函数,则实数 a,b 的取值范 围是________. 解析: 要使 f(x)在[0, +∞)上为增函数, 则 a>0 且 x-b≥0 恒成立, 即 b≤x, ∴b≤0. 答案:a>0,b≤0 8.设函数 f(x)= ________. 解析:f(x)= =a- ax+2a2-2a2+1 x+2a ax+1 在区间(-2,+∞)上是增函数,那么 a 的取值范围是 x+2a

2a2-1 ,其对称中心为(-2a,a). x+2a

2 ?2a -1>0, ∴? 解得 a≥1. ?-2a≤-2,

答案:[1,+∞) 9.若 f(x)为定义在 R 上的增函数,则满足 f(2-m)<f(m2)的实数 m 的取值范 围是________. 解析:∵f(x)在 R 上为增函数,∴2-m<m2. ∴m2+m-2>0,解得 m>1 或 m<-2. 答案:(-∞,-2)∪(1,+∞) 三、解答题 1 1 10.已知函数 f(x)=a- x(a>0,x>0), (1)求证:f(x)在(0,+∞)上是单调增函数;

?1 ? ?1 ? (2)若 f(x)在?2,2?上的值域是?2,2?,求 a 的值. ? ? ? ? 解析:(1)证明:设 x2>x1>0,则 x2-x1>0, x1x2>0,∵f(x2)-f(x1) ?1 1 ? ?1 1 ? =?a-x ?-?a-x ? ? 2? ? 1? 1 1 x2-x1 =x -x = x x >0, 1 2 1 2 ∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在(0,+∞)上是单调递增的. ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1? 1 (2)∵f(x)在?2,2?上的值域是?2,2?, 又 f(x)在?2,2?上单调递增, ∴f?2?=2, ? ? ? ? ? ? ? ? 2 f(2)=2.∴易得 a=5. 11.已知函数 f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,且满足 f(xy)=f(x)+f(y), ?1? f?3?=1. ? ? (1)求 f(1); (2)若 f(x)+f(2-x)<2,求 x 的取值范围. 解析:(1)令 x=y=1, 则 f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0. ?1? ?1? ?1? (2)∵2=1+1=f?3?+f?3?=f?9?, ? ? ? ? ? ? x>0, ? ?2-x>0, f(x) 为 (0 , + ∞) 上 的 减 函 数 , 得 ? 1 ? ?x?2-x?>9,

?1? f[x(2 - x)]<f ?9? , 由 ? ?

?

x>0, ? ?x<2, ? 2 2 2 2 ? ?1- 3 <x<1+ 3 , 2 2 2 2 解得 1- 3 <x<1+ 3 , ? 2 2 2 2? ?. 即 x 的取值范围为?1- , 1 + 3 3 ? ?

12.(能力提升)已知 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f(1)=1,若 a,b∈ [-1,1],a+b≠0 时,有 f?a?+f?b? >0 成立. a+b

(1)判断 f(x)在[-1,1]上的单调性,并证明; 1 1 (2)解不等式:f(x+2)<f( ); x-1 (3)若 f(x)≤m2-2am+1 对所有的 a∈[-1,1]恒成立,求实数 m 的取值范围. 解析:(1)任取 x1,x2∈[-1,1],且 x1<x2,则 -x2∈[-1,1],∵f(x)为奇函数, ∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2) = f?x1?+f?-x2? · (x1-x2), x1+?-x2? f?x1?+f?-x2? >0,x1-x2<0, x1+?-x2?

由已知得

∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). ∴f(x)在[-1,1]上单调递增. (2)∵f(x)在[-1,1]上单调递增,

? ? 1 3 ∴?-1≤x+2≤1,解得-2≤x<-1. 1 ? - 1 ≤ ? x-1≤1.
(3)∵f(1)=1,f(x)在[-1,1]上单调递增. ∴在[-1,1]上,f(x)≤1. 问题转化为 m2-2am+1≥1, 即 m2-2am≥0,对 a∈[-1,1]成立. 设 g(a)=-2m· a+m2≥0. ①若 m=0,则 g(a)=0≥0,对 a∈[-1,1]恒成立. ②若 m≠0,则 g(a)为 a 的一次函数,若 g(a)≥0,对 a∈[-1,1]恒成立,必 须 g(-1)≥0 且 g(1)≥0, ∴m≤-2,或 m≥2.

1 1 x+2< , x-1

∴m 的取值范围是 m=0 或 m≥2 或 m≤-2. [因材施教· 学生备选练习] ?-x+3a,x<0, 1.已知函数 f(x)=? x (a>0,且 a≠1)是 R 上的减函数,则 a ?a ,x≥0 的取值范围是( A.(0,1) 1? ? C.?0,3? ? ? ) ?1 ? B.?3,1? ? ? 2? ? D.?0,3? ? ?

?1 ? 解析: 由 f(x)在 R 上是减函数得, 0<a<1, 且-0+3a≥a0, 由此得 a∈?3,1?. ? ? 答案:B 2.(2013 年珠海质检)已知 a>0 且 a≠1,若函数 f(x)=loga(ax2-x)在[3,4]上 是增函数,则 a 的取值范围是________. 解析:由题意可知,当 a>1 时,y=ax2-x 在[3,4]上递增,且 y=ax2-x>0 恒成立, a>1, ? ?1 即?2a≤3, ? ?9a-3>0,

解得 a>1.

当 0<a<1 时,y=ax2-x 在[3,4]上递减, 0<a<1, ? ?1 且 y=ax2-x>0 恒成立,即?2a≥4, ? ?16a-4>0, 综上:a>1. 答案:(1,+∞) 3.若函数 f(x)= 是________. 解析:∵f′(x)= 4?1-x2? ,令 f′(x)>0,得-1<x<1, ?x2+1?2 4x 在区间(m,2m+1)上是单调递增函数,则 m 的取值范围 x2+1

a 无解.

∴f(x)的递增区间为(-1,1).

又∵f(x)在(m,2m+1)上单调递增, ?m≥-1, ∴? 解得-1≤m≤0. ?2m+1≤1, ∵在区间(m,2m+1)中 2m+1>m,∴m>-1. 综上,-1<m≤0. 答案:(-1,0]


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