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2013版高二数学(人教B版)选修2-2知能基础测试 Word版含答案]


选修 2-2 知能基础测试
时间 120 分钟,满分 150 分.

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1. 3 等于( (1-i)2 ) 3 B.- i 2 D.-i

3 A. i 2 C.i [答案] A [解析]

3 3 3 = = i,故选 A. (1-i) -2i 2

2.已平面 α∥平面 β,直线 m?α,直线 n?β,点 A∈m,点 B∈n,记点 A,B 之间的 距离为 a,点 A 到直线 n 的距离为 b,直线 m 和 n 的距离为 c,则( A.c≤b≤a C.a≤c≤b [答案] A 3.设 f(x)为可导函数,且满足条件lim →
x 0

)

B.c≤a≤b D.b≤c≤a

f(x+1)-f(1) =3,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处 2x

的切线的斜率为( 3 A. 2 C.6 [答案] C [解析] lim →
x 0

) B.3 D.无法确定

f(x+1)-f(1) 1 f(x+1)-f(1) = lim 2x 2 x→0 x

1 = f′(1)=3,∴f′(1)=6.故选 C. 2 4.给出下列命题①?adx=?bdt=b-a(a,b 为常数且 a<b);②?0-1x2dx=?1x2dx;③

?b

?a

?

?0

曲线 y=sinx,x∈[0,2π]与直线 y=0 围成的两个封闭区域面积之和为 2,其中正确命题的个 数为( A.0 C.2 [答案] B ) B.1 D.3

[解析] ?bdt=b-a≠?adx=a-b,故①错,而 y=x2 是偶函数其在[-1,0]上的积分结 ? ?
a b

果等于其在[0,1]上的积分结果,故②正确,对于③有 S=2?πsinxdx=4.故③错.

?0

1 5. 过曲线 y= x3 上的点 P 的切线 l 的方程为 12x-3y=16, 那么 P 点的坐标可能为( 3 4? A.? ?1,-3? 20? C.? ? 3, 3 ? [答案] D 12 [解析] ∵y′=x2,令 x2= ,得 x=± 2. 3 1 8 当 x=2 时,y= ×23= , 3 3 8? ∴点? ?2,3?为 P 点的坐标; 1 8 当 x=-2 时,y= ×(-2)3=- .故选 D. 3 3 28? B.? ?-1,- 3 ? 8? D.? ?2,3?

)

6.如图(1),在△ABC 中,AB⊥AC 于点 A,AD⊥BC 于点 D,则有 AB2=BD· BC,类似 地有命题:如图(2),在三棱锥 A—BCD 中,AD⊥面 ABC,若 A 在△BCD 内的射影为 O, 则 S2 S△BCD,那么上述命题( △ABC=S△BCO· )

A.是真命题 B.增加条件“AB⊥AC”后才是真命题 C.是假命题 D.增加条件“三棱锥 A-BCD 是正三棱锥”后才是真命题 [答案] A [解析] 由已知垂直关系,不妨进行如下类比:将题图(2)中的△ABC,△BCO,△BDC 分别与题图(1)中的 AB, BD, BC 进行类比即可. 严格推理如下: 连结 DO 并延长交 BC 于 E, 连结 AE,则 DE⊥BC,AE⊥BC.因为 AD⊥面 ABC,所以 AD⊥AE,又因为 AO⊥DE,所以

?1BC· ?2 ?1 EO?· ?1 ED?=S△BCO· AE2=EO· ED,所以 S2 S△BCD.故选 A. △BAC= ?2 EA? =?2BC· ? ?2BC· ?
7.过 x2+y2=10x 内一点(5,3)有 n 条弦,它们的长度构成等差数列,最短的弦长为数列

1 1? 首项 a1,最长的弦长为数列的末项 an,若公差 d∈? ?3,2?,则 n 的取值范围是( A.n=4 C.n>7 [答案] B B.5≤n≤7 D.n∈R


)

[解析] A(5,3),圆心 O(5,0),最短弦为垂直 OA 的弦,a1=8,最长弦为直径:an=10, 2 公差 d= , n-1 1 2 1 ∴ ≤ ≤ ,∴5≤n≤7. 3 n-1 2 lnx 8.若 f(x)= ,0<a<b<e,则有( x A.f(a)>f(b) C.f(a)<f(b) [答案] C 1-lnx [解析] ∵f′(x)= 2 ,在(0,e)上 f′(x)>0, x ∴f(x)在(0,e)上为增函数.∴f(a)<f(b).故选 C. 4 9.已知使函数 y=x3+ax2- a 的导数为 0 的 x 值也使 y 值为 0,则常数 a 的值为( 3 A.0 C.0 或± 3 [答案] C [解析] 求出使 y′=0 的值的集合,再逐一检验.y′=3x2+2ax.令 y′=0,得 x=0 2 或 x=- a. 3 4 由题设 x=0 时,y=0,故- a=0,则 a=0.且知当 x=2,a=-3 或 x=-2,a=3 时, 3 也成立.故选 C. 10.定义在 R 上的可导函数 f(x),已知 y=ef ( )
′(x)

)

B.f(a)=f(b) D.f(a)· f(b)>1

)

B.± 3 D.非以上答案

的图象如图所示,则 y=f(x)的增区间是

A.(-∞,1) C.(0,1) [答案] B

B.(-∞,2) D.(1,2)

[解析] 由图象知 ef

′(x)

≥1,即 f′(x)≥0 时,x≤2,

∴y=f(x)的增区间为(-∞,2).故选 B. 11.设 f(x)=x(ax2+bx+c)(a≠0)在 x=1 和 x=-1 处均有极值,则下列点中一定在 x 轴 上的是( ) B.(a,c) D.(a+b,c)

A.(a,b) C.(b,c) [答案] A

[解析] f′(x)=3ax2+2bx+c,由题意知 1,-1 是方程 3ax2+2bx+c=0 的两根,1-1 2b =- ,b=0.故选 A. 3a 12.设 f(x),g(x)分别是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0.且 g(-3)=0.则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是( A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3) [答案] D [解析] 令 φ=(x)=f(x)g(x), 则 φ′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0 对 x<0 恒成立, ∴当 x<0 时,φ(x)单调递增. 又∵g(-3)=0, ∴φ(-3)=g(-3)· f(-3)=0. 从而当 x<-3 时,φ(x)<0,当-3<x<0 时,φ(x)>0. 又 φ(x)为奇函数. ∴当 0<x<3 时,φ(x)<0,当 x>3 时,φ(x)>0, 综上,当 x∈(-∞,-3)∪(0,3)时,φ(x)<0. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.将正确答案填在题中横线上) 13.(2010· 江苏,2)设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i(i 为虚数单位),则 z 的模为________. [答案] 2 [解析] 本题主要考查复数模的概念及复数的除法运算,解答本题的关键在于正确合理 运用复数模的性质. 6+4i 2|3+2i| ∵z(2-3i)=6+4i,∴z= ,∴|z|= =2. 2-3i |2-3i| 14.如图,平面中两条直线 l1 和 l2 相交于点 O,对于平面上任意一点 M,若 p,q 分别 是 M 到直线 l1 和 l2 的距离,则称有序非负数实数对(p,q)是点 M 的“距离坐标”.根据上 )

述定义,“距离坐标”是(1,2)的点的个数是________.

[答案] 4 [解析] 据上述定义,“距离坐标”是(1,2)的点可以在两条直线相交所成的四个区域内 各找到一个,所以满足条件的点的个数是 4 个. 15. 复数 z1 与 z2 在复平面上所对应的点关于 y 轴对称, 且 z1(3-i)=z2(1+3i), |z1|= 2, 则 z1=____________. [答案] 1-i 或-1+i [解析] 设 z1=a+bi,则 z2=-a+bi, ∵z1(3-i)=z2(1+3i),且|z1|= 2,
?(a+bi)(3-i)=(-a+bi)(1+3i) ? ∴? 2 , 2 ? ?a +b =2 ? ? ?a=1 ?a=-1 解得? 或? ∴z1=1-i 或 z1=-1+i. ?b=-1 ? ? ?b=1

16. 由曲线 y=(x-2)2+1, 横坐标轴及直线 x=3, x=5 围成的图形的面积等于________. [答案] 32 3
3 3

[解析] S=?5[(x-2)2+1]dx=?5(x2-4x+5)dx ? ? x 2 ? 5 32 =? ? 3 -2x +5x?|3 = 3 . 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)计算: -2 3+i ? 2 ?3204 (4-8i)2-(-4+8i)2 +? 的值. ? + 1+2 3i ?1+i? 11- 7i -2 3+i (-2 3+i)(-i) [解析] 由于 = 1+2 3i (1+2 3i)(-i) 1 1+2 3i 1 =- · =- =i; i 1+2 3i i
3

? 2 ?3204=?? 2 ?2?1602=? 2 ?1602=?1?1602=-1; ?1+i? ??1+i? ? ?2i? ?i? ? ? ?? ??
(4-8i)2-(-4+8i)2 (4-8i)2-(4-8i)2(-1)2 = =0; 11- 7i 11- 7i

-2 3+i ? 2 ?3204 (4-8i)2-(-4+8i)2 从而 +? =i-1. ? + 1+2 3i ?1+i? 11- 7i 18.(本题满分 12 分)下面命题是真命题还是假命题,用分析法证明你的结论. 命题:若 a>b>c 且 a+b+c=0,则 [解析] 命题是真命题,证明如下: ∵a>b>c 且 a+b+c=0,∴a>0,c<0. 要证 b2-ac < 3, a b2-ac < 3. a

只需证 b2-ac< 3a,即证 b2-ac<3a2. 因为 b=-a-c,故只需证(a+c)2-ac<3a2, 即证 2a2-ac-c2>0,即证(2a+c)(a-c)>0. ∵2a+c>a+b+c=0,a-c>0, ∴(2a+c)(a-c)>0 成立.∴原命题成立. 19.(本题满分 12 分)已知 a+b+c=0,求证:ab+bc+ca≤0. [解析] 证明:法一:(综合法) ∵a+b+c=0, ∴(a+b+c)2=0. a2+b2+c2 即 ab+bc+ca=- ≤0, 2 ∴ab+bc+ca≤0. 法二:(分析法)因 a+b+c=0,则要证 ab+bc+ca≤0 只需证:ab+bc+ca≤(a+b+c)2, 即证:a2+b2+c2+ab+bc+ca≥0, 1 即证: [(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2]≥0. 2 而这显然成立,因此,原不等式成立. 法三:∵a+b+c=0, ∴a+b=-c, ∴ab+bc+ca=ab+(a+b)c=ab-(a+b)2 b?2 3 2? =-a2-b2-ab=-?? ?a+2? +4b ≤0.

?

?

因此,ab+bc+ca≤0. 20.(本题满分 12 分)某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件 产品需向总公司交 a 元(3≤a≤5)的管理费,预计当每件产品的售价为 x 元(9≤x≤11)时,一 年的销售量为(12-x)2 万件.

(1)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值 Q(a). [解析] (1)分公司一年的利润 L(万元)与售价 x 的函数关系式为: L=(x-3-a)(12-x)2,x∈[9,11]. (2)L′(x)=(12-x2)-2(x-3-a)(12-x) =(12-x)(18+2a-3x) 2 令 L′=0 得 x=6+ a 或 x=12(不合题意,舍去). 3 2 28 ∵3≤a≤5,∴8≤6+ a≤ . 3 3 2 在 x=6+ a 两侧 L′(x)的值由正变负. 3 2 9 所以(1)当 8≤6+ a≤9,即 3≤a≤ 时, 3 2 Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a). 2 28 9 (2)当 9<6+ a≤ ,即 <a≤5 时, 3 3 2 2 2 6+ a?=?6+ a-3-a? Lmax=L? ? 3 ? ? 3 ?

?12-?6+2a??2=4?3-1a?3, ? ? 3 ?? ? 3 ?

?9(6-a),3≤a≤2, 所以 Q(a)=? 1 ? 9 ?4? ?3-3a? ,2<a≤5.
3

9

9 答:若 3≤a≤ ,则当每件售价为 9 元时,分公司一年的利润 L 最大,最大值 Q(a)=9(6 2 2 9 6+ a?元时,分公司一年的利润 L 最大,最大值 -a)(万元);若 <a≤5,则当每件售价为? ? 3 ? 2 1 ?3 Q(a)=4? ?3-3a? (万元). a 21. (2010· 北京文, 18)(本题满分 12 分)设函数 f(x)= x3+bx2+cx+d(a>0), 且方程 f′(x) 3 -9x=0 的两个根分别为 1,4. (1)当 a=3 且曲线 y=f(x)过原点时,求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求 a 的取值范围. [解析] 本题考查了函数与导函数的综合应用. a 由 f(x)= x3+bx2+cx+d 得 f′(x)=ax2+2bx+c 3 ∵f′(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0 的两根为 1,4.

? ?a+2b+c-9=0 ∴? (*) ?16a+8b+c-36=0 ? ?2b+c-6=0 ? (1)当 a=3 时,由(*)式得? ,解得 b=-3,c=12. ?8b+c+12=0 ?

又∵曲线 y=f(x)过原点,∴d=0. 故 f(x)=x3-3x2+12x. a (2)由于 a>0,所以“f(x)= x3+bx2+cx+d 在(-∞,+∞)内无极值点”等价于“f′(x) 3 =ax2+2bx+c≥0 在(-∞,+∞)内恒成立”, 由(*)式得 2b=9-5a,c=4a. 又∵Δ=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9)
? ?a>0 解? 得 a∈[1,9], ?Δ=9(a-1)(a-9)≤0 ?

即 a 的取值范围为[1,9]. 22.(本题满分 14 分)已知函数 f(x)=x-sinx,数列{an}满足:0<a1<1,an+1=f(an),n= 1,2,3,?. 1 求证:(1)0<an+1<an<1;(2)an+1< a3 . 6 n [证明] (1)先用数学归纳法证明 0<an<1,n=1,2,3,?. ①当 n=1 时,由已知知结论成立. ②假设当 n=k 时结论成立,即 0<ak<1. 因为 0<x<1 时,f′(x)=1-cosx>0, 所以 f(x)在(0,1)上是增函数. 又 f(x)在[0,1]上连续,从而 f(0)<f(ak)<f(1),即 0<ak+1<1-sin1<1. 故当 n=k+1 时,结论成立. 由①②可知,0<an<1 对一切正整数都成立. 又因为 0<an<1 时,an+1-an=an-sinan-an =-sinan<0,所以 an+1<an. 综上所述 0<an+1<an<1. 1 (2)设函数 g(x)=sinx-x+ x3,0<x<1. 6 由(1)知,当 0<x<1 时,sinx<x. x2 x x2 从而 g′(x)=cosx-1+ =-2sin2 + 2 2 2 x?2 x2 >-2? ?2? + 2 =0.

所以 g(x)在(0,1)上是增函数. 又 g(x)在[0,1]上连续,且 g(0)=0,所以当 0<x<1 时,g(x)>0 成立. 1 于是 g(an)>0,即 sinan-an+ a3 >0. 6 n 1 故 an+1< a3 . 6 n


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